112會考數學詳解｜112國中教育會考數學詳解

112會考數學第一部分

112會考數學第二部分

112會考數學第一部分：選擇題 (1 ~ 26 題)

$(-3)^3$ 之值為何?

(A) −27
(B) −9
(C) 9
(D) 27

(A)

$(-3)^3=(-3) \times (-3) \times (-3)=-27$

下列何者為多項式 $x^2 – 36$ 的因式?
(A) $x-3$
(B) $x-4$
(C) $x-6$
(D) $x-9$

(C)

利用平方差公式， $x^2 - 36=x^2 - 6^2=(x+6)(x-6)$ ，選項中只有(C)為 $x^2 – 36$ 的因式。故選(C)

圖 ( 一 ) 的立體圖形由相同大小的正方體積木堆疊而成。判斷拿走圖 ( 一 ) 的哪一個積木後,此圖形前視圖的形狀會改變?
(A) 甲
(B) 乙
(C) 丙
(D) 丁

(B)

想像自己從箭頭方向看過去，如下圖所示。

若把乙方塊拿走，則會變成：

故選(B)

化簡 $\sqrt{135}$ 的結果為下列何者?
(A) $3\sqrt{5}$
(B) $27\sqrt{5}$
(C) $3 \sqrt{15}$
(D) $9\sqrt{15}$

(C)

將135進行質因數分解，如右圖， $135=3^3\times 5$ 。因此， $\sqrt{135}=\sqrt{3^2\times 3\times 5}=3\sqrt{15}$ ，選(C)

坐標平面上,一次函數 $y=-2x-6$ 的圖形通過下列哪一個點?
(A) (−4,1)
(B) (−4, 2)
(C) (−4 , −1)
(D) (−4 , −2)

(B)

將每個選項的點代入函數中，如果符合等式，則圖形就會通過此點。
(A) $1\neq 2$
(B) $ 2= 2$
(C) $-1\neq 2$
(D) $-2\neq 2$
只有(B)等式符合，故選(B)

已知 a = -1, $b = -1\displaystyle\frac{3}{4}$ , $c = -1 \displaystyle\frac{5}{8}$ ,下列關於 a、b、c 三數的大小關係 , 何者正確?
(A) a > c > b
(B) a > b > c
(C) b > c > a
(D) c > b > a

(A)

當一個數負的越多時會越小(也就是在一條數線中，越左邊的數會越小)。因為 $1\dfrac{3}{4}=1\dfrac{6}{8}$ ，而且 $1\dfrac{6}{8}>1 \dfrac{5}{8}>1$ ，所以 $-1\dfrac{3}{4}<-1 \dfrac{5}{8}<-1$ ，也就是 $b<c<a$ ，故選(A)

如圖 ( 二 ),坐標平面上直線 L 的方程式為 x = −5,直線 M 的方程式為 y = −3, P 點的坐標為 (a , b)。根據圖 ( 二 ) 中 P 點位置判斷,下列關係何者正確?
(A) a < −5, b > −3
(B) a < −5, b < −3

(A)

P點在直線L的左方，所以 $a<-5$
P點在直線M的上方，所以 $b>-3$
故選(A)

如圖 ( 三 ), 梯形 ABCD 中, $\overline{AD} // \overline{BC}$ 。若 ∠ ADC = 140°, 且 $\overline{BD}\perp\overline{CD}$ ,則 $\angle DBC$ 的度數為何?
(A) 30
(B) 40
(C) 50
(D) 60

(C)

由於 $\overline{AD} /\mskip-4mu/ \overline{BC}$ ，可知 $\angle{DBC}=\angle{ADB}$ (內錯角相等)。又
$\begin{aligned}\angle{ADB}&=\angle{ADC}-\angle{BDC}\\&=140^\circ-90^\circ\\&=50^\circ\end{aligned}$
所以 $\angle{DBC}=\angle{ADB}=50^\circ$
故選(C)

有多少個正整數是 18 的倍數,同時也是 216 的因數?
(A) 2
(B) 6
(C) 10
(D) 12

(B)

216的因數有：
1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、27、36、54、72、108、216
其中18、38、54、72、108、216是18的倍數，共有6個，故選(B)
另解：因為 $216=18\times 2^2\times 3^1$ ，2的次方可以選擇為：0、1、2 ，共三種選擇； 3的次方可以選擇為 0、1 ，共兩種選擇。故總共有 $3\times 2=6$ 種選擇(如右圖)

10.

