113會考數學詳解｜113國中教育會考數學詳解

算式 $\dfrac{3}{7}-(-\dfrac{1}{4})$ 之值為何？

(A) $\dfrac{19}{28}$
(B) $\dfrac{5}{28}$
(C) $\dfrac{4}{11}$
(D) $\dfrac{2}{3}$

(A)

$\begin{aligned}\dfrac{3}{7}-(-\dfrac{1}{4})&=\dfrac{3}{7}(+\dfrac{1}{4})\\ &=\dfrac{12+7}{28}\\&=\dfrac{19}{28}\end{aligned}$
故選(A)

2.

圖 ( 一 ) 為一個直三角柱的展開圖，其中三個面被標示為甲、乙、丙。將此展開圖摺成直三角柱後，判斷下列敘述何者正確？
(A) 甲與乙平行，甲與丙垂直
(B) 甲與乙平行，甲與丙平行
(C) 甲與乙垂直，甲與丙垂直
(D) 甲與乙垂直，甲與丙平行

(A)

如圖，甲與乙為三角柱的底面，互相平行；丙是三角柱的側面，與甲垂直。故選(A)

3.

若二元一次聯立方程式 的解為 ，則 $a + b$ 之值為何？
(A) −28
(B) −14
(C) −4
(D) 14

(C)

利用代入消去法，將 $y=-3x$ 代入 $5x-3y=28$
$\Rightarrow 5x-3\times (-3x)=28$
$\Rightarrow 5x+9x=28$
$\Rightarrow 14x=28$
$\Rightarrow x=2$
將 $x=2$ 代回 $y=-3x$
$\Rightarrow y=-6$
因此 $\left\{\begin{array}{l} x=2\\ y=-6 \end{array}\right.$
故 $a+b=2+(-6)=-4$ ，選(C)

4.

若想在圖(二)的方格紙上沿著格線畫出坐標平面的 x 軸、y 軸並標記原點，且以小方格邊長作為單位長，則下列哪一種畫法可在方格紙的範圍內標出 (5, 3 )、(−4 , − 4 )、(−3,4 )、(3, − 5 ) 四點？

觀察四個點的 $x$ 座標範圍與 $y$ 座標範圍可知：
$-4\leq x\leq 5$
$-5\leq y\leq 4$
只有(D)有涵蓋這個範圍

5.

阿賢利用便利貼拼成一個聖誕樹圖案，聖誕樹圖案共有 10 層，每一層由三列的便利貼拼成，前 3 層如圖 ( 三 ) 所示。若同一層中每一列皆比前一列多2 張，且每一層第一列皆比前一層第一列多 2 張，則此聖誕樹圖案由多少張便利貼拼成？
(A) 354
(B) 360
(C) 384
(D) 390

(B)

第一層( $a_1$ )有 $1+3+5$ 有 $9$ 張
第二層( $a_2$ )有 $3+5+7$ 有 $15$ 張
第三層( $a_3$ )有 $5+7+9$ 有 $21$ 張
由此可知 $a_1,a_2,a_3$ 是一個公差為 $6$ 的等差數列
題目要求10層總共有幾張，利用等差級數公式：
$\begin{aligned}S_10&=\dfrac{10\times[2\times a_1+(10-1)\times 6]}{2}\\&=\dfrac{10\times[2\times 9+9\times 6]}{2}\\&=360\end{aligned}$
故選(B)

6.

