上一篇，我們介紹了如何用配方法及三角不等式求極值。接下來將介紹算幾不等式(含推廣)
算幾不等式
算幾不等式也稱作 AM-GM 不等式，其中「AM」是 Arithmetic Mean 的縮寫，中文為「算術平均數」；而「GM」是 Geometric Mean 的縮寫，中文為「幾何平均數」。
不等式內容
已知 $a,b\geq 0$ ，則 $\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$ ，等號只有在 $a=b$ 時成立。
證明
如果能證明 $\displaystyle\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\geq 0$ ，那麼就證完了。
由於
$\begin{aligned}\dfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab}&=\dfrac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}\\&=\dfrac{\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}}{2}\\&=\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}\\&\geq 0\end{aligned}$
等號成立在 $\sqrt{a}=\sqrt{b}$ 時，也就是 $a=b$ 。
推廣至 $n$ 項
已知 $a_1,a_2,…,a_n\geq 0$ ，則 $\dfrac{a_1+a_2+…+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2…a_n}$ ，等號只有在 $a_1=a_2=…=a_n$ 時成立。
一正二定三相等
算幾不等式有一個很重要的口訣：「一正、二定、三相等」。
「正」就是算幾不等式的前提。每一項要是正數(非負)才能使用算幾不等式。
「定」是算幾不等式的其中一邊一定要為定值。若 $a\times b$ 為定值時， $a+b$ 有最小值；而 $a+b$ 為定值時， $a\times b$ 有最大值。正所謂：『積定和最小，和定積最大』。
「相等」就是等式成立的條件，每一項要相等。也就是上面說的： $a_1=a_2=…=a_n$ 。
例題
1. 設 $a\geq 0 ,b\geq 0\ $ 且 $a+2b=16$ ，則 $ab$ 最大值?此時 $a,\ b$ 值為何?
- 因為 $a\geq 0,2b\geq 0 \Rightarrow $「正」成立。
- $a+2b=16\Rightarrow $ 「定」成立。
因此，利用算幾不等式:和定積最大
$\begin{aligned}&\Rightarrow \displaystyle\frac{a+2b}{2}\geq\sqrt{2ab}\\ &\Rightarrow \displaystyle\frac{16}{2}\geq\sqrt{2ab}\\ &\Rightarrow ab\leq 32\end{aligned}$
$\Rightarrow$ 最大值為 $32$ - 等式成立的條件為
$a=2b=8\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} a=8\\ b=4\end{array}\right.$
2. 求 $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ 的最小值是多少?
- 題目沒有限制x的值是多少，所以有可能是負的 $\Rightarrow$「正」不成立。因此不能使用算幾不等式。
- 觀察 $x$ 負的越多，$f(x)$ 越小，而且沒有下限。如下圖:
所以 $f(x)$ 沒有最小值。
3. 已知 $x\gt 0$ ，求 $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ 的最小值是多少?
- 因為 $x\gt 0,\ \dfrac{1}{x}\gt 0 \Rightarrow $「正」成立。
- 條件只有 $x+\dfrac{1}{x}$ ，那有「定」嗎?把兩項相乘看看: $x\times\dfrac{1}{x}=1$ 。 $1$ 是定值，所以是「積定」。因此，利用算幾不等式:積定和最小
$\begin{aligned}&\Rightarrow \dfrac{x+\dfrac{1}{x}}{2}\geq\sqrt{x\times\dfrac{1}{x}}\\ &\Rightarrow x+\dfrac{1}{x}\geq 2\end{aligned}$
所以最小值為 $2$ - 等式成立的條件為 $x=\dfrac{1}{x}\Rightarrow x=1$ (負不合)
然而，也不是有負數項就一定不能使用算幾不等式，若能提出負號滿足算幾不等式就可使用。
4. 已知 $x\lt 0$ ，求 $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ 的最大值是多少?
