國中數學 | 三角形的全等性質 | SSS、SAS、ASA、AAS、RHS全等詳細解說

當我們有兩個很像的圖形時,要怎麼確定他們一樣呢?總不可能說他們「看起來一樣」吧!因為我們肉眼看到的不一定是準確的,有可能邊長差了0.01公分,那就不能說一樣啦!所以在本章節將會介紹如何用數學的方法說明兩個三角形一樣。在數學上,一模一樣的圖形我們有個術語叫做「全等」。

全等的一些術語

全等

若平面中兩個圖形能完全疊合,則稱這兩個圖形全等。如圖一\triangle ABC\triangle DEF 能完全重合,因此這兩個三角形全等

全等
圖一

可是我們不可能每次都把兩個圖形疊起來,這樣太沒效率了!而且也有可能不準,於是我們介紹一些等等會用到的專有名詞

對應頂點、對應邊以及對應角

若兩三角形全等,則疊在一起的頂點稱為對應頂點,疊合在一起的稱為對應邊,疊合在一起的稱為對應角。如圖一,A與D是對應頂點\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}}對應邊\angle A\angle D對應角

符號

圖一中, \triangle ABC\triangle DEF 全等,我們會用 \triangle ABC \cong \triangle DEF 來表示,「 \cong 」唸成「全等於」。

全等的性質

  • 三組對應邊相等,如圖一\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{EF}}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DF}}
  • 三組對應角相等,如圖一\angle A= \angle D\angle B= \angle E\angle C= \angle D

判斷是否全等的方法

判斷全等的方法有五種,分別是SSS全等性質SAS全等性質ASA全等性質AAS全等性質RHS全等性質。這裡要注意「S」指的是「」,「A」指的是非常重要!!!因為光看名字就能知道前四個全等性質是什麼了。像是第一個SSS就是跟三個邊有關、SAS就是兩個邊與一個角、另外ASAAAS都是兩個角與一個邊、差別在角與邊的相對關係,下面會詳細介紹。而RHS則是最特別,專門用在直角三角形上的。

SSS全等性質

剛剛說到SSS是跟三個邊有關,也就是說:當兩個三角形的三組對應邊相等時,可以確定兩個三角形全等。如圖二\triangle ABC\triangle DEF三組對應邊相等,所以由SSS全等性質可知他們兩個全等

SSS全等性質
圖二

可能有些人會問會問:「你怎麼知道他們對應角是不是一樣,會不會疊起來結果角度不一樣呀?」這就是這些全等性質厲害的地方!不用全部的角與邊都檢查過一遍,只要符合「某些條件」就好。而滿足SSS全等性質需要符合的條件就是三組對應邊相等。換句話說,只要三對應邊相等就能說他們全等不需要檢查對應角

SAS全等性質

如法炮製上面所說的,SAS是兩邊跟一角,那麼只要兩個三角形中任意的兩組對應邊相等、一組對應角相等就能說他們兩個全等對嗎

很可惜這是有誤的

眼尖的讀者可能已經發現了,為什麼他不寫ASS要寫SAS呢
因為邊和角有位置關係SAS的意思是兩個邊中間夾了一個角,我們要知道兩組對應邊相等、以及這兩邊夾的角相等,才能說他們兩個全等。如圖三,我們知道兩組對應邊相等,以及兩對應邊夾的角相等,所以由SAS全等性質可知他們兩個全等

SAS全等性質
圖三

至於有沒有ASS全等性質呢?答案是沒有,我們舉以下例子:

ASS全等性質反例
圖四

如果我們已知的相等角不是兩邊的夾角,那麼就無法確定全等。(如圖四,已知 \angle B= \angle E (A)\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}} (S)\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DF}} (S) ,但是 \triangle ABC\triangle DEF非全等。)

ASA全等性質

看到這邊應該能很好猜出ASA指的是兩個三角形中兩組對應角及其夾邊,如果相等,則全等

ASA全等性質
圖五

圖五,已知 \angle B= \angle E (A)\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}} (S)\angle A= \angle D(A) ,則利用ASA全等性質可知 \triangle ABC \cong \triangle DEF

AAS全等性質

AAS指的是:若兩個三角形中兩組對應角任一非夾邊(即任一個對應角的對邊)相等,兩個三角形就全等。

AAS全等性質
圖六

圖六,已知 \angle B= \angle E (A)\angle A= \angle D (A)\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DF}} (S),則利用AAS全等性質可知 \triangle ABC \cong \triangle DEF

(註:下圖也可利用AAS全等性質來說明全等。)

AAS全等性質

RHS全等性質

當兩個直角三角形斜邊一股分別對應相等時,這兩個直角三角形就會全等。(註:「斜邊」是直角的對邊,「股」是直角的臨邊。)(注意!!不是有直角就是RHS,必須是斜邊與一股對應相等。如果是兩股對應相等,那就是SAS全等)

RHS全等性質
圖七

圖七,已知\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DF}}\angle C= \angle F=90^\circ,則利用RHS全等性質可知 \triangle ABC \cong \triangle DEF

光看邊與角的位置關係,其實很像ASS,不過前面說過沒有ASS全等性質,而RHS是ASS的特例,當相等的對應角為直角時,就能確保全等了。

總結

這篇介紹了全等以及判斷全等的方法,只要搭配上一篇:三角形內角與外角,就能做出許多變化的題目了。下面用一張圖來總結所有三角形全等性質。

三角形的全等性質

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