箱內有 50 顆白球和 10 顆紅球，小慧打算從箱內抽球 31次，每次從箱內抽出一球，如果抽出白球則將白球放回箱內，如果抽出紅球則不將紅球放回箱內。已知小慧在前30 次抽球中共抽出紅球 4 次，若她第 31 次抽球時箱內的每顆球被抽出的機會相等，則這次她抽出紅球的機率為何？
(A) $\dfrac{1}{5}$
(B) $\dfrac{1}{6}$
(C) ${5}{12}$
(D) $\dfrac{3}{28}$

(D)

題目已知在前30次中，小慧共抽出紅球4次，表示箱內剩下的紅球數量變為 10−4=6 顆，白球仍保持50顆不變，因此箱內總球數變為 50+6=56 顆。

第31次抽球時，每顆球被抽出的機會相等，因此抽出紅球的機率為：$ \dfrac{\text{剩餘紅球數}}{\text{總球數}} =\dfrac{6}{56} = \dfrac{3}{28}$

因此，正確答案為 (D) 。

7.

圖 ( 四 ) 有 A、 B 兩種圖案，其中 A 經過上下翻轉後與 B 相同，且圖案的外圍是正方形，圖 ( 五 ) 是將四個 A 圖以緊密且不重疊的方式排列成大正方形，圖 ( 六 ) 是將兩個 A 圖與兩個 B 圖以緊密且不重疊的方式排列成大正方形。判斷圖 ( 五 )、 圖 ( 六 ) 是否為線對稱圖形？
(A) 圖 ( 五 )、圖 ( 六 ) 皆是
(B) 圖 ( 五 )、圖 ( 六 ) 皆不是
(C) 圖 ( 五 ) 是，圖 ( 六 ) 不是
(D) 圖 ( 五 ) 不是，圖 ( 六 ) 是

(D)

圖（四）中，將 A、B 兩種圖案上下拼起來是線對稱圖形。
圖（五）是 4 張 A 圖案，不是線對稱圖形。
圖（六）是上方兩張 A，下方兩張 B，是線對稱圖形。(對稱軸為水平線)
故選(D)

8.

若 $a = 3.2 \times 10^{-5}$ ， $b = 7.5 \times 10^{-5}$ ， $c = 6.3 \times 10^{-6}$ ，則 a、b、c 三數的大小關係為何？
(A) $a < b < c$
(B) $a < c < b$
(C) $c < a < b$
(D) $c < b < a$

(C)

化為同指數： $c = 0.63 \times 10^{-5}$
因為 $7.5>3.2>0.63$ ，故 $b>a>c$ ，選(C)

9.

癌症分期是為了區別惡性腫瘤影響人體健康的程度，某國統計 2011 年確診四種癌症一到四期的患者在 3 年後存活的比率 ( 3 年存活率 )，並依據癌症類別與不同分期將資料整理成圖 ( 七 )。

甲、乙兩人對該國 2011 年確診上述四種癌症的患者提出看法如下：

( 甲 ) 一到四期的乳癌患者的 3 年存活率皆高於 50%
( 乙 ) 在這四種癌症中，三期與四期的 3 年存活率相差最多的是胃癌對於甲、乙兩人的看法，下列判斷何者正確？
(A) 甲、乙皆正確
(B) 甲、乙皆錯誤
(C) 甲正確，乙錯誤
(D) 甲錯誤，乙正確

(C)

(甲) 的判斷是乳癌患者在一到四期的 3 年存活率皆高於 50%。根據圖表，乳癌的 3 年存活率在各期分別為：

• 一期：接近 100%。
• 二期：約 95%。
• 三期：約 90%。
• 四期：約 55%。

由此可見，乳癌在所有期別的 3 年存活率均高於 50%，因此 (甲) 的看法正確。

(乙) 的判斷是三期與四期的 3 年存活率相差最多的是胃癌。根據圖表，四種癌症在三期與四期的存活率差異分別為：

• 胃癌：三期約 55%，四期約 15%，差異約 40%。
• 肝癌：三期約 20%，四期約 15%，差異約 25%。
• 大腸癌：三期約 85%，四期約 30%，差異約 55%。
• 乳癌：三期約 90%，四期約 55%，差異約 35%。

由此可見，三期與四期存活率差異最大的是大腸癌，因此 (乙) 的看法錯誤。
故選(C)

10.

