111會考數學詳解｜111國中教育會考數學詳解

111會考數學第一部分

111會考數學第二部分

111會考數學第一部分：選擇題 (1 ~ 26 題)

圖 ( 一 ) 數線上的 A、B、C、D 四點所表示的數分別為 a、b、c、d，且O為原點。根據圖中各點的位置判斷，下列何者的值最小？
(A) |a|
(B) |b|
(C) |c|
(D) |d|

(A)

一個數的絕對值代表：這個數與原點的距離，因此只要看誰跟原點最靠近就好。由於A點與原點最近，故選(A)

計算多項式 $6x^2 + 4x$ 除以 $2x^2$ 後，得到的餘式為何？
(A) 2
(B) 4
(C) 2x
(D) 4x

(D)

利用長除法： $\begin{array}{llll} & \ \ 3\\ 2x^2) \!\!\!\!\!\! &\overline{\ \ 6x^2 + 4x} \\ & \ \ 6x^2 \\ \hline &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x \end{array}$

餘式為 $4x$ ，故選(D)

下列何者為 156 的質因數？
(A) 11
(B) 12
(C) 13
(D) 14

(C)

將156進行質因數分解：

$156=2\times 2\times 3\times13$ ，因此13為156的質因數。故選(C)

圖 ( 二 ) 為一個長方體的展開圖，且長方體的底面為
正方形。根據圖中標示的長度，求此長方體的體積
為何？
(A) 144
(B) 224
(C) 264
(D) 300

(B)

設正方形邊長為 $ x$ ，長方體的高為 $y$ ，則可列出等式 $\left\{\begin{array}{c}3x=12\\2x+y=22 \end{array}\right.$ ，解二元一次聯立方程式。故 $\left\{\begin{array}{c}x=4\\y=14 \end{array}\right.$ 。因此長方體體積=底面積×高= $(x\times x)\times y=4\times 4 \times 14=224$ ，故選(B)

算式 $\dfrac{9}{22}+\dfrac{11}{18}-(\dfrac{23}{22}-\dfrac{7}{18})$ 之值為何？
(A) $\dfrac{4}{11}$
(B) $\dfrac{9}{10}$
(C) $\dfrac{1}{9}$
(D) $\dfrac{5}{4}$

(A)

觀察四項的分母只有兩種：22與18，所以把分母一樣的擺在一起先算： $\dfrac{9}{22}+\dfrac{11}{18}-(\dfrac{23}{22}-\dfrac{7}{18})$ $=(\dfrac{9}{22}-\dfrac{23}{22})+(\dfrac{11}{18}+\dfrac{7}{18})$ $=(\dfrac{-14}{22})+1$ $=(\dfrac{8}{22})$ $=(\dfrac{4}{11})$ ，故選(A)

$\sqrt {2022}$ 的值介於下列哪兩個數之間？

(A) 25，30
(B) 30，35
(C) 35，40
(D) 40，45

(D)

此題相當於問：2022介於下面哪兩個數的平方？
這時我們只要計算下面每個數的平方就好。
$25^2=625$ ， $30^2=900$ ， $35^2=1225$ ， $40^2=1600$ ， $45^2=2025$ 。因為2022介於1600與2025，故 $\sqrt{2022}$ 介於40與45之間。故選(D)
(註：此題也能用直式開根號或者十分逼近法來逼近。)

已知坐標平面上有一直線 L 與一點 A。若 L 的方程式為 x = −2，A 點坐標為(6,5)，則 A 點到直線 L 的距離為何？

(A) 3
(B) 4
(C) 7
(D) 8

(D)

我們通常說某一點到直線的距離是垂直距離。將圖形畫出來，紅色線段就是我們要求的長度。因為 $x=2$ 是一條鉛直線，所以只要把(6,5)水平對過去，就可以得到與 $x=2$ 垂直的線段。而交點就是(-2,5) 。因此(6,5)與(-2,5)的線段長為6-(-2)=8 ，故選(D)

(註：此題型在高中可以使用點到直線的距離公式。)