利用公式解可得一元二次方程式 $3x^2 - 11x - 1 = 0$ 的兩解為 a、b, 且 a > b, 求 a 值為何?

(A) $\displaystyle\frac{-11+\sqrt{109}}{6}$

(B) $\displaystyle\frac{-11+\sqrt{133}}{6}$

(D) $\displaystyle\frac{11+\sqrt{133}}{6}$

(D)

利用公式解： $\begin{aligned}x&=\dfrac{-(-11)\pm \sqrt{(-11)^2-4\times 3\times (-1)}}{2\times 3}\\&=\dfrac{11+\sqrt{133}}{6} \end{aligned}$ ，選(D)

11.

業者販售含咖啡因飲料時通常會以紅、黃、綠三色來標示每杯飲料的咖啡因含量,各顏色的意義如表 ( 一 ) 所示。

我國建議每位成人一日的咖啡因攝取量不超過 300 毫克,歐盟則建議一日不超過 400 毫克。表 ( 二 ) 為某商店美式咖啡的容量及咖啡因含量標示,已知該店美式咖啡每毫升的咖啡因含量相同,判斷一位成人一日喝 2 杯該店中杯的美式咖啡,其咖啡因攝取量是否符合我國或歐盟的建議?
(A) 符合我國也符合歐盟
(B) 不符合我國也不符合歐盟
(C) 符合我國,不符合歐盟
(D) 不符合我國,符合歐盟

(D)

由於咖啡每毫升的咖啡因含量相同，假設每毫升含有咖啡因 $x$ 毫克，
中杯標示為黃色 $\Rightarrow$ $200\geq 360x>100$
大杯標示為紅色 $\Rightarrow$ $480x>200$
由第一式可知 $\dfrac{5}{9}\geq x>\dfrac{5}{18}$
第二式可知 $x>\dfrac{5}{12}$
結合兩式， $\dfrac{5}{9}\geq x>\dfrac{5}{12}$
題目問兩杯中杯的美式咖啡，也就是720毫升的咖啡，將上面式子同乘720： $400\geq 720x>300$ ，超過300，不超過400。也就是不符合我國但符合歐盟。故選(D)

12.

盒玩的販售方式是將一款玩具裝在盒子中販賣,購買者只能從外盒知道購買的是哪一系列玩具,但無法知道是系列中的哪一款。圖 ( 四 )、圖 ( 五 ) 分別為動物系列、汽車系列盒玩中所有可能出現的款式。

已知小友喜歡圖 ( 四 ) 中的 A 款、C 款,喜歡圖 ( 五 ) 中的 B 款,若他打算購買圖 ( 四 ) 的盒玩一盒,且他買到圖 ( 四 ) 中每款玩具的機會相等;他也打算購買圖 ( 五 ) 的盒玩一盒,且他買到圖 ( 五 ) 中每款玩具的機會相等,則他買到的兩盒盒玩內的玩具都是他喜歡的款式的機率為何?

(A) $\displaystyle\frac{1}{15}$

(B) $\displaystyle\frac{1}{10}$

(D) $\displaystyle\frac{3}{11}$

(A)

動物系列買到他喜歡的款式的機率為 $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
汽車系列買到他喜歡的款式的機率為 $\dfrac{1}{5}$
故動物系列與汽車系列都買到他喜歡的款式的機率為 $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{15}$ ，故選(A)

13.