下列何者為多項式 $5x(5x-2) -4(5x -2)^2$ 的因式分解？
(A) $(5x-2)(25x-8)$
(B) $(5x-2 )(5x-4)$
(C) $(5x-2 )(-15x+8)$
(D) $(5x-2 )(-20x+4)$

(C)

將多項式 $ 5x(5x-2) – 4(5x-2)^2 $ 進行因式分解：

首先，提取公因式 $(5x-2)$：
$5x(5x-2) – 4(5x-2)^2 = (5x-2) \left[ 5x – 4(5x-2) \right]$

展開括號內的部分：
$5x – 4(5x-2) = 5x – 20x + 8 = -15x + 8$

因此，多項式可以因式分解為：
$(5x-2)(-15x+8)$

正確答案是 (C)。

11.

將 $\dfrac{9}{4-\sqrt{7}}$ 化簡為 $a + b\sqrt{7}$，其中 $a$ 、 $b$ 為整數，求 $a + b$ 之值為何？
(A) 5
(B) 3
(C) -9
(D) -15

(A)

將分母有根號的分數 $\dfrac{9}{4-\sqrt{7}}$ 化簡，需對分母進行有理化。

將分子與分母同乘 $4+\sqrt{7}$：
$\dfrac{9}{4-\sqrt{7}} = \dfrac{9(4+\sqrt{7})}{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}$

分母利用平方差公式：
$(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7}) = 4^2 – (\sqrt{7})^2 = 16 – 7 = 9$

分子展開後為：
$9(4+\sqrt{7}) = 36 + 9\sqrt{7}$

將分母化簡後代入：
$\dfrac{36 + 9\sqrt{7}}{9} = \dfrac{36}{9} + \dfrac{9\sqrt{7}}{9} = 4 + \sqrt{7}$

因此，化簡後結果為：
$4 + \sqrt{7}$

其中，$a=4$ 且 $b=1$，因此 $a+b = 4+1 = 5$。

正確答案是 (A)。

12.

甲、乙兩個二次函數分別為 $y = ( x + 20 )^2 + 60$ 、 $y = -( x – 30 )^2 + 60$ ，判斷下列敘述何者正確？
(A) 甲有最大值，且其值為 $x = 20$ 時的 $y$ 值
(B) 甲有最小值，且其值為 $x = 20$ 時的 $y$ 值
(C) 乙有最大值，且其值為 $x = 30$ 時的 $y$ 值
(D) 乙有最小值，且其值為 $x = 30$ 時的 $y$ 值

(C)

甲的函數為：
$$
y = (x + 20)^2 + 60
$$
這是一個開口向上的拋物線，其頂點為最小值。頂點的 $x$ 坐標由平方項為零時決定，即：
$$
x + 20 = 0 \Rightarrow x = -20
$$
此時的 $y$ 值為：
$$
y = (-20 + 20)^2 + 60 = 60
$$
因此，甲有最小值，且最小值為 $y = 60$，發生在 $x = -20$。

乙的函數為：
$$
y = -(x – 30)^2 + 60
$$
這是一個開口向下的拋物線，其頂點為最大值。頂點的 $x$ 坐標由平方項為零時決定，即：
$$
x – 30 = 0 \implies x = 30
$$
此時的 $y$ 值為：
$$
y = -((30 – 30)^2) + 60 = 60
$$
因此，乙有最大值，且最大值為 $y = 60$，發生在 $x = 30$。
正確選項為：(C)

13.