- 改寫 $f(x)=-((-x)+(-\dfrac{1}{x}))$
因為 $-x\gt 0,\ -\dfrac{1}{x}\gt 0 \Rightarrow $ 若不看$f(x)$最前面的負號，則「正」成立。 - $(-x)\times(-\dfrac{1}{x})=1$ ， $1$ 是定值，所以是「積定」。 因此，利用算幾不等式：
$\begin{aligned}&\Rightarrow \dfrac{(-x)+(-\dfrac{1}{x})}{2}\geq\sqrt{(-x)\times(-\frac{1}{x})}\\ &\Rightarrow (-x)+(-\dfrac{1}{x})\geq 2 \\&\Rightarrow -\left[(-x)+(-\frac{1}{x})\right]\leq -2 \\&\Rightarrow x+\frac{1}{x}\leq -2\end{aligned}$
所以最大值為 $-2$ - 等式成立的條件為 $(-x)=(-\dfrac{1}{x})\Rightarrow x=-1$ (正不合)
5. 已知 $x\geq 1$ ，求 $f(x)={x^2}+\displaystyle\frac{2}{x}$ 的最小值是多少？
- 因為 $x^2\gt 0,\ \dfrac{2}{x}\gt 0 \Rightarrow $ 「正」成立。
- 利用算幾不等式
$\begin{aligned}&\Rightarrow\dfrac{x^2+\frac{2}{x}}{2}\geq \sqrt{x^2\times \dfrac{2}{x}}=\sqrt{2x}\geq \sqrt{2}\newline &\Rightarrow x^2+\dfrac{2}{x}\geq 2\sqrt{2x}\geq 2\sqrt{2}\end{aligned}$
因此，最小值為 $2\sqrt{2}$ - 等式成立條件為 $x^2=\displaystyle\frac{2}{x}\Rightarrow x=\sqrt[3]{2}$
此解法錯誤的原因是沒有符合算幾不等式的使用條件:「定」。因為 $\sqrt{x}$ 並不是定值。而等式成立時的 $x$ 值代入也不會真正的最小值，由於不等號兩邊都不是定值，所以在左式為最小值時右式根本不會碰到，右式最小值左式也達不到，而即便解左右兩式相等，也就只是相交的位置，沒有任何意義。如下圖:
直接套算幾不等式的結論:在 $x^2=\dfrac{2}{x}$ 時有最小值。
所以 $x=\sqrt[3]{2}$ 代入
$\begin{aligned}\Rightarrow f(\sqrt[3]{2})&=(\sqrt[3]{2})^2+\dfrac{2}{\sqrt[3]{2}}\\&=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4}\\&=2\sqrt[3]{4}\end{aligned}$
與上個錯誤解法相似，沒確定能不能用算幾不等式之前，不可以胡亂使用。所以看到求極值的時候，要看清楚題目要求什麼的極值，不是加號兩邊相等的時候就式極值。
我們的目標是讓等號右邊變成定值，回想算幾不等式的一般形式：
已知 $a_1,a_2,…,a_n\geq 0$ ，則 $$\dfrac{a_1+a_2+…+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2…a_n}$$ 等號只有在 $a_1=a_2=…=a_n$ 時成立。
如果我們能把 ${x^2}+\dfrac{2}{x}$ 拆成數項，然後每一項乘起來是定值，那就能用算幾不等式了。
很容易發現 ${x^2}\times\dfrac{1}{x}\times\dfrac{1}{x}=1$ 是定值，因此將 $f(x)$ 寫成 $x^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}$
- 因為 $x\gt 0,\frac{1}{x}\gt 0 \Rightarrow $ ，則「正」成立。
- ${x^2}\times\dfrac{1}{x}\times\dfrac{1}{x}=1$ ， $1$ 是定值，所以是「積定」。
因此利用 $n$ 項算幾不等式： $\dfrac{x^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}}{3}\geq\sqrt[3]{x^2\times\dfrac{1}{x}\times\dfrac{1}{x}}=1$
所以最小值為 $1$ - 等式成立在 $x^2=\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x}\Rightarrow x=1$
6. 已知 $x,y\gt 0$ 且 $9x+4y=2005$ 求 $\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ 的最小值是多少?
根據算幾不等式: $\dfrac{9x+4y}{2}\geq\sqrt{36xy}$ ，此時 $9x=4y=\dfrac{2005}{2}$ 。故
$\displaystyle\left\{ \begin{array}{ll} x=\displaystyle\frac{2005}{18}\\ y=\displaystyle\frac{2005}{8} \end{array} \right. 代入 \color{blue}{\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$
得最小值為 $\color{blue}{\displaystyle\frac{26}{2005}}\color{red}{(✕)}$
因為解出的 $x,\ y$ 為 $\dfrac{9x+4y}{2}\geq\sqrt{36xy}$ 的等式成立條件，並不代表是$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ 發生最小值的結果。
根據算幾不等式： $\left\{ \begin{array}{ll}9x+4y\geq2\sqrt{36xy}\\ \displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq2\sqrt{\frac{1}{xy}}\end{array} \right.$
兩式相乘：