如圖 ( 六 ),直角柱 ABCDEF 的底面為直角三角形。若 ∠ ABC = ∠ DEF = 90°, $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}} >\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}} >\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BE}}$ ，則連接 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AE}}$ 後,下列敘述何者正確?
(A) ∠ ACB < ∠ FDE ，∠ AEB > ∠ ACB
(B) ∠ ACB < ∠ FDE ， ∠ AEB < ∠ ACB

(A)

題目要求 $\angle ACB$ 分別跟 $\angle FDE$ 、 $\angle AEB$ 比較大小。因為 $\angle FDE=\angle CAB$ ，
假設 $\left\{\begin{array}{l} \angle 1=\angle ACB \\ \angle 2= \angle CAB\\ \angle 3 = \angle BAE \\ \angle 4 = \angle AEB \end{array}\right.$ ，我們只要比較 $\angle 1$ 、 $\angle 2$ 與 $\angle 1$ 、 $\angle 4$ 的大小。
利用三角形大邊對大角的性質：
在三角形 $ABC$ 中，因為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}} >\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ ，所以 $\angle 2 >\angle 1$ ，而且 $\angle 2 +\angle 1=90^\circ$ 。因此， $\angle 2 >45^\circ >\angle 1$
在三角形 $ABE$ 中，因為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}} >\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BE}}$ ，所以 $\angle 4 >\angle 3$ ，而且 $\angle 3 +\angle 4=90^\circ$ 。因此， $\angle 4 >45^\circ > \angle 3$
總結以上， $\angle 2>\angle 1$ 、 $\angle 4 >45^\circ >\angle 1$ ，也就是$ \angle{FDE}>\angle{ACB}$ ， $\angle AEB > \angle{ACB}$ ，故選(A)

14.

坐標平面上有兩個二次函數的圖形,其頂點 P、Q 皆在 x 軸上,且有一水平線與兩圖形相交於 A、B、C、D 四點,各點位置如圖 ( 七 ) 所示。若 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}} = 10 , \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}= 5, \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CD}}= 6$ , 則 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{PQ}}$ 的長度為何?

(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10

(B)

假設 $A$ 點座標為 $(a,b)$ ，則可求出 $B(a+10,b)$ 、 $C(a+15,b)$ 、 $D(a+21,b)$ 。
要計算P、Q的距離，就相當於求圖中紅線與綠線的距離。
紅線是左邊拋物線的對稱軸，會通過 $A$ 、 $C$ 的中點，也就是會通過 $(\dfrac{2a+15}{2},b)$ 。
綠線是右邊拋物線的對稱軸，會通過 $B$ 、 $D$ 的中點，也就是會通過 $(\dfrac{2a+31}{2},b)$ 。
因此，兩對稱軸距離為 $\dfrac{2a+31}{2}-\dfrac{2a+15}{2}=8$ ，故選(B)

15.

若想在等差數列 1,2,3,4,5 中插入一些數,使得新的數列也是等差數列, 且新的數列的首項仍是 1,末項仍是 5,則新的數列的項數可能為下列何者?
(A) 11
(B) 15
(C) 30
(D) 33

(D)

想要插入一些數，使得新數列也是等差數列，則在1，2之間、2，3之間、3，4之間、4，5之間，要插入相等數量的數(否則不會變成等差數列)。假設在四個間格中分別都插入 $n$ 個數，則總項數為 $4n+5$ 個(4個間隔，每個間格都插入n個數，再加上原本的五個數)。接下來就找選項中有沒有 $4n+5$ 這種形式的數字。發現在 $n=7$ 時，總項數為 $33$ ，故選(D)

16.

已知某速食店販售的套餐內容為一片雞排和一杯可樂,且一份套餐的價錢比單點一片雞排再單點一杯可樂的總價錢便宜 40 元。阿俊打算到該速食店買兩份套餐,若他發現店內有單點一片雞排就再送一片雞排的促銷活動,且單點一片雞排再單點兩杯可樂的總價錢,比兩份套餐的總價錢便宜 10 元,則根據題意可得到下列哪一個結論?
(A) 一份套餐的價錢必為 140 元
(B) 一份套餐的價錢必為 120 元
(C) 單點一片雞排的價錢必為 90 元
(D) 單點一片雞排的價錢必為 70 元

(C)

設一片雞排 $x$ 元，一杯可樂 $y$ 元，如果單點一片雞排再單點一杯可樂共 $x+y$ 元，根據題意，一份套餐價格為 $x+y-40$ 元。
此外，單點一片雞排再單點兩杯可樂共 $x+2y$ 元，兩份套餐 $2x+2y-80$ 元。題目說前者會比後者便宜10元，故可列式：$(2x+2y-80)-(x+2y)=10$ ，可解出 $x=90$ 元。故選(C)

17.

