為什麼要重新定義「極限」？
我們在第 2.2 節曾經用過這樣的說法：「當 $x$ 趨近某個數值 $a$ 時，$f(x)$ 趨近某個值 $L$」。
雖然這種說法很直覺，但對數學來說不夠嚴謹。
- 什麼叫「很接近」？
- 多接近才算接近？
- 要怎麼證明極限真的存在，而不是「感覺好像」？
這些模糊的語句，例如「靠近」、「越來越接近」，都需要被清楚的邏輯語言取代。
這就是本節的目標：用數學邏輯「精確定義」極限。
給誤差範圍，找距離範圍
考慮函數：
$$ f(x) = \begin{cases}{2x-1}, & x \neq 3 \\ 3, & x = 3 \end{cases} $$
直覺上看起來當 $x \to 3$ 時，$f(x)$ 趨近於 $5$。
但我們想問一個更精確的問題：
「要讓 $f(x)$ 和 $5$ 之間差距小於 $0.1$，$x$ 必須離 $3$ 多近？」
這其實就是在問：能不能找到一個範圍 $|x-3|<\delta$，讓它保證 $|f(x)-5|<0.1$ 成立？
這裡的「 $|x-3|<\delta$ 」就是「 $x$ 必須離 $3$ 多近？」(以 $\delta$ 表示，是我們要找的)
「 $|f(x)-5|<0.1$ 」就是 「 $f(x)$ 和 $5$ 之間差距小於 $0.1$ 」
這一類例子可以幫助我們逐步進入正式的定義。
再看一個更簡單的例子：$f(x) = 2x-1$
假設：
$$ \lim\limits_{x \to 3} f(x) = 5 $$
我們想讓：
$$ |f(x)-5|<0.1 $$
那麼只要：
$$ |2x-1-5| = |2x-6| = 2|x-3|<0.1$$ $$\Rightarrow |x-3|<0.05 $$
如果 $x$ 在 3 的左右 $0.05$ 範圍以內，$f(x)$ 一定會落在 $5$ 的上下 $0.1$ 範圍內！
用數學語言把這段邏輯寫成「定義」
對任何數字 $\varepsilon>0$，都能找到一個數字 $\delta>0$，使得只要：
$$
0<|x-a|<\delta
$$就會保證：
$$
|f(x)-L|<\varepsilon
$$那我們就說：
$$
\lim\limits_{x \to a} f(x) = L
$$
定義解釋重點
- $\varepsilon$ 是你容許的誤差，你可以提出任何想要的精準度
- $\delta$ 是我們對 $x$ 的限制範圍，保證在這範圍內 $f(x)$ 的誤差會符合你的要求
換句話說：你給我多精準的標準，我都能給你一個「多接近」的距離來滿足它！
範例回顧
設 $f(x) = 2x-1$，證明：
$$ \lim\limits_{x \to 3} f(x) = 5 $$
想要使 $|f(x)-5|<\varepsilon$，我們做如下變形：
$$ |f(x)-5| = |2x-6| = 2|x-3|<\varepsilon $$
$$\Rightarrow |x-3|<\dfrac{\varepsilon}{2} $$
因此我們可以選擇：
$$ \delta = \dfrac{\varepsilon}{2} $$
就可以保證：
對任意 $\varepsilon$ ，取 $ \delta = \dfrac{\varepsilon}{2} $ ，只要 $|x-3|<\delta$，那麼 $|f(x)-5|<\varepsilon$ 成立！
換句話說，這說明了：
當 $x$ 趨近 $3$ 時， $f(x)$ 會趨近 $5$
也就是：
$$\lim\limits_{x \to 3}2x-1=5$$
幾何圖解
縱軸畫出誤差區間 ε
我們從「目標極限值」5 開始：
- 上方是 $5+\varepsilon$
- 下方是 $5-\varepsilon$
這就是你給函數值的「容許誤差」，也就是：
我希望 $f(x)$ 不要偏離 5 超過 $\varepsilon$
紅與藍的點：δ 對應到 x 軸上的範圍
這時候，我們往回去問：
為了讓 $f(x)$ 落在 $5 \pm \varepsilon$ 之間，$x$ 必須落在哪裡？
從 $y$ 軸的橘色線段往右對，直到碰到藍色函數線，再往下畫到 x 軸，剛好得到：
- $x = 3-\delta$
- $x = 3+\delta$
所以只要 $x$ 滿足：
$$3-\delta < x < 3+\delta \ \text{(且 } x \neq 3\text{)}$$
那麼就能保證：
$$f(x) \in (5-\varepsilon, 5+\varepsilon)$$
我們的目標就是希望找到這樣的 $\delta$ (而通常這個 $\delta$ 會與 $\varepsilon$ 有關。)
範例：證明 $\lim\limits_{x \to 3} x^2 = 9$
目標
我們要使用「極限的精確定義」來證明：
$$\lim\limits_{x \to 3} x^2 = 9$$
也就是說，對任意給定的 $\varepsilon > 0$，我們必須找到一個對應的 $\delta > 0$，使得當：
$$0 < |x-3| < \delta$$
就會保證：
$$|x^2-9| < \varepsilon$$
步驟 1：連結 $|x^2-9|$ 與 $|x-3|$
觀察：
$$|x^2-9| = |(x-3)(x+3)|$$
所以我們可以寫成：
$$|x^2-9| = |x-3| \cdot |x+3|$$
如果我們能找到某個上界 $C$，讓：
$$|x+3| < C$$
那麼就可以進一步寫出：
$$|x^2-9| < C \cdot |x-3|$$
假設 $x$ 接近 3，令 $|x-3| < 1$
這代表：
$$2 < x < 4 \Rightarrow 5 < x+3 < 7$$
所以有：
$$|x+3| < 7$$
我們可以選 $C = 7$ 作為 $|x+3|$ 的上界。
結合兩個條件
我們現在有兩個限制：
- 為了確保 $|x+3| < 7$，需要 $ |x-3| < 1 $
- 為了確保 $|x^2-9| < \varepsilon$，我們希望：
$$ |x-3| \cdot |x+3| < \varepsilon \Rightarrow |x-3| < \dfrac{\varepsilon}{7}$$
要同時滿足這兩個條件，我們就令：
$$\delta = \min\left\{1, \dfrac{\varepsilon}{7} \right\}$$
最後結論
所以只要選擇：
$$\delta = \min\left\{1, \dfrac{\varepsilon}{7} \right\}$$
那麼就會保證：
$$0 < |x-3| < \delta \Rightarrow |x^2-9| < \varepsilon$$
根據定義，我們就成功證明了：
$$\lim\limits_{x \to 3} x^2 = 9$$
精確定義的結論
極限不是用「感覺」判斷的，而是用「任意給定的精度都能滿足」來嚴格證明的。
這個定義雖然抽象，但它是所有極限性質、連續性、導數與積分的邏輯基礎。