多項式 $39x^2 + 5x -14$ 可因式分解成 $( 3x + a )( bx + c )$ ，其中 a、b、c 均為整數，求a + 2c之值為何？
(A) -12
(B) -3
(C) 3
(D) 12

(A)

利用十字交乘法進行因式分解： $39x^2 +5x -14=(3x+2)(13x-7)$ ，所以 $a=2$ 、 $b=13$ 、 $c=-7$ ，故 $a+2c=2+2\times(-7)=-12$ ，故選(A)

箱子內有分別標示號碼 1 ~ 6 的球，每個號碼各 2 顆，總共 12 顆。已知小茹先從箱內抽出 5 顆球且不將球放回箱內，這 5 顆球的號碼分別是 1、 2、2、3、5。今阿純打算從此箱內剩下的球中抽出 1 顆球，若箱內剩下的每顆球被他抽出的機會相等，則他抽出的球的號碼，與小茹已抽出的 5 顆球中任意一顆球的號碼相同的機率是多少？

(A) $\displaystyle\frac{3}{6}$
(B) $\displaystyle\frac{4}{6}$
(C) $\displaystyle\frac{3}{7}$
(D) $\displaystyle\frac{4}{7}$

(C)

剩下的球的號碼為：1、3、4、4、5、6、6 ，與前面抽出五顆相同的只有1、3、5，故抽出的球的號碼與小茹已抽出的 5 顆球中任意一顆球的號碼相同的機率是 $\dfrac{3}{7}$ ，選(C)

10.

已知一元二次方程式 $(x-2)^2=3$ 的兩根為a、b，且a>b，求2a + b之值為何？
(A) 9
(B) -3
(C) $6+\sqrt{3}$
(D) $-6+\sqrt{3}$

(C)

直接求出兩根，就能算出答案。 $(x-2)^2=3 \Rightarrow x-2=\pm \sqrt{3}\Rightarrow x=2\pm\sqrt{3}$

因為 a>b ，所以 $a=2+\sqrt{3}$ 、 $b=2-\sqrt{3}$ ，故 $2a + b= 2(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=6+\sqrt{3}$ ，選(C)

11.

根據圖 ( 三 ) 中兩人的對話紀錄，求出哥哥買遊戲機的預算為多少元？
(A) 3800
(B) 4800
(C) 5800
(D) 6800

(C)

假設哥哥買遊戲機的預算為x元，由題意可知：遊戲機售價為x+1200元，而當遊戲機打8折時，比x少200元。因此 $80\% \times (x+1200)=x-200\Rightarrow 0.8x+960=x-200$ 解一元一次方程式： $0.2x=1160\Rightarrow x=5800$ ，選(C)

12.

已知 $p = 7.52 \times 10^{- 6}$ ，下列關於 p 值的敘述何者正確？
(A) 小於 0
(B) 介於 0 與 1 兩數之間，兩數中比較接近 0
(C) 介於 0 與 1 兩數之間，兩數中比較接近 1
(D) 大於 1

(B)

$7.52 \times 10^{- 6}$ 其實就是 0.00000752，因此可知 p 介於 0 與 1 兩數之間，且比較接近 0，選(B)

13.

如圖 ( 四 )， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 為圓O的一弦，且C點在 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 上。若 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}} = 6$ ， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}= 2$ ， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 的弦心距為 3，則 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OC}}$ 的長度為何？
(A) 3
(B) 4
(C) $\sqrt{11}$
(D) $\sqrt{13}$

(D)

作 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OF}}$ 垂直於 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ ，由題意可知 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OF}}=3$ 。因為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}=6+2=8$ ，且 $F$ 為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 中點，故 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AF}}=4$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FC}}=2$ 。因此利用畢氏定理： $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OC}} =\sqrt{ \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FO}}^2+\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FC}}^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$ ，選(D)

14.