圖 ( 八 ) 的方格紙中,每個方格的邊長為 1,A、O 兩點皆在格線的交點上。今在此方格紙格線的交點上另外找兩點B、C,使得 ΔABC 的外心為 O,求 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$ 的長度為何?
(A) 4
(B) 5
(C) $\sqrt{10}$
(D) $\sqrt{20}$

(D)

以O為圓心， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OA}}$ 為半徑畫圓，看看哪些格子點會被碰到(也就是尋找格子點上那些點與O的距離與OA距離相等)。結果發現只會有兩點(右圖紅點)，而其中一點就是B，另一點是C。故兩點距離為 $\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$

18.

樂樂停車場為 24 小時營業,其收費方式如表 ( 三 ) 所示。已知阿虹某日 10:00 進場停車,停了 x 小時後離場,x 為整數。若阿虹離場的時間介於當日的 20:00 ~ 24:00間,則他此次停車的費用為多少元?
(A) 5x + 30
(B) 5x + 50
(C) 5x + 150
(D) 5x + 200

(B)

10:00~20:00總共10小時， $20\times10=200>100$ ，花費100元。
剩下 $x-10$ 小時，花費 $5(x-10)=5x-50$ 元
故總共花費 $100+(5x-50)=5x+50$ 元，選(B)

19.

圖 ( 九 ) 為一圓形紙片,A、B、C 為圓周上三點,其中 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 為直徑。今以 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 為摺線將紙片向右摺後,紙片蓋住部分的 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ ,而 $\overset{\Large{\frown}}{AB}$ 上與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 重疊的點為 D,如圖 ( 十 ) 所示。若 $\overset{\Large{\frown}}{BC}$ = 35°,則 $\overset{\Large{\frown}}{AD}$ 的度數為何?
(A) 105
(B) 110
(C) 120
(D) 145

(B)

假設以 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 為對稱軸， $D$ 點的對稱點為 $D’$ ，由於 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}^\prime}$ 的對稱軸，故 $\angle 1=\angle 2$ ，因此 $\overset{\Large{\frown}}{BC}=\overset{\Large{\frown}}{BD’}=35^\circ$ (圓周角相等，則所對應的弧度也會相等) 。故 $\overset{\Large{\frown}}{AD}=\overset{\Large{\frown}}{AD’}$$=\overset{\Large{\frown}}{AC}-\overset{\Large{\frown}}{BD^\prime}-\overset{\Large{\frown}}{BC}$$=180^\circ-35^\circ-35^\circ=110^\circ$

20.

如圖 ( 十一 ),ΔABC 中,D 點在 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$ 上,且 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BD}}$ 的中垂線與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 相交於 E 點, $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CD}}$ 的中垂線與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 相交於 F 點。已知 ΔABC 的三個內角皆不相等,根據圖 ( 十一 ) 中標示的角, 判斷下列敘述何者正確?
(A) ∠ 1 = ∠ 3, ∠ 2 = ∠ 4
(B) ∠ 1 = ∠ 3, ∠ 2 ≠ ∠ 4
(C) ∠ 1 ≠ ∠ 3, ∠ 2 = ∠ 4
(D) ∠ 1 ≠ ∠ 3, ∠ 2 ≠ ∠ 4

(C)

如圖，由於 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BD}}$ 的中垂線通過 $E$ ，所以 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{EB}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{ED}}$ ，故 $\angle B=\angle EDB$ ，假設此角為x。
同理，假設 $\angle C$ 、 $\angle FDC$ 為o ，故由外角定理可知：

$\left\{\begin{array}{l} \angle 1=2\mbox{x}\\ \angle 3=2\mbox{o}\\ \angle 2 =180^\circ-\mbox{o}-\mbox{x}\\ \angle 4 =180^\circ -\mbox{o}-\mbox{x}\end{array}\right.$
因此 $\angle 1 \neq \angle 3, \angle 2 = \angle 4$ ，選(C)

21.