$(9x+4y)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})\geq4\sqrt{36}=24\ $ ，故 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq\color{blue}{\dfrac{24}{2005}}\color{red}{(✕)}$
第一式中等式成立條件為 $9x=4y$ ，第二式中等式成立條件為 $x=y$ 。解出 $\left\{ \begin{array}{ll}x=0\\ y=0\end{array} \right.$ ，產生矛盾。
先將 $(9x+4y)\left(\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)$ 乘開得到 $13+\dfrac{9x}{y}+\dfrac{4y}{x}$ ，再使用算幾不等式
$\dfrac{9x}{y}+\dfrac{4y}{x}\geq2\sqrt{\dfrac{9x}{y}\times\dfrac{4y}{x}}=12$
故 $(9x+4y)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=13+\dfrac{9x}{y}+\dfrac{4y}{x}\geq13+12=25$
因此 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq\dfrac{25}{2025}=\dfrac{5}{401}$
等號成立於
$\left\{ \begin{array}{ll}x=\dfrac{401}{3}\\y=\dfrac{401}{2}\end{array} \right.$
利用柯西不等式：
$\left({(\sqrt{9x}})^2+({\sqrt{4y}})^2\right)\left(\dfrac{1}{{(\sqrt{x}})^2}+\dfrac{1}{(\sqrt{y})^2}\right)\geq(3+2)^2$
故 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq\dfrac{25}{2005}=\dfrac{5}{401}$ ，等號成立於 $3x=2y$ 時。
即 $\left\{ \begin{array}{ll}{x= \dfrac{401}{3}} \\{ y = \dfrac{401}{2}}\end{array} \right.$
7.設x為實數，求$\displaystyle\sqrt{x^2+4}+\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}$的最小值
根據算幾不等式： $\sqrt{x^2+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}\geq2\sqrt{\sqrt{x^2+4}\times\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}}=2$
所以最小值為 $2$
等號成立在 $\sqrt{x^2+4}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}\Rightarrow x^2=-3$
無實數解，因此此解法有誤。
設 $\sqrt{x^2+4}=t\geq{2}$ ，則 $\sqrt{x^2+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}=t+\dfrac{1}{t} $ 。
由於當 $t\geq1$ 時， $\displaystyle t+\frac{1}{t}$ 遞增
而 $t$ 的最小值為 $2$ ，因此 $t=2$ 時(此時 $x=0$ )，
$\sqrt{x^2+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}$ 有最小值為 $ 2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$
由於 $\sqrt{x^2+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}=\sqrt{x^2+4}+\dfrac{4}{\sqrt{x^2+4}}-\dfrac{3}{\sqrt{x^2+4}}$
利用算幾不等式：
$\sqrt{x^2+4}+\dfrac{4}{\sqrt{x^2+4}}\geq2\sqrt{\sqrt{x^2+4}\times\dfrac{4}{\sqrt{x^2+4}}}=4$
等號發生在 $x=0$
而 $\dfrac{3}{\sqrt{x^2+4}}\leq\dfrac{3}{2}$ ，等號也發生在 $x=0$ 時。
因此，$\sqrt{x^2+4}+\dfrac{4}{\sqrt{x^2+4}}-\dfrac{3}{\sqrt{x^2+4}}\geq4-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$
一些競賽題與難題
1.設 $\displaystyle 0^{\circ}\leqθ\leq90^{\circ}$ ,求 $\displaystyle\frac{2}{\sinθ}+\frac{3}{\cosθ}$ 的最小值為?
由算幾不等式:
$\dfrac{2}{\sinθ}+\frac{3}{\cosθ}\geq2\sqrt{\dfrac{6}{\sinθ\cosθ}}$
等式成立於
$\dfrac{2}{\sinθ}=\dfrac{3}{\cosθ}\Rightarrow\tanθ=\dfrac{2}{3}$
即 $\color{blue}{\sinθ=\dfrac{2}{\sqrt{13}},\ \cosθ=\dfrac{3}{\sqrt{13}}}$ 時代入 $2\sqrt{\dfrac{6}{\sinθ\cosθ}}$ ，得到最小值 $\color{blue}{2\sqrt{13}}$
如下圖所示，當等號發生時，並不代表左式的最小值，也不代表右式的最小值，僅代表兩式相等的位置而已。
由算幾不等式：
$\dfrac{2}{\sinθ}+\dfrac{3}{\cosθ}\geq2\sqrt{\dfrac{6}{\sinθ\cosθ}}=\sqrt{\dfrac{12}{\sin2\theta}}=2\sqrt{\dfrac{3}{\sin2\theta}}$