某國主計處調查 2017 年該國所有受僱員工的年薪資料，並公布調查結果如圖 ( 五 ) 的直方圖所示。

已知總調查人數為 750 萬人，根據圖中資訊計算，該國受僱員工年薪低於平均數的人數占總調查人數的百分率為下列何者？

(A) 6%
(B) 50%
(C) 68%
(D) 73%

(C)

由圖可知平均數為60萬元，所以只要計算年薪低於60萬元的人數除以750萬(人)，就是年薪低於平均數的人數百分率。5+5+10+40+80+100+80+80+65+45=510(萬人)，因此所求為 $\dfrac{510}{750}\times 100%=68%$ ，選(C)

15.

如圖 ( 六 )，∆ABC 中，D 點在 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 上，E 點在 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$ 上， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}}$ 為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 的中垂線。若∠B = ∠C，且 ∠EAC > 90°，則根據圖中標示的角，判斷下列敘述何者正確？

(A) ∠1 = ∠2，∠1 < ∠3

(B) ∠1 = ∠2，∠1 > ∠3

(D) ∠1 ≠ ∠2，∠1 > ∠3

(B)

因為中垂線上一點到線段兩端距離相等且垂直平分此線段，所以∠B = ∠DAE ，又題目說∠B = ∠C，因此∠B = ∠DAE=∠C。由圖可知 $\left\{\begin{array}{l}\angle 1=180^\circ-\angle BDE-\angle B\\ \angle 2=180^\circ-\angle ADE-\angle DAE\\ \angle 3=180^\circ-\angle EAC-\angle C\end{array}\right.$

因為 $\angle EAC > 90^\circ$ ，利用 $\angle B = \angle DAE=\angle C$ 以及 $\angle EAC> \angle EDB=EDA$ ，即可得到 $\angle 1=\angle 2>\angle 3$ ，故選(B)

16.

緩降機是火災發生時避難的逃生設備，圖 ( 七 ) 是廠商提供的緩降機安裝示意圖，圖中呈現在三樓安裝緩降機時，使用此緩降機直接緩降到一樓地面的所需繩長 ( 不計安全帶 )。若某棟建築的每個樓層高度皆為 3 公尺，則根據圖 ( 七 )的安裝方式在該建築八樓安裝緩降機時，使用此緩降機直接緩降到一樓地面的所需繩長 ( 不計安全帶 ) 為多少公尺？

(A) 21.7
(B) 22.6
(C) 24.7
(D) 25.6

(A)

此題是考學生是否細心，算出高度以後還要扣掉落地架高度以及繩子與一樓地面距離，才是繩子長度。八樓共有七個樓層高度，故所需繩長為 $3\times 7 +1.6-0.4-0.5=21.7$ ，故選(A)

17.

圖 ( 八 ) 為兩直線 L、M 與 ∆ABC 相交的情形，其中L、M 分別與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 平行。根據圖中標示的角度，求∠B的度數為何？
(A) 55
(B) 60
(C) 65
(D) 70

(A)

觀察 $\triangle ABC$ ，只要能求出 $\angle A$ 與 $\angle C$ ，就能利用三角形內角和為 $180^\circ$ 算出 $\angle B$ 。因為 $L\mathop{//}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$ ，利用內錯角互補性質， $\angle C=180^\circ-120^\circ=60^\circ$ 。因為 $M\mathop{//}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ ，利用內錯角互補性質， $\angle A=180^\circ-115^\circ=65^\circ$ 。

由上可知， $\angle B=180^\circ-60^\circ-65^\circ=55^\circ$ ，選(A)

18.

某鞋店正舉辦開學特惠活動，圖 ( 九 ) 為活動說明。

小徹打算在該店同時購買一雙球鞋及一雙皮鞋，且他有一張所有購買的商品定價皆打 8 折的折價券。若小徹計算後發現使用折價券與參加特惠活動兩者的花費相差 50 元，則下列敘述何者正確？
(A) 使用折價券的花費較少，且兩雙鞋的定價相差 100 元
(B) 使用折價券的花費較少，且兩雙鞋的定價相差 250 元
(C) 參加特惠活動的花費較少，且兩雙鞋的定價相差 100 元
(D) 參加特惠活動的花費較少，且兩雙鞋的定價相差 250 元