圖 ( 八 ) 為阿成調整他的電腦畫面的解析度時看到的選項，當他從建議選項1920×1080調整成1400×1050時， 由於比例改變(1920：1080≠1400：1050)，畫面左右會出現黑色區域，當比例不變就不會有此問題。判斷阿成將他的電腦畫面解析度從 1920 × 1080 調整成下列哪一種時，畫面左右不會出現黑色區域？

(A) 1680 × 1050
(B) 1600 × 900
(C) 1440 × 900
(D) 1280 × 1024

(B)

已知原解析度為 $1920 \times 1080$，其比例為：
$$
\text{原比例} = \frac{1920}{1080} = \frac{16}{9}
$$

目標是判斷選項中的解析度比例是否與 $\frac{16}{9}$ 相等，這樣畫面左右不會出現黑色區域。

(A) $ 1680 \times 1050 $：
$$
\text{比例} = \frac{1680}{1050} = \frac{168}{105} = \frac{8}{5}
$$
這與 $\frac{16}{9} $ 不相等。

(B)$1600 \times 900$：
$$
\text{比例} = \frac{1600}{900} = \frac{160}{90} = \frac{16}{9}
$$
這與原比例 $\frac{16}{9}$ 相等。

(C)$1440 \times 900$：
$$
\text{比例} = \frac{1440}{900} = \frac{144}{90} = \frac{8}{5}
$$
這與 $\frac{16}{9} $不相等。

(D) $ 1280 \times 1024$：
$$
\text{比例} = \frac{1280}{1024} = \frac{5}{4}
$$
這與 $ \frac{16}{9} $ 不相等。

只有選項 (B) 的比例與 $\frac{16}{9} $ 相同，因此調整為這個解析度時，畫面左右不會出現黑色區域。

答案：(B)

14.

小玲搭飛機出國旅遊，已知她搭飛機產生的碳排放量為 800 公斤，為了彌補這些碳排放量，她決定上下班時從駕駛汽車改成搭公車。依據圖 ( 九 ) 的資訊，假設小玲每日上下班駕駛汽車或搭公車的來回總距離皆為 20 公里，則與駕駛汽車相比，她至少要改搭公車上下班幾天，減少產生的碳排放量才會超過她搭飛機產生的碳排放量？
(A) 310 天
(B) 309 天
(C) 308 天
(D) 307 天

(C)

已知：

1. 小玲每日上下班駕駛汽車或搭公車的來回距離為 20 公里。
2. 每公里碳排放量：

• 汽車：0.17 公斤
• 公車：0.04 公斤

1. 搭飛機碳排放量為 800 公斤。

計算每天改搭公車減少的碳排放量

駕駛汽車每天的碳排放量：
$$
\text{汽車排放量} = 20 \times 0.17 = 3.4 \, \text{公斤}
$$

搭公車每天的碳排放量：
$$
\text{公車排放量} = 20 \times 0.04 = 0.8 \, \text{公斤}
$$

改搭公車每天減少的碳排放量：
$$
\text{減少排放量} = 3.4 – 0.8 = 2.6 \, \text{公斤}
$$

計算需要改搭公車的天數

要抵消搭飛機產生的 800 公斤碳排放量，需要的天數為：
$$
\text{天數} = \frac{800}{2.6}
$$

進行計算：
$$
\text{天數} = \frac{800}{2.6} \approx 307.69
$$

由於天數必須為整數，且需「超過」搭飛機的碳排放量，因此取進位：
$$
\text{天數} = 308 \, \text{天}
$$

故選(C)

15.

甲、乙兩個最簡分數分別為 $\dfrac{10}{a}$ 、 $\dfrac{18}{b}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 為正整數。若將甲、乙通分化成相同的分母後，甲的分子變為 $50$，乙的分子變為 $54$ ，則下列關於 $a$ 的敘述，何者正確？
(A) a 是 3 的倍數，也是 5 的倍數
(B) a 是 3 的倍數，但不是 5 的倍數
(C) a 是 5 的倍數，但不是 3 的倍數
(D) a 不是 3 的倍數，也不是 5 的倍數

(B)

① 因為 $\dfrac{10}{a}$ 是最簡分數
所以 $10$ 和 $a$ 互質，故 $a$ 不是 $5$ 的倍數
② 將甲、乙通分化成相同的分母後：
$\text{甲}＝\dfrac{50}{5a}$ ，
$\text 乙＝\dfrac{54}{3b}$
故 $5a= 3b$
所以 $5a$ 是 $3$ 的倍數，即 $a$ 是 $3$ 的倍數。

故選(B)

16.

