110會考數學詳解｜110國中教育會考數學詳解

110會考數學第一部分

110會考數學第二部分

110會考數學第一部分：選擇題 (1 ~ 26 題)

圖( 一 )的坐標平面上有A、B、C、D四點。根據圖( 一 )中各點位置判斷，哪一個點在第二象限？
(A) A
(B) B
(C) C
(D) D

(A)

如右圖所示，A在第二象限，B在第三象限，C在y軸上，D在第四象限。故選(A)

算式 (−8)+(−2)×(−3)之值為何？
(A) −14
(B) −2
(C) 18
(D) 30

(B)

先乘除後加減，所以先算(−2)×(−3)，算出來是6，接下來算(-8)+6 ，答案就是-2，選(B)

若二元一次聯立方程式 $\left\{\begin{array}{l}x=4y\\6y-x=10\end{array}\right.$ 的解為 $x = a$ ， $y = b$ ，則 $a + b$ 之值為何？
(A) −15
(B) −3
(C) 5
(D) 25

(D)

此題為解二元一次聯立方程式的題型，我們使用代入消去法：將 $x = 4y$ 代入 $6y-x=10$ 得到 $6y-4y=10$ ，解出 $2y= 10\Rightarrow y=5$ ，代回 $x = 4y$ 可得 $x=4\times 5=20$ 。因此 $a=20\ , \ b=5$ ， $a+b=25$

如圖 ( 二 ) ，矩形 $ABCD$ 、 $\triangle BDE$ 中， $A$ 點在 $\overline{BE}$ 上。若矩形 $ABCD$ 的面積為 $20$ ， ∆ BDE 的面積為 $24$ ，則 $\triangle ADE$ 的面積為何？
(A) 10
(B) 12
(C) 14
(D) 16

(C)

矩形的對角線會把矩形分割成兩個一模一樣的三角形(意思是 $\triangle ABD$ $\triangle CDB$ 是一樣的三角形)，所以 $\triangle ABD$ 的面積是矩形的一半為 $\displaystyle\frac{20}{2}=10$ 。因此 $\triangle ADE=\triangle BDE-\triangle BDA=24-10=14$ ，選(C)

$\displaystyle 5^6$ 是 $\displaystyle5^3$ 的多少倍？
(A) 2
(B) 3
(C) 25
(D) 125

(D)

同底相除，指數相減。所以 $\displaystyle 5^6 \div 5^3=\displaystyle 5^{6-3}=\displaystyle 5^3=125$ ，選(D)

下列等式何者不成立？

(A) $4\sqrt{3}+2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
(B) $4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
(C) $4\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$
(D) $4\sqrt{3}\div 2\sqrt{3}=2$

(C)

注意 $4\sqrt{3}$ 是 $4\times\sqrt{3}$ 的意思。在(C)選項中， $4\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}$ 等於 $\begin{aligned}4\times\sqrt{3}\times 2\times\sqrt{3} &= (4\times 2)\times(\sqrt{3}\times\sqrt{3}) \\&= 8\times 3\\&=24\end{aligned}$
並不等於 $8\sqrt{3}$ ，選(C)

已知纜車從起點行駛到終點需花費 8 分鐘，圖 ( 三 ) 表示行駛過程中纜車的海拔高度與行駛時間的關係。
根據圖 ( 三 ) 判斷，下列敘述何者正確？
(A) 終點的海拔高度比起點高 300 公尺，行駛時間的前 4 分鐘都在上升
(B) 終點的海拔高度比起點高 300 公尺，行駛時間的末 4 分鐘都在上升
(C) 終點的海拔高度比起點高 350 公尺，行駛時間的前 4 分鐘都在上升
(D) 終點的海拔高度比起點高 350 公尺，行駛時間的末 4 分鐘都在上升

(B)

如右圖所示，終點海拔高度為350公尺，起點海拔高度為50公尺，所以終點比起點高350-50=300公尺，刪掉~~(C)、(D)~~。而前四分鐘並不是都在上升(綠色線段是下降的)，因此刪掉~~(A)~~，選(B)