(B)

假設價位較高的鞋為 $x$ 元，價位較低的鞋為 $y$ 元(也就是 $x>y$ )。由題意可知：特惠活動的價格為 $x+0.6y$ ，使用折價券的價格為 $0.8x+0.8y$ 。我們想知道兩者價格哪個比較高，就把它拿來相減看看： $(x+0.6y)-(0.8x+0.8y)=0.2x-0.2y$ ，由於 $x>y$ ，所以 $0.2x-0.2y>0$ ，因此 $x+0.6y$ 比較大。換句話說，使用折價券的花費較少。因為花費相差50元，所以 $0.2x-0.2y=50$ ，兩邊同乘5可得： $x-y=250$ ，故兩雙鞋的定價相差250元。故選(B)

19.

如圖 ( 十 )，∆ABC 的重心為 G， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$ 的中點為 D，今以 G 為圓心， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{GD}}$ 長為半徑畫一圓，且作 A 點到圓 G 的兩切線段 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AE}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AF}}$ ，其中 E、F 均為切點。根據圖中標示的角與角度，求 ∠1 與 ∠2 的度數和為多少？

(A) 30
(B) 35
(C) 40
(D) 45

(B)

想法：連接 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}$ ，由於 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}$ 為中線，所以一定通過重心 $G$ 。題目要求 $\angle 1+\angle 2$ ，因為已知 $\angle B$ 及 $\angle C$ ，所以只要求出 $\angle EAF$ ，就能利用三角形內角和=180° 求出 $\angle 1+\angle 2$ 。又 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AG}}$ 平分 $\angle EAF$ ，故只要求出 $\angle GAF$ 即可。

連接 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{GE}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{GF}}$ ，如圖所示。因為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AF}}$ 為圓 $G$ 的切線，故 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AF}}\perp\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{GF}}$ 。又因為 $G$ 為重心，根據重心的性質， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AG}} :\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{GD}}=2:1$ 。假設 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AG}}=2r$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{GD}} =r$ ，則 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{GF}}=r$ 。觀察 $\triangle AGF$ ，三邊長比為 $1:\sqrt{3}:2$ ，為一個特殊三角形，其中邊長 $1$ 的對角是 $30^\circ$ ，故 $\angle GAF=30^\circ$

由上可知，

$\begin{aligned} \angle 1+\angle 2 &=180^\circ-\angle B-\angle C-2\times\angle GAF\\&=180^\circ-40^\circ-45^\circ-60^\circ\\&=35^\circ\end{aligned}$

，選(B)

20.

圖 ( 十一 ) 為一張正三角形紙片 ABC，其中 D 點在 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 上，E 點在 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$ 上。今以 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}}$ 為摺線將 B 點往右摺後， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BD}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BE}}$ 分別與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 相交於 F 點、G 點，如圖 ( 十二 ) 所示。若 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}} = 10$ ， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AF}} = 16$ ， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DF}}=14$ ， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BF}}=8$ ，則 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CG}}$ 的長度為多少？

(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10

(C)

由題意可畫出右方示意圖，由於 $\overline{DB} $是 $\overline{DB^\prime}$ 摺過去的線段，所以 $\overline{DB^\prime}=\overline{DB}$$=14+8=22$ ，這樣就能算出正三角形的邊長 $\overline{AB^\prime}=10+22=32$ 。因為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CG}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AF}}-\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FG}}$ ，只要能算出 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FG}}$ ，就可以求出答案。

觀察 $\triangle AFD$ 與 $\triangle BFG$ ，因為

$$\left\{\begin{array}{l}\angle AFD=\angle BFG (對頂角相等)\\ \angle FAD=\angle FBG =60^\circ \end{array}\right.$$

因此 $\triangle AFD\sim\triangle BFG$ (AA相似)，故 $\displaystyle \frac{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FG}}}{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FD}}}=\frac{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FB}}}{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FA}}}=\frac{8}{16}$ ，所以 $\displaystyle\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FG}}=14\times\frac{1}{2}=7$ 。因此 $\displaystyle\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CG}}=32-16-7=9$ ，選(C)

21.