有研究報告指出，1880 年至 2020 年全球平均氣溫上升趨勢約為每十年上升0.08 ℃。已知 2020 年全球平均氣溫為 14.88 ℃，假設未來的全球平均氣溫上升趨勢與上述趨勢相同，且每年上升的度數相同，則預估 2020 年之後第 x 年的全球平均氣溫為多少 ℃ ？ ( 以 x 表示 )
(A) $14.88 + 0.08x$
(B) $14.88 + 0.008x$
(C) $14.88 + 0.08 [ x + ( 2020 − 1880 )]$
(D) $14.88 + 0.008 [ x + ( 2020 − 1880 )]$

(B)

1880 年至 2020 年的期間為：
$$
2020 – 1880 = 140 \, \text{年}
$$

這 140 年內，每十年氣溫上升 0.08 ℃，所以每年的氣溫上升為：
$$
\text{每年上升度數} = \frac{0.08}{10} = 0.008 \, \text{℃/年}
$$

計算第 x 年的全球平均氣溫

2020 年之後第 x 年的全球平均氣溫上升總量為：
$$
\text{上升總量} = 0.008x
$$

因此，2020 年之後第 x 年的全球平均氣溫為：
$$
\text{氣溫} = 14.88 + 0.008x
$$
故選(B)

(A)

∠A＝180˚－55˚－65˚＝60˚
因為 ∠C＞∠A＞∠B ，所以 $\overline{AB}>\overline{BC}＞\overline{AC}$
因為 $\overline{AB}＞\overline{BC}$ ，所以 A 點在圓 B 外部。
因為 $\overline{BC}＞\overline{AC}$ ，所以 A 點在圓 C 內部。
故選(A)。

18.

如圖 ( 十 )，平行四邊形 ABCD 與平行四邊形 EFGH 全等，且 A、B、C、D的對應頂點分別是 H、 E、F、 G， 其中 E 在 $\overline{DC}$ 上， F 在 $\overline{BC}$ 上，C 在 $\overline{FG}$ 上。若 $\overline{AB} = 7$ ， $\overline{AD} = 5$ ， $\overline{FC} = 3$ ，則四邊形 ECGH 的周長為何？
(A) 21
(B) 20
(C) 19
(D) 18

(A)

因為 $ABCD$ 與 $EFGH$ 全等且為平行四邊形，所以
(1) $\overline{AD}=\overline{BC}=\overline{EF}=\overline{GH}=5$
(2) $\overline{AB}=\overline{CD}=\overline{EF}=\overline{GH}=7$
(3) $\angle{F}=\angle{C}$
由(3)可知$\overline{EC}=\overline{EF}=5$
$\overline{CG}=\overline{FG}-\overline{FC}=7-3=4$
故 $ECGH$ 的周長為 $\overline{EC}+\overline{CG}+\overline{GH}+\overline{HE}=5+4+5+7=21$
故選(A)

19.

圖 ( 十一 ) 的數線上有 A(−2)、O(0)、B(2) 三點。今打算在此數線上標示P(p)、Q(q) 兩點，且 p、 q 互為倒數， 若 P 在 A 的左側， 則下列敘述何者正確？
(A) Q 在 $\overline{AO}$ 上，且 $\overline{AQ} < \overline{QO}$

(B) Q 在 $\overline{AO}$ 上，且 $\overline{AQ} > \overline{QO}$
(C) Q 在 $\overline{OB}$ 上，且 $\overline{OQ}< \overline{QB}$

(D) Q 在 $\overline{OB}$ 上，且 $\overline{OQ}> \overline{QB}$

(B)

由題目可知 $ q = \frac{1}{p} $

將 $ p < -2$，代入 $q = \frac{1}{p}$，，因此 $q$ 為負數且介於 0 與 -0.5 之間：
也就是 $ -\frac{1}{2} < q < 0 $

接下來分析 $Q(q)$ 的位置。由 $-\frac{1}{2} < q < 0$，可以確定 $Q$ 位於 $\overline{AO}$ 上（即 $-2 \leq q \leq 0 $) 。由於 $ Q$ 的座標為負且更接近 $O$ 而非 $A$ ，因此： $\overline{AQ} > \overline{QO}$

故選(B)

20.