利用乘法公式判斷，下列等式何者成立？
(A) $248^2+248\times 52 + 52^2 = 300^2$
(B) $248^2-248\times 48 -48^2 = 200^2$
(C) $248^2 + 2\times 248 \times 52 + 52^2 = 300^2$
(D) $248^2 - 2\times 248 \times 48 - 48^2 =200^2$

(C)

解題策略：國中學過的乘法公式不外乎就以下三種：
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$
我們看看四個選項的形式：
(A) $a^2+ab+b^2 = (a+b)^2$
(B) $a^2-ab+b^2 = (a-b)^2$
(C) $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$
(D) $a^2-2ab-b^2 = (a-b)^2$
顯然(C)才最像我們學過的，驗證看看
$\begin{aligned}300^2&=(248+52)^2\\&=248^2+2\times248\times52 +52^2\end{aligned}$
成立。選(C)

圖 ( 四 ) 為甲城市 6 月到 9 月外國旅客人數的折線圖。根據圖 ( 四 ) 判斷，哪一個月到甲城市的外國旅客中，旅客人數最少的國家是美國？
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9

(C)

題目只有問哪個月分旅客人數最少的國家是美國，我們只要專注在圖片每個月最少的人數就好。如圖，藍色圓圈就是每個月旅客最少的國家，接著只要看哪一個是美國就好，所以選(C)

10.

將一半徑為 6 的圓形紙片，沿著兩條半徑剪開形成兩個扇形。若其中一個扇形的弧長為 5π ，則另一個扇形的圓心角度數是多少？
(A) 30
(B) 60
(C) 105
(D) 210

(D)

參考右圖，先算小扇形的圓心角是幾度。假設圓心角是x°，那麼小扇形的弧長就是 $2\times\pi\times 6\times\displaystyle\frac{x^\circ}{360^\circ}=\displaystyle\frac{x\pi}{30}$ ，又題目告訴我們它的周長是 $5\pi$ ，所以能列出等式 $\displaystyle\frac{x\pi}{30}=5\pi$ ，解出 $x=150^\circ$ 。所以大扇形的圓心角就是 $360^\circ-x^\circ=360^\circ-150^\circ=210^\circ$ ，選(D)

11.

動物園準備了 100 張刮刮樂，打算送給開幕當日的前 100 位遊客每人一張，其中可刮中獎品的刮刮樂共有 32 張，表 ( 一 ) 為獎品的種類及數量。若小柏為開幕當日的第一位遊客，且每張刮刮樂被小柏拿到的機會相等，則小柏刮中玩偶的機率為何？
(A) $\displaystyle\frac{1}{2}$
(B) $\displaystyle\frac{1}{16}$
(C) $\displaystyle\frac{8}{25}$
(D) $\displaystyle\frac{1}{50}$

(D)

如右圖，玩偶數量只有2個。如果沒看清楚，可能會以為是中獎人裡面刮中玩偶的機率是多少，就會選到 $\displaystyle\frac{1}{16}$ 。但是這是不對的，題目是問100張刮刮樂隨便選一張，刮到玩偶的機率。這樣就變成100張裡面只有兩張玩偶，所以答案要選 $\displaystyle\frac{2}{100}=\frac{1}{50}$ ，選(D)

12.

