中垂線與角平分線有非常重要的性質,本篇將詳細講解並證明其性質。
什麼是中垂線?
已知一直線垂直於一線段,且將此線段平分(即通過線段中點),則稱此直線為此線段的中垂線。
如圖一,直線L垂直且平分 ,L稱為
的中垂線。

什麼是角平分線?
若有一直線把一角分為兩個相等的角,則稱此直線為角平分線。
如圖二,直線L將 分成兩個相等的角,L稱為
的角平分線。

簡單來說,中垂線平分線段,角平分線平分角度
接下來我們介紹中垂線與角平分線的性質。
中垂線性質
一線段的中垂線上任一點到線段兩端點等距離。
如圖三,直線L為 的中垂線,則L上隨便選取一點C都會滿足

證明中垂線上任一點到線段兩端點等距離
我們只要利用全等性質證明 ,就能得到
證明:
由於 (中垂線定義)
以及 (中垂線定義)
還有 (共用邊)
所以 (SAS全等性質)
角平分線性質性質
一個角的角平分線上任一點到此角的兩邊距離相等。(注意:此處的距離是垂直距離)
如圖四,直線L為 的角平分線,則L上隨便選取一點D都會滿足:D到
的距離等於 D到
的距離 ,也就是

證明角平分線上任一點到兩邊距離相等
我們只要利用全等性質證明 ,就能得到
證明:
在 與
中,
由於 (都是
)
以及 (角平分線定義)
還有 (共用邊)
所以 (AAS全等性質)
結論
- 中垂線將線段垂直且平分
- 角平分線將角平分
- 中垂線到線段兩端等距
- 角平分線到角的兩邊等距