有一東西向的直線吊橋橫跨溪谷,小維、阿良分別從西橋頭、東橋頭同時開始往吊橋的另一頭筆直地走過去, 如圖 ( 十二 ) 所示。已知小維從西橋頭走了84 步,阿良從東橋頭走了 60 步時,兩人在吊橋上的某點交會,且交會之後阿良再走 70 步恰好走到西橋頭。若小維每步的距離相等,阿良每步的距離相等,則交會之後小維再走多少步會恰好走到東橋頭?
(A) 46
(B) 50
(C) 60
(D) 72

(D)

根據題意，阿良走70步的距離等於小維走84步的距離，題目要問阿良走60步的距離，小維要走幾步？因此 $84\times \dfrac{60}{70}=72$ ，選(D)

22.

如圖 ( 十三 ),正方形 ABCD 與 ΔEBC 中, $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}$ 分別 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{EB}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{EC}}$ 相交於 F 點、G 點。若 ΔEBG 的面積為 6,正方形 ABCD 的面積為 16,則 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FG}}$ 與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$ 的長度比為何?
(A) 3 : 5
(B) 3 : 6
(C) 3 : 7
(D) 3 : 8

(C)

因為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FG}}/\mskip-4mu/\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$ ，利用平行線截比例性質可知， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FG}}:\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{EG}}:\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{EC}}$ ，又 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{EG}}:\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{EC}}=\triangle EBG:\triangle EBC$ (等高，面積比=底邊比)。而 $\triangle EBG=6$ ， $\triangle GBC=\dfrac{16}{2}=8$ ，故 $\triangle EBG:\triangle EBC=6:(6+8)=3:7$ ，選(C)

23.

如圖 ( 十四 ),矩形 ABCD 中, $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}= 6$ , $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}} = 8$ ,且有一點 P 從 B 點沿著 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BD}}$ 往 D 點移動。若過 P 點作 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 的垂線交 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 於 E 點,過 P 點作 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}$ 的垂線交 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}$ 於 F 點,則 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{EF}}$ 的長度最小為多少?
(A) $\displaystyle\frac{14}{5}$
(B) $\displaystyle\frac{24}{5}$
(C) 5
(D) 7

(B)

因為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{EF}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AP}}$ (長方形性質)，所以我們要找 $P$ 點在哪個位置時， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AP}}$ 長度最小。由於 $P$ 點在 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BD}}$ 上面移動，而且已知一個點到一條線的最短距離是垂直距離，所以當 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AP}}\perp\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BD}}$ 時(也就是 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AP}}$ 為斜邊上的高時)， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AP}}$ 有最小值。直角三角形 $ABD$ 中， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}\times \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BD}}\times\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AP}}$ (直角三角形面積的算法)，因此 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AP}}=\dfrac{6\times 8}{\sqrt{6^2+8^2}}=\dfrac{24}{5}$ ，選(B)

請閱讀下列敘述後，回答 24 ～ 25 題

人口老化是國家人口分布向高年齡偏移的現象,許多國家已開始面臨此問題。依國際常用定義,一個國家中的 65 歲以上人口占總人口的百分比為 7% 以上(含)且未達 14% 時稱作「高齡化社會」,14% 以上(含)且未達 20% 時稱作「高齡社會」, 20% 以上(含)時稱作「超高齡社會」。

24.

圖 ( 十五 ) 為某機構於 2020 年繪製的四個國家 65 歲以上人口占總人口百分比之折線圖,其中 2020 年之後的數值為推估值。

根據圖 ( 十五 ) 推測,下列哪一個國家從進入「高齡社會」到進入「超高齡社會」所花的時間最短?
(A) 法國
(B) 義大利
(C) 美國
(D) 韓國

(D)

將每條折線14%與20%的時間畫出來，會發現韓國從進入「高齡社會」到進入「超高齡社會」所花的時間最少，選(D)

25.