美美和小儀到超市購物，且超市正在舉辦摸彩活動，單次消費金額每滿100元可以拿到1張摸彩券。已知美美一次購買5盒餅乾拿到3張摸彩券；小儀一次購買5盒餅乾與1個蛋糕拿到4張摸彩券。若每盒餅乾的售價為x元，每個蛋糕的售價為150元，則x的範圍為下列何者？
(A) 50 ≤ x < 60
(B) 60 ≤ x < 70
(C) 70 ≤ x < 80
(D) 80 ≤ x < 90

(B)

拿到3張摸彩券，代表購買金額滿300，不滿400。原題目每盒餅乾的售價為x元，美美買5盒餅乾就是5x元。因此可以列式為 300 ≤ 5x < 400 ，化簡之後變成 60 ≤ x < 80
拿到4張摸彩券，代表購買金額滿400，不滿500。原題目每盒餅乾的售價為x元，每個蛋糕的售價為150元，小儀買5盒餅乾、1個蛋糕就是 5x+150 元。因此可以列式為 400 ≤ 5x+150 < 500 ，化簡之後變成 50 ≤ x < 70
根據上面兩個條件：x 要同時符合 60 ≤ x < 80 與 50 ≤ x < 70，那麼答案就是 60 ≤ x < 70 (如右圖)，選(B)

13.

已知 a₁ ，a₂ ，……，a₄₀ 為一等差數列，其中 a₁ 為正數，且 a₂₀ + a₂₂ = 0。判斷下列敘述何者正確？
(A) a₂₁ + a₂₂ > 0
(B) a₂₁ + a₂₂ < 0
(C) a₂₁ × a₂₂ > 0
(D) a₂₁ × a₂₂ < 0

(B)

假設此等差數列的公差為d，則 a₂₀ + a₂₂=(a₂₁-d)+(a₂₁+d)= 2a₂₁=0，解出 a ₂₁=0 。畫出右邊示意圖可以發現：a₁ , … ,a₂₀ >0 ； a₂₁=0 ； a₂₂ , a₂₃ , …<0，所以只有(B)是對的，選(B)

14.

已知 $a = -\displaystyle\frac{5}{223}$ ， $b = \displaystyle\frac{6}{263}$ ， $c = -\displaystyle\frac{7}{293}$ ，判斷下列各式之值何者最大？
(A) $|a + b + c|$
(B) $|a + b - c|$
(C) $|a - b + c|$
(D) $|a - b - c|$

(C)

某個數加上絕對值之後要很大，那麼那個數可能負的很多，或者正的很多。例如 $|-100|$ 明顯比 $|-1|$ 要來的大，那是因為 $-100$ 負的很多。所以我們看選項(C)，因為 $a<0$ , $-b<0$ , $c<0$ ，三個加起來就是三個負的加起來，就會負的很多。加上絕對值之後就會變很大。選(C)

15.

已知 $\triangle ABC$ 與 $\triangle DEF$ 全等， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的對應點分別為 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，且 $E$ 點在 $\overline{AC}$ 上， $B$ 、 $F$ 、 $C$ 、 $D$ 四點共線，如圖 ( 五 ) 所示。若 $\angle A=40^\circ$ ， $\angle CED=35^\circ$ ，則下列敘述何者正確？
(A) $\overline{EF}=\overline{EC}$ ， $\overline{AE}=\overline{FC}$
(B) $\overline{EF}=\overline{EC}$ ， $\overline{AE}\neq\overline{FC}$
(C) $\overline{EF}\neq\overline{EC}$ ， $\overline{AE}=\overline{FC}$
(D) $\overline{EF}\neq\overline{EC}$ ， $\overline{AE}\neq\overline{FC}$

(B)

看到這種題目，我們常常會沒有頭緒，就先看題目選項在說什麼。發現只有問兩件事情： $\overline{EF}$ 跟 $\overline{EC}$ 長度一不一樣？ $\overline{AE}$ 跟 $\overline{FC}$ 長度一不一樣？
首先要怎麼看 $\overline{EF}$ 跟 $\overline{EC}$ 一不一樣呢？如果 $\angle EFC=\angle ECF$ 的話，就會一樣。接著我們看題目有沒有給我們線索： $\triangle ABC$ 與 $\triangle DEF$ 全等！！這直接告訴我們 $\angle EFC=\angle ECF$ (對應角相等)。所以 $\overline{EF}=\overline{EC}$
接著看 $\overline{AE}$ 跟 $\overline{FC}$ 長度一不一樣？從剛剛的全等性質我們還可以知道 $\overline{AC}=\overline{DF}$ (對應邊相等)。此外， $\overline{AE}=\overline{AC}-\overline{CE}$ 、 $\overline{FC}=\overline{DF}-\overline{DC}$ ，因此只要知道 $\overline{CE}$ 與 $\overline{DC}$ 是否相等就能知道 $\overline{AE}$ 與 $\overline{FC}$ 是否相等。看看題目還有給我們哪些資訊沒用到： $\angle A=40^\circ$ ， $\angle CED=35^\circ$ ，這個訴我們 $\triangle CDE$ 不是等腰三角形。所以 $\overline{CE}\neq\overline{DC}$ ，故 $\overline{AE}\neq\overline{FC}$ 。結合以上，選(B)