有一直徑為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 的圓，且圓上有 C、D、E、F 四點，其位置如圖 ( 十三 ) 所示。若 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}=6$ ， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}=8$ ， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AE}}=5$ ， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AF}}=9$ ， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}=10$ ，則下列弧長關係何者正確？
(A) $ \overset{\Large{\frown}}{AC} + \overset{\Large{\frown}}{AD}= \overset{\Large{\frown}}{AB}$ , $\overset{\Large{\frown}}{AE}+ \overset{\Large{\frown}}{AF}= \overset{\Large{\frown}}{AB}$
(B) $ \overset{\Large{\frown}}{AC} + \overset{\Large{\frown}}{AD}= \overset{\Large{\frown}}{AB}$ , $\overset{\Large{\frown}}{AE}+ \overset{\Large{\frown}}{AF}\neq\overset{\Large{\frown}}{AB}$
(C) $ \overset{\Large{\frown}}{AC} + \overset{\Large{\frown}}{AD}\neq\overset{\Large{\frown}}{AB}$ , $\overset{\Large{\frown}}{AE}+ \overset{\Large{\frown}}{AF}= \overset{\Large{\frown}}{AB}$
(D) $ \overset{\Large{\frown}}{AC} + \overset{\Large{\frown}}{AD}\neq \overset{\Large{\frown}}{AB}$ , $\overset{\Large{\frown}}{AE}+ \overset{\Large{\frown}}{AF}\neq\overset{\Large{\frown}}{AB}$

(B)

從選項來看，利用簡單的移項(將 $\overset{\Large{\frown}}{AD}$ 、 $\overset{\Large{\frown}}{AF}$ 移至等式另一側)，可得知此題相當於問：

$$\left\{\begin{array}{l}\overset{\Large{\frown}}{AC}\overset{?}{=}\overset{\Large{\frown}}{BD}\\ \overset{\Large{\frown}}{AE}\overset{?}{=}\overset{\Large{\frown}}{BF}\end{array}\right.$$

又因為等弦會對到等弧，因此只要檢查 $$\left\{\begin{array}{l}\overline{AC}\overset{?}{=}\overline{BD}\\\overline{AE}\overset{?}{=}\overline{BF}\end{array}\right.$$

連接 $\overline{BD}$ 、 $\overline{BF}$ ，由於直徑所對的圓周角為 $90^\circ$ ，所以 $\angle D$ 、$\angle F$ 皆為直角。如此一來就能利用畢氏定理求出 $$\left\{\begin{array}{l}\overline{BD}=\sqrt{10^2-8^2}=6\\ \overline{BF}=\sqrt{10^2-9^2}=\sqrt{19}\end{array}\right.$$

因此$$\left\{\begin{array}{l}\overline{AC}{=}\overline{BD}\\ \overline{AE}{\neq}\overline{BF}\end{array}\right.$$

選(B)

22.

已知坐標平面上有二次函數 $y = -( x + 6 )^2 + 5$ 的圖形，函數圖形與 x 軸相交於 (a , 0 )、(b , 0 ) 兩點，其中 a < b。今將此函數圖形往上平移，平移後函數圖形與 x 軸相交於 ( c , 0 )、( d , 0 ) 兩點，其中 c < d，判斷下列敘述何者正確？

(A) (a + b) = (c + d)，(b − a) < (d − c)

(B) (a + b) = (c + d)，(b − a) > (d − c)

(D) (a + b) < (c + d)，(b − a) > (d − c)

(A)

此題將圖形畫出即可得到答案。如圖，原二次函數的圖形開口向下(綠色)，向上平移後(紅色)。由於向上平移不會改變對稱軸，所以

$$\displaystyle\frac{a+b}{2}=\frac{c+d}{2}$$

也就是

$$a+b=c+d$$

此外，由圖可知 $(b - a) < (d - c)$ ，故選(A)

23.