已知 2019 年我國進入「高齡社會」,預測 2025 年會進入「超高齡社會」。假設我國 2019 年與 2025 年總人口數皆為 2300 萬人,且 2019 年我國 65 歲以上人口占總人口的百分比恰好達到「高齡社會」的最低標準,則根據上述預測, 關於我國 65 歲以上人口數,2025 年與 2019 年相比至少增加了多少萬人?
(A) 138
(B) 161
(C) 322
(D) 460

(A)

由題意可知，2019到2025年，65歲以上人口比例從14%增加到20%。因此，65歲以上人口增加了$2300萬\times6\%=138萬$(人)，選(A)

112會考數學第二部分：非選擇題

A、B 兩廠牌的疫苗皆進行實驗以計算其疫苗效力。兩廠牌的疫苗實驗人數皆為 30000 人,各廠牌實驗人數中一半的人施打疫苗,另一半的人施打不具疫苗成分的安慰劑。經過一段時間後觀察得知,在 A 廠牌的實驗中,施打疫苗後仍感染的人數為 50 人,施打安慰劑後感染的人數為 500 人。而疫苗效力的算式如下:

請根據上述資訊回答下列問題,完整寫出你的解題過程並詳細解釋:
(1) 根據實驗數據算出 A 廠牌的疫苗效力為多少?
(2) 若 B 廠牌的實驗數據算出的疫苗效力高於 A 廠牌,請詳細說明 B 廠牌的實驗中施打疫苗後仍感染的人數,是否一定低於 A 廠牌實驗中施打疫苗後仍感染的人數?

(1)

A廠牌施打疫苗人數：15000人
A廠牌施打疫苗後仍感染人數：50人
A廠牌施打安慰劑人數：15000人
A廠牌施打安慰劑後感染人數：500人
故 $p=\frac{50}{15000}$ , $q=\frac{500}{15000}$
根據公式：疫苗效力= $(1-\frac{p}{q})\times 100\% $ $=(1-\frac{1}{10})\times 100\%$ $=90\%$

(2)

在題目中，可以知道施打疫苗人數與施打安慰劑的人數是一樣的，所以

$$1-\frac{p}{q}=1-\frac{施打疫苗後仍感染的人數}{施打安慰劑後感染的人數}$$
假設B廠牌「施打疫苗後仍感染的人數」=100，「施打疫苗後仍感染的人數」=2000時，疫苗效力 $=(1-\frac{p}{q})\times 100\%=95\%$ ，比A廠牌高，然而「施打疫苗後仍感染的人數」也比A高，所以答案是不一定。

小儀利用一副撲克牌摺疊出一個環套,如圖 ( 十六 ) 所示。環套的上視圖為邊長 6 公分的正八邊形,如圖 ( 十七 ) 所示。

請根據上述資訊回答下列問題,完整寫出你的解題過程並詳細解釋:
(1) 圖 ( 十七 ) 的正八邊形的一個內角度數為多少?
(2) 已知有一個圓柱形花瓶其底面半徑為 8 公分, 假設不考慮花瓶與環套厚度,判斷圖 ( 十六 ) 的環套是否能在不變形的前提下,套在此圓柱形花瓶側面外圍?

(1)

解1：根據多邊形內角和公式：八邊形內角和為 $(8-2)\times 180^\circ=1080^\circ$ ，由於正八邊形的每個內角角度都一樣，所以一個內角度數 $\dfrac{1080^\circ}{8}=135^\circ$

解2：由於任意多邊形外角和為 $360^\circ$ ，所以正八邊形的一個外角為 $\dfrac{360^\circ}{8}=45^\circ$ ，因此一個內角的度數為 $180^\circ-45^\circ=135^\circ$

(2)

先算出能套入最大花瓶的半徑：如下圖，可以得知 $\triangle ABC$ 三個內角分別為 $22.5^\circ$ 、 $ 67.5^\circ$ 、$90^\circ$ ，故由圖(十八)可知， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}:\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}=0.38:0.92=3:\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ ，故 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}=\dfrac{3\times 0.92}{0.38}\approx 7.26$ ，因此，無法套入半徑為8的花瓶。

112會考數學第一部分：選擇題 (1 ~ 26 題)

112會考數學第二部分：非選擇題

發佈留言取消回覆