16.

圖 ( 六 ) 為某超商促銷活動的內容，今阿賢到該超商拿相差 4 元的 2 種飯糰各 1 個結帳時，店員說：「要不要多買 2 瓶指定飲料？搭配促銷活動後 2 組優惠價的金額，只比你買 2 個飯糰的金額多 30 元。」若阿賢只多買 1 瓶指定飲料，且店員會以對消費者最便宜的方式結帳，則與原本只買 2 個飯糰相比，他要多付多少元？

(A) 12
(B) 13
(C) 15
(D) 16

(B)

假設兩種飯糰分別是 x , x+4 元，根據題意，買兩個飯糰加兩瓶飲料要 x+(x+4)+30=2x+34 元，應該要等於優惠價 $39\times 2 =78$ 元。所以列出等式： $2x+34 =78$ ，解出 $x=22$ 。由此可知兩種飯糰分別是 22 , 26 元。買兩個飯糰加一瓶指定飲料需要 22+39=61 元，買兩個飯糰需要22+26=48元，因此他需要多付 61-48=13 元，選(B)

17.

如圖 ( 七 )，梯形ABCD 中， $\overline{AD} \mathop{//} \overline{BC}$ ，有一圓 O通過A、B、C三點，且 $\overline{AD}$ 與圓O相切於A點。若 $\angle B=58^\circ$ ，則 $\displaystyle\overset{\frown }{AB}$ 的度數為何？
(A) 116
(B) 120
(C) 122
(D) 128

(D)

如圖，因為 $\overline{AD} \mathop{//} \overline{BC}$ ，利用同位角可知 $\angle A=122^\circ$ ，再利用弦切角的性質：因為 $\angle A$ 是 $\displaystyle\overset{\frown }{ACB}$ 的弦切角，所以 $\displaystyle\overset{\frown }{ACB}$ $=122^\circ\times 2 =244^\circ$ 。而 $\angle B$ 是 $\displaystyle\overset{\frown }{AC}$ 的圓周角，所以 $\displaystyle\overset{\frown }{AC}$ $=58^\circ\times 2 =116^\circ$ 。故 $\displaystyle\overset{\frown }{BC}$ $=244^\circ-116^\circ$ $=128^\circ$ ，選(D)

18.

若坐標平面上二次函數 $y=a(x+b)^2+c$ 的圖形，經過平移後可與 $y=(x+3)^2$ 的圖形完全疊合，則 a、b、c 的值可能為下列哪一組？

(A) a = 1，b = 0，c = −2
(B) a = 2，b = 6，c = 0
(C) a = −1，b = −3，c = 0
(D) a = −2，b = 3，c = −2

(A)

解這題只有一個重點：開口大小一樣，才有可能完全疊合。開口大小是由平方項係數決定的，所以 $a=1$ 。只有(A)符合，故選(A)
(註：(A)選項向左3單位、向上2單位之後會與 $y=(x+3)^2$ 的圖形完全疊合。)

19.