∆ABC 的邊上有 D、E、F 三點，各點位置如圖 ( 十四 ) 所示。若 ∠B = ∠FAC， $\overline{BD} = \overline{AC}$，∠BDE = ∠C，則根據圖中標示的長度，求四邊形 ADEF 與∆ABC 的面積比為何？
(A) 1 : 3
(B) 1 : 4
(C) 2 : 5
(D) 3 : 8

(D)

觀察 $\triangle BDE$ 與 $\triangle ACF$ ，由於

$$\left\{ \begin{array}{l}\angle B=\angle FAC \\ \overline{BD} = \overline{AC}\\ \angle BDE =\angle C \end{array}\right.$$

由三角形全等性質可知：

$$\triangle BDE\cong\triangle ACF (ASA全等)$$

因此 $\triangle BDE$ 與 $\triangle ACF$ 的面積相等。

在 $\triangle ABC$ 與 $\triangle ACF$ 中，由於兩個三角形的高相等，所以面積比=底邊比。因此 $\triangle ACF$ 面積 : $\triangle ABC$ 面積 $=5:(7+4+5)=5:16$

假設 $\triangle ACF$ 面積 $=5x$ ，$\triangle ABC$ 面積 $=16x$ ，由於 $\triangle BDE$ 與 $\triangle ACF$ 的面積相等，故 $\triangle ACF$ 面積 $=\triangle BDE$ 面積 $=5x$ ，所以可得四邊形 $ADEF$ 面積 $=\triangle ABC$ 面積 $-\triangle ACF$ 面積 $-\triangle BDE$ 面積 $=16x-5x-5x=6x$

故四邊形 $ADEF$ 與 $\triangle ABC$ 的面積比為

$$6x:16x=3:8$$

選(D)

請閱讀下列敘述後，回答 24 ～ 25 題

24.

已知日光燈管的發光效率為光通量與功率的比值，甲、乙兩人根據表 ( 一 )、
表 ( 二 ) 的資訊提出以下看法：
( 甲 ) PA-20 日光燈管的發光效率比 PB-14 日光燈管高
( 乙 ) PA 日光燈管中，功率較大的燈管其發光效率較高
關於甲、乙兩人的看法，下列敘述何者正確？
(A) 甲、乙皆正確
(B) 甲、乙皆錯誤
(C) 甲正確，乙錯誤
(D) 甲錯誤，乙正確

(D)

此題的重點在於第一句話：發光效率為光通量與功率的比值。

(甲)：

PA-20 日光燈管的發光效率為 $\displaystyle\frac{1440}{20}=72$

PB-14 日光燈管的發光效率為 $\displaystyle\frac{1200}{14}\approx 86$

所以PB-14發光效率較高，甲錯誤

(乙)：將PA日光燈的發光效率全部算出：可列出以下表格：

$$\begin{array} {c|c|c} \text{PA燈管類別}&\text{功率}&\text{光通量}&\text{發光效率}\\ \hline \text{PA-20}&\text{20}&\text{1440}&\bf\text{72}\\ \text{PA-30}&\text{30}&\text{2340}&\bf\text{78}\\ \text{PA-40}&\text{40}&\text{3360}&\bf\text{84}\\ \end{array}$$

因此功率越高，發光效率越高，乙正確。

故選(D)

25.

有一間公司請水電工程廠商安裝日光燈管，廠商提供兩種方案如表 ( 三 ) 所示。

已知 n 支功率皆為 w 瓦的燈管都使用 t 小時後消耗的電能(度) = $\displaystyle\frac{n}{1000}\times w\times t$ ，若每支燈管使用時間皆相同，且只考慮燈管消耗的電能並以每度 5 元計算電費，則兩種方案相比，燈管使用時間至少要超過多少小時，採用省電方案所節省的電費才會高於兩者相差的施工費用？

(A) 12200
(B) 12300
(C) 12400
(D) 12500

(D)

假設需要 $t$ 小時，採用省電方案所節省的電費才會高於兩者相差的施工費用。

基本方案使用 $t$ 小時需要的電費為 $\displaystyle \frac{90}{1000}\times 40\times t \times 5=18t$