因為 $\sin2\theta\leq1$ ，所以 $ \dfrac{2}{\sinθ}+\dfrac{3}{\cosθ}\geq2\sqrt{\dfrac{3}{\sin2\theta}}\geq2\sqrt{3}$
等式成立條件於
$\dfrac{2}{\sinθ}=\dfrac{3}{\cosθ}\Rightarrow\tanθ=\dfrac{2}{3}$
但是右邊的等號在 $\sin2\theta=1$ 時，因此矛盾。
算幾不等式:
$\dfrac{{\dfrac{\dfrac{2}{\sinθ}}{\dfrac{2}{\sinθ}+\dfrac{3}{\cosθ}}+\dfrac{\dfrac{2}{\sinθ}}{\dfrac{2}{\sinθ}+\dfrac{3}{\cosθ}}}+\dfrac{\sin^2θ}{\sin^2θ+\cos^2θ}}{3}\geq\sqrt[3]{\dfrac{4}{{({\dfrac{2}{\sinθ}+\dfrac{3}{\cosθ}})}^2}}$
$\dfrac{{\dfrac{\dfrac{3}{\cosθ}}{\dfrac{2}{\sinθ}+\dfrac{3}{\cosθ}}+\dfrac{\dfrac{3}{\cosθ}}{\dfrac{2}{\sinθ}+\dfrac{3}{\cosθ}}}+\dfrac{\sin^2θ}{\sin^2θ+\cos^2θ}}{3}\geq\sqrt[3]{\dfrac{9}{({\dfrac{2}{\sinθ}+\dfrac{3}{\cosθ}})^2}}$
兩式相加 $\Rightarrow\dfrac{2}{\sinθ}+\dfrac{3}{\cosθ}\geq\color{blue}{(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{9})^{\frac{3}{2}}}$
等號成立請讀者自行驗證。
利用廣義柯西不等式：
$\begin{aligned}(\displaystyle\frac{2}{\sinθ}+\frac{3}{\cosθ})(\frac{2}{\sinθ}+\frac{3}{\cosθ})(\sin^{2}θ+\cos^{2}θ)&\geq(\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{3^2})^3\\ \Rightarrow \displaystyle\frac{2}{\sinθ}+\frac{3}{\cosθ}&\geq\color{blue}{(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{9})^{\frac{3}{2}}}\end{aligned}$
利用微分法
$\begin{aligned} (\dfrac{2}{\sinθ}+\dfrac{3}{\cosθ})’ &= \dfrac{-2\cosθ}{\sin^{2}θ}+\dfrac{3\sinθ}{\cos^{2}θ}= 0\\&\Rightarrow \dfrac{3\sinθ}{\cos^{2}θ}=\dfrac{2\cosθ}{\sin^{2}θ}\\&\Rightarrow\dfrac{\sin^3θ}{\cos^3θ}=\dfrac{2}{3}\\&\Rightarrow\tanθ=\sqrt[3]{\dfrac{2}{3}}\end{aligned}$
此時
$\dfrac{2}{\sinθ}+\dfrac{3}{\cosθ}=\color{blue}{(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{9})^{\frac{3}{2}}}$
2. 設 $a,\ b,\ c$ 為正實數，且 $k$ 為
$$\dfrac{13a+13b+2c}{2a+2b}+\dfrac{24a-b+13c}{2b+2c}+\dfrac{-a+24b+13c}{2a+2c}$$
的最小值。試回答下列問題:
(1) 試求 $k$
(2) 若最小值發生於 $(a,\ b,\ c)=(a_0,\ b_0,\ c_0)$時，試求 $\dfrac{b_0}{a_0}+\dfrac{c_0}{b_0}$
令
$\left\{ \begin{array}{ll}2a+2b=x \\2b+2c=y \\2a+2c=z\end{array} \right. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{ll} a=\dfrac{x-y+z}{4}\\b=\dfrac{x+y-z}{4} \\c=\dfrac{-x+y+z}{4}\end{array} \right.$
代入原式
$\begin{aligned}&=\dfrac{24x+2y+2z}{4x}+\dfrac{10x-12y+38z}{4y}+\dfrac{10x+38y-12z}{4z}\\&=\left[6+\dfrac{y}{2x}+\dfrac{z}{2x}\right]+\left[\dfrac{5x}{2y}-3+\dfrac{19z}{2y}\right]+\left[\dfrac{5x}{2z}+\dfrac{19y}{2z}-3\right]\\&=\left(\dfrac{y}{2x}+\dfrac{5x}{2y}\right)+\left(\dfrac{z}{2x}+\dfrac{5x}{2z}\right)+\left(\dfrac{19z}{2y}+\dfrac{19y}{2z}\right)\\
&\geq2\sqrt{\dfrac{y}{2x}\times\dfrac{5x}{2y}}+2\sqrt{\dfrac{z}{2x}\times\dfrac{5x}{2z}}+2\sqrt{\dfrac{19z}{2y}\times\dfrac{19y}{2z}}\\&=\color{blue}{2\sqrt{5}+\sqrt{19}}\end{aligned}$
等號成立於 $\sqrt{5}x=y=z$ ，即 $x:y:z=1:\sqrt{5}:\sqrt{5}$
故 $a_0:b_0:c_0=1:1:-1+2\sqrt{5}$
$\begin{aligned}\Rightarrow\dfrac{b_0}{a_0}+\dfrac{c_0}{b_0}&=1+\left(-1+2\sqrt{5}\right)\\
&=\color{blue}{2\sqrt{5}}\end{aligned}$