如圖(八)， $\triangle ABC$ 中，D、E、F 三點分別在 $\overline{AB}$ 、 $\overline{BC}$ 、 $\overline{AC}$ 上，且四邊形 $BEFD$ 是以 $\overline{DE}$ 為對稱軸的線對稱圖形，四邊形 $CFDE$ 是以 $\overline{FE}$ 為對稱軸的線對稱圖形。若 $\angle{C}=40^\circ$ ，則 $\angle{DFE}$ 的度數為何？
(A) 65
(B) 70
(C) 75
(D) 80

(D)

對稱軸的意思是：以它為摺痕，圖形會完全重合。例如：想像四邊形 $CFDE$ 是一張紙，以 $\overline{FE}$ 為摺痕對摺時，C點會剛好跟D重疊。這就告訴我們： $\angle{C}=\angle{FDE}=40^\circ$ ，在四邊形 $BEFD$ 中， $\angle{FDE}=\angle{BDE}=40^\circ$ 。因此， $\angle{BDE}=\angle{C}=\angle{FDE}=40^\circ$ 。我們目標是要求 $\angle{DFE}$ 的度數，所以先假設 $\angle{DFE}=x^\circ$ 。用剛剛的想法可以得到 $\angle{DFE}=\angle{CFE}=\angle{DBE}=x^\circ$ (如圖)。觀察四邊形 $DBCF$ ，內角和是 $360^\circ$ ，因此 $3x+3\times 40^\circ=360^\circ$ ，解出 $x=80^\circ$ 。選(D)

20.

已知捷立租車行有甲、乙兩個營業據點，顧客租車後當日須於營業結束前在任意一個據點還車。某日營業結束清點車輛時，發現在甲歸還的自行車比從甲出租的多 4 輛。若當日從甲出租且在甲歸還的自行車為 15 輛，從乙出租且在乙歸還的自行車為 13 輛，則關於當日從甲、乙出租的自行車數量，下列比較何者正確？
(A) 從甲出租的比從乙出租的多 2 輛
(B) 從甲出租的比從乙出租的少 2 輛
(C) 從甲出租的比從乙出租的多 6 輛
(D) 從甲出租的比從乙出租的少 6 輛

(B)

總共有四種可能：
甲租甲還：15輛
設甲租乙還：x輛
乙租乙還：13輛
設乙租甲還：y輛
參考右圖，因此：
甲租共x+15輛
甲還共y+15輛
由題意可知(y+15)-(x+15)=4，也就是y-x=4
而題目要問甲租與乙租的比較，算出
甲租共x+15輛
乙租共y+13輛
故甲租-乙租=(x+15)-(y+13)=x-y+2=-4+2=-2
所以甲租比乙租少2輛，選(B)

21.

如圖(九)，四邊形ABCD中， $\angle 1$ 、 $\angle 2$ 、 $\angle 3$ 分別為 $\angle A$ 、 $\angle B$ 、 $\angle C$ 的外角。判斷下列大小關係何者正確？

(A) $\angle 1+\angle 3$ = $\angle ABC+\angle D$
(B) $\angle 1+\angle 3<\angle ABC+ \angle D$
(C) $\angle 1+ \angle 2+\angle 3=360^\circ$
(D) $\angle 1+ \angle 2+\angle 3>360^\circ$

(A)

(A) , (B)：
連接 $\overline{BD}$ ，因為 $\angle ABD+\angle ADB=\angle 1$ ， $\angle CBD+\angle BDC=\angle 3$ (外角定理)，所以兩式相加： $\angle 1+\angle 3$ = $\angle ABC+\angle D$ ，~~(B)~~ ，選(A)
(C) , (D)：
設D的外角為 $\angle 4$ ，因為任意多邊形的外角和為 $360^\circ$ ，所以 $\angle 1+ \angle 2+\angle 3+\angle4=360^\circ$ ，因此 $\angle 1+ \angle 2+\angle 3<360^\circ$ ，~~(C)、(D)~~
故選(A)

22.