省電方案使用 $t$ 小時需要的電費為 $\displaystyle \frac{120}{1000}\times 28\times t \times 5=16.8t$

解 $18t-16.8t\geq 60000-45000\Rightarrow t\geq 12500$ ，選(D)

111會考數學第二部分：非選擇題

健康生技公司培養綠藻以製作「綠藻粉」，再經過後續的加工步驟，製成綠藻相關的保健食品。已知該公司製作每 1 公克的「綠藻粉」需要 60 億個綠藻細胞。
請根據上述資訊回答下列問題，完整寫出你的解題過程並詳細解釋：
(1) 假設在光照充沛的環境下，1 個綠藻細胞每 20 小時可分裂成 4 個綠藻細胞，且分裂後的細胞亦可繼續分裂。今從 1 個綠藻細胞開始培養，若培養期間綠藻細胞皆未死亡且培養環境的光照充沛，經過 15 天後，共分裂成$4^k$ 個綠藻細胞，則 k 之值為何？
(2) 承 (1)，已知 60 億介於 $2^32$ 與 $2^33$ 之間，請判斷 $4^k$ 個綠藻細胞是否足夠製作 8 公克的「綠藻粉」？

(1)

15天 $=24\times 15=360$ 小時，也就是有 $\displaystyle\frac{360}{20}=18$ 個20小時。而且每20小時後，綠藻細胞會變成原來的4倍。故經過360小時後，綠藻細胞變為 $4^{18}$ 個。

(2)

8公克的綠藻粉需要 $8\times60$ 億個綠藻細胞，介於 $8\times 2^{32}$ 與 $8\times 2^{33}$ 之間。也就是介於 $2^{35}$ 與 $2^{36}$ 之間。

然而 $4^k=4^{18}=2^{36}$ ，因此必定大於 $8\times60$ 億。所以$4^k$ 個綠藻細胞足夠製作 8 公克的綠藻粉。

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一副完整的撲克牌有 4 種花色，且每種花色皆有 13 種點數，分別為 2、 3、4、5、 6、7、8、9、10、J、Q、K、 A，共 52 張。某撲克牌遊戲中，玩家可以利用「牌值」來評估尚未發出的牌之點數大小。「牌值」的計算方式為：未發牌時先設「牌值」為 0 ；若發出的牌點數為 2 至 9 時，表示發出點數小的牌，則「牌值」加 1；若發出的牌點數為 10、J、Q、K、A 時，表示發出點數大的牌，則「牌值」減 1。

例如：從一副完整的撲克牌發出了 6 張牌，點數依序為 3、A、8、9、Q、5，則此時的「牌值」為 0 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1 = 2。

請根據上述資訊回答下列問題，完整寫出你的解題過程並詳細解釋：
(1) 若一副完整的撲克牌發出了 11 張點數小的牌及 4 張點數大的牌，則此時的「牌值」為何？
(2) 已知一副完整的撲克牌已發出 28 張牌，且此時的「牌值」為 10。若剩下牌中每一張牌被發出的機會皆相等，則下一張發出的牌是點數大的牌的機率是多少？

(1)

$0+11-7=4$

(2)

下一張發出的牌是點數大的牌的機率為 $$\displaystyle\frac{剩下的大牌張數}{剩下的牌數}$$

很容易可以知道剩下牌數為 $52-28=24$ 張，所以只要算出剩下大牌有幾張就好。

已知一副撲克牌中有 $8\times 4 =32$ 張小牌， $5\times 4 =20$ 張大牌

設在已經發出的28張牌中，有x張小牌，y張大牌。則可列出二元一次方程式：

$$\left\{\begin{array}{l} x-y=10\\ x+y=28\end{array}\right.$$

解得

$$\left\{\begin{array}{l} x=19\\ y=9\end{array}\right.$$

所以剩下的大牌張數為 $20-9=11$ (張)

因此下一張牌是大牌的機率為 $\displaystyle\frac{11}{24}$

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111會考數學第一部分：選擇題 (1 ~ 26 題)

111會考數學第二部分：非選擇題

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