四邊形 ABCD 中，E、F 兩點在$\overline{BC}$ 上，G 點在 $\overline{AD }$上，各點位置如圖 ( 十二 ) 所示。連接 $\overline{GE}$ 、 $\overline{GF}$ 後， 根據圖(十二)中標示的角與角度，判斷下列關係何者正確？
(A) ∠1 + ∠2 < ∠3 + ∠4

(B) ∠1 + ∠2 > ∠3 + ∠4
(C) ∠1 + ∠4 < ∠2 + ∠3

(D) ∠1 + ∠4 > ∠2 + ∠3

(D)

在 $\triangle EFG$ 中， $\angle 1+\angle 2+\angle EGF=180^\circ$ ，
因為 $AGD$ 共線，所以 $\angle 3+\angle 4+\angle EGF=180^\circ$ 。
故 $\angle 1+\angle 2=\angle 3+\angle 4$
在四邊形 $ABFG$ 與四邊形 $CDGE$ 中，因為四邊形內角和為 $360^\circ$ ，所以
$\begin{aligned}&\angle A+\angle B+\angle AGF+\angle 2\\=&\angle C+\angle D+\angle DGE+\angle 1\\=&360^\circ\end{aligned}$
可得:
$100^\circ+85^\circ+(\angle 3+\angle EGF)+\angle 2 $
$= 105^\circ+70^\circ+(\angle 4+\angle EGF)+\angle 1 $
整理可得 $\angle 2+\angle 3+10^\circ=\angle 1+\angle 4$ ，所以 $\angle 1+\angle 4>\angle 2 +\angle 3$
故選(D)

21.

如圖 ( 十三 )， $\overset{\frown}{AC}$ 、 $\overset{\frown}{BD}$ 皆為半圓，$\overset{\frown}{AC}$ 與 $\overset{\frown}{BD}$ 相交於 E 點，其中 A、B、C、D 在同一直線上，且 B 為 $\overline{AC}$ 的中點。若 $\overset{\frown}{CE}$ = 58°，則 $\overset{\frown}{BE}$ 的度數為何？
(A) 58
(B) 60
(C) 62
(D) 64

(D)

因為 $\overset{\frown}{CE} = 58^\circ$ ，
所以 $\angle EBC=58^\circ$ (以 $\overset{\frown}{AC}$ 圓來看， $\angle EBC$ 為 $\overset{\frown}{CE}$ 的圓心角)
所以 $\overset{\frown}{DE}=58^\circ\times 2=116^\circ$ (以 $\overset{\frown}{BD}$ 的圓來看， $\overset{\frown}{DE}$ 為 $\angle EBC$ 的圓周角)
因此 $\overset{\frown}{BE}=180^\circ-116^\circ=64^\circ$
故選(D)

22.

如圖 ( 十四 )，ΔABC 內部有一點 D，且ΔDAB、ΔDBC、ΔDCA 的面積分別為 5、4、3 。若 ΔABC 的重心為 G，則下列敘述何者正確？
(A) ΔGBC 與 ΔDBC 的面積相同，且 $\overline{DG}$ 與 $\overline{BC}$ 平行
(B) ΔGBC 與 ΔDBC 的面積相同，且 $\overline{DG}$ 與 $\overline{BC}$ 不平行
(C) ΔGCA 與 ΔDCA 的面積相同，且 $\overline{DG}$ 與 $\overline{AC}$ 平行
(D) ΔGCA 與 ΔDCA 的面積相同，且 $\overline{DG}$ 與 $\overline{AC}$ 不平行