若 $a$ 、 $b$ 為正整數，且 $a\times b=2^5\times 3^2\times 5$ ，則下列何者不可能為 $a$ 、 $b$ 的最大公因數？
(A) 1
(B) 6
(C) 8
(D) 12

(C)

題目可以理解為：將 $a\times b=2^5\times 3^2\times 5$ 拆成兩個數相乘，則四個選項中哪個不可能同時為此兩數的因數。
(A)將 $a\times b=2^5\times 3^2\times 5$ 拆成 $1$ 跟 $2^5\times 3^2\times 5$ 就好。
(B)拆成 $6$ 跟 $2^4\times 3\times 5$
(D)拆成 $12$ 跟 $2^3\times 3\times 5$
我們發現(C)不管怎麼拆，一定有一個沒辦法被整除，像是 $8$ 跟 $2^2\times 3^2\times 5$ ，故選(C)

23.

如圖 (十)，菱形 $ABCD$ 中， $E$ 點在 $\overline{BC}$ 上， $F$ 點在 $\overline{CD}$ 上， $G$ 點、 $H$ 點在 $\overline{AD}$ 上，且 $\overline{AE} \mathop{//} \overline{HC} \mathop{//} \overline{GF}$ 。若 $\overline{AH} = 8$ ， $\overline{HG} = 5$ ， $\overline{GD} = 4$ ，則下列選項中的線段，何者的長度最長？

(A) $\overline{CF}$
(B) $\overline{FD}$
(C) $\overline{BE}$
(D) $\overline{EC}$

(A)

先計算菱形邊長： $\overline{AD}=\overline{AH}+\overline{HG}+\overline{GD}=8+5+4=17$ 。因為 $\overline{GF} \mathop{//} \overline{HC}$ ，所以 $\overline{DF}:\overline{FC}=\overline{DG}:\overline{GH}=4:5$ 。故
$\overline{FC}=17\times\displaystyle\frac{5}{4+5}=\displaystyle\frac{85}{9}$
$\overline{DF}=17\times\displaystyle\frac{4}{4+5}=\displaystyle\frac{68}{9}$
又 $\overline{AE} \mathop{//} \overline{HC}$ 與 $\overline{AH} \mathop{//} \overline{EC}$ (因為菱形對邊平行)，所以四邊形 $AECH$ 為平行四邊形，得到
$\overline{EC}=\overline{AH}=8$
$\overline{BE}=\overline{BC}-\overline{EC}=17-8=9$
統整以上，比較 $\overline{CF}=\displaystyle\frac{85}{9}$ 、 $\overline{FD}=\displaystyle\frac{68}{9}$ 、 $\overline{BE}=9$ 、 $\overline{EC}=8$ ，最長的是 $\overline{CF}=\displaystyle\frac{85}{9}$ ，選(A)

24.

小文原本計畫使用甲、乙兩臺影印機於 10：00 開始一起印製文件並持續到下午，但 10：00 時有人正在使用乙，於是他先使用甲印製，於 10：05 才開始使用乙一起印製，且到 10：15 時乙印製的總張數與甲相同，到 10：45 時甲、乙印製的總張數合計為 2100 張。若甲、乙的印製張數與印製時間皆成正比，則依照小文原本的計畫，甲、乙印製的總張數會在哪個時間達到 2100 張？
(A) 10：40
(B) 10：41
(C) 10：42
(D) 10：43

(C)

設甲每分鐘印製 $x$ 張，乙每分鐘印製 $y$ 張。則 $15x=10y$ (因為10：15 時乙印製的總張數與甲相同)，而且 $45x+40y=2100$ (因為10：45 時甲、乙印製的總張數合計為 2100 張)
接下來就是解二元一次聯立方程式：
$\left\{\begin{array}{l}15x=10y\\45x+40y=2100\end{array}\right.$ ，解出 $\left\{\begin{array}{l}x=20\\y=30\end{array}\right.$ 。假設照原本的計畫，需要印 $t$ 分鐘，解 $(20+30)t=2100$ 。因此 $t=42$ ，即原本計畫10：42會印好。選(C)

25.

如圖(十一)，銳角三角形 $