國中數學 | 中垂線與角平分線的性質 | 證明

中垂線角平分線有非常重要的性質,本篇將詳細講解並證明其性質。

什麼是中垂線?

已知一直線垂直於一線段,將此線段平分(即通過線段中點),則稱此直線為此線段的中垂線。

圖一,直線L垂直且平分 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}} ,L稱為 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}中垂線

中垂線
圖一

什麼是角平分線?

若有一直線一角分為兩個相等的角,則稱此直線為角平分線

圖二,直線L將 \angle ABC 分成兩個相等的角,L稱為 \angle ABC角平分線

角平分線
圖二

簡單來說,中垂線平分線段角平分線平分角度

接下來我們介紹中垂線角平分線性質

中垂線性質

一線段的中垂線上任一點線段兩端點等距離。

圖三,直線L為 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}} 的中垂線,則L上隨便選取一點C都會滿足 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CA}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CB}}

中垂線性質
圖三

證明中垂線上任一點到線段兩端點等距離

我們只要利用全等性質證明 \triangle CAM\cong\triangle CBM ,就能得到 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CA}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CB}}

證明:
由於 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{MA}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{MB}} (中垂線定義)
以及 \angle AMC=\angle BMC (中垂線定義)
還有\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CM}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CM}} (共用邊)
所以 \triangle CAM\cong\triangle CBM (SAS全等性質)

角平分線性質性質

一個角的角平分線上任一點此角的兩邊距離相等。(注意:此處的距離是垂直距離)

圖四,直線L為 \angle ABC 的角平分線,則L上隨便選取一點D都會滿足:D到 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}} 的距離等於 D到 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}} 的距離 ,也就是 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DF}}

角平分線性質
圖四

證明角平分線上任一點到兩邊距離相等

我們只要利用全等性質證明 \triangle BDE\cong\triangle BDF ,就能得到 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DF}}

證明:
\triangle BDE\triangle BDF 中,
由於 \angle DEB=\angle DFB (都是 90^\circ )
以及 \angle DBE=\angle DBF (角平分線定義)
還有\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DB}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DB}} (共用邊)
所以 \triangle CAM\cong\triangle CBM (AAS全等性質)

結論

  • 中垂線將線段垂直且平分
  • 角平分線將角平分
  • 中垂線到線段兩端等距
  • 角平分線到角的兩邊等距

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