(A)

面積 $\triangle ABC=5+4+3=12 $
因為 $G$ 為 $\triangle ABC$ 的重心，所以面積 $\triangle GBC = \dfrac{1}{3}\triangle ABC=\dfrac{12}{3}=4 $
故可知 $\triangle GBC$ 與 $\triangle DBC$ 面積相等，又此兩三角形的底邊皆為 $\overline{BC}$ ，代表兩三角形高相等。故 $G$ 與 $\overline{BC}$ 的垂直距離 = $D$ 與 $\overline{BC}$ 的垂直距離。因此$\overline{DG}//\overline{BC}$
故選(A)

23.

如圖 ( 十五 )，等腰梯形紙片 ABCD 中， $\overline{AD}$ // $\overline{BC}$， $\overline{AB} = \overline{DC} $， ∠B = ∠C，且 E 點在 $\overline{BC}$ 上， $\overline{DE}$ // $\overline{AB}$。今以 $\overline{DE}$ 為摺線將 C 點向左摺後，C 點恰落在 $\overline{AB}$ 上，如圖 ( 十六 ) 所示。若 $\overline{CE} = 2$ ，$\overline{DE} = 4$ ，則圖 ( 十六 ) 的 $\overline{BC}$ 與 $\overline{AC}$ 的長度比為何？
(A) 1：2
(B) 1：3
(C) 2：3
(D) 3：5

(B)

因為 $\overline{AD} = \overline{BC}$ 且 $\overline{AD} // \overline{BC}$ ，可知 $ABED$ 為平行四邊形(一對邊平行且相等)。所以 $\overline{DE}=\overline{AB}=\overline{DF}=4$
故 $\triangle DEF$ 為等腰三角形。且
$\begin{aligned}\angle DFE&=\angle DEF=\angle {ABE}\text{(同位角)}\\&=\angle DEC=\angle BCE \text{(內錯角)} \end{aligned}$
故 $\triangle BCE$ 為等腰三角形，故$\overline{BE}=\overline{CE}=2$ ，$\overline{BE}=4-\overline{BE}=2$ 。
此外， $\triangle DEF~\triangle EBC (AA相似)$ ，所以 $\dfrac{4}{2}=\dfrac{2}{x}$
解得 $x=1$ ，故 $\overline{BC}$ 與 $\overline{AC}$ 的長度比為 $1:4-1=1:3$
故選(B)

24.

以下為甲、乙兩個關於成年女性理想體重的敘述：
( 甲 ) 有的女性使用算法①與算法②算出的理想體重會相同
( 乙 ) 有的女性使用算法②與算法③算出的理想體重會相同
對於甲、乙兩個敘述，下列判斷何者正確？
(A) 甲、乙皆正確
(B) 甲、乙皆錯誤
(C) 甲正確，乙錯誤
(D) 甲錯誤，乙正確

(D)

假設身高為 $x$ 公尺時，算法①與算法②算出的理想體重會相同，則解方程式:
$x^2\times 22=(100x-70)\times 0.6$
$\Rightarrow 11x^2-30x+21=0$
$\Rightarrow 判別式=(-30)^2-4\times 11\times 21<0$ ，所以不存在這樣的實數 $x$ ，所以甲錯誤。
假設身高為 $y$ 公尺時，算法①與算法②算出的理想體重會相同，則解方程式:
$(100y-70)\times 0.6=(100y-158)\times 0.5+52$
$\Rightarrow 10y=15$
$\Rightarrow y=1.5$
也就是當身高為 $1.5$ 公尺時，算法②與算法③算出的理想體重會相同。乙正確。
故選(D)

25.

無論我們使用哪一種算法計算理想體重，都可將個人的實際體重歸類為表 ( 二 ) 的其中一種類別。

當身高 1.8 公尺的成年男性使用算法②計算理想體重並根據表 ( 二 ) 歸類，實際體重介於70 × 90% 公斤至 70 × 110% 公斤之間會被歸類為正常。若將上述身高 1.8 公尺且實際體重被歸類為正常的成年男性，重新以算法③計算理想體重並根據表 ( 二 ) 歸類，則所有可能被歸類的類別為何？
(A) 正常
(B) 正常、過重
(C) 正常、過輕
(D) 正常、過重、過輕

(B)

題目想問的是:
用算法②計算理想體重並根據表 ( 二 ) 歸類為正常體重的人，若改用算法③計算理想體重並根據表 ( 二 ) 歸類，有可能被歸在哪幾類？
1.8公尺用算法③計算的理想體重為 $(100\times 1.8-170)\times 0.6+62=68$ 公斤。
故計算：
大於 $68\times 120\% =81.6$ …肥胖
介於 $68\times110\%\sim 68\times120\%$，即 $74.8 \sim 81.6$ …過重
介於 $68\times 90\% \sim 68\times110\%$，即 $61.2 \sim74.8$ …正常
介於 $68\times80\% \sim 68\times 90\% $ ，即 $54.4 \sim 61.2$ …過輕
小於 $68\times80\% =54.4$ …消瘦
故體重為$70 × 90\%=63$ 公斤至 $70 × 110\%=77$ 公斤之間的人以算法③計算理想體重並根據表 ( 二 ) 歸類可能會是正常或是過重，故選(B)

1.

「健康飲食餐盤」是一種以圖畫呈現飲食指南的方式，圖畫中各類食物區塊的面積比，表示一個人每日所應攝取各類食物的份量比。某研究機構對於一般人如何搭配「穀類」、 「蛋白質」、 「蔬菜」、「水果」這四大類食物的攝取份量，以「健康標語」說明這四大類食物所應攝取份量的關係如圖 ( 十七 )，並繪製了「健康飲食餐盤」如圖 ( 十八 )。

請根據上述資訊回答下列問題，完整寫出你的解題過程並詳細解釋：
(1) 請根據圖 ( 十七 ) 的「健康標語」，判斷一個人每日所應攝取的「水果」和「蛋白質」份量之間的大小關係。

(2) 將圖 ( 十八 ) 的「健康飲食餐盤」簡化為一個矩形，且其中四大類食物的區塊皆為矩形，如圖 ( 十九 ) 所示。若要符合圖 ( 十七 ) 的「健康標語」，在紙上畫出圖 ( 十九 ) 的圖形，其中餐盤長為 16 公分，寬為 10 公分，則 a、b 是否可能同時為正整數？

2.

某教室內的桌子皆為同一款多功能桌，4 張此款桌子可緊密拼接成中間有圓形鏤空的大圓桌， 上視圖如圖 ( 二十 )所示，其外圍及鏤空邊界為一大一小的同心圓，其中大圓的半徑為 80 公分，小圓的半徑為 20 公分，且任兩張相鄰桌子接縫的延長線皆通過圓心。

為了有效運用教室空間，老師考慮了圖 ( 二十一 ) 及圖 ( 二十二 ) 兩種拼接此款桌子的方式。

這兩種方式皆是將 2 張桌子的一邊完全貼合進行拼接。A、 B 兩點為圖(二十一)中距離最遠的兩個桌角，C、D 兩點為圖 ( 二十二 ) 中距離最遠的兩個桌角，且 $\overline{CD}$ 與 2 張桌子的接縫 $\overline{EF}$ 相交於 G 點，G 為 $\overline{EF}$ 中點。

請根據上述資訊及圖 ( 二十一 )、圖 ( 二十二 ) 中的標示回答下列問題，完整寫出你的解題過程並詳細解釋：
(1) $\overline{GF}$ 的長度為多少公分？
(2) 判斷 $\overline{CD}$ 與 $\overline{AB}$ 的長度何者較大？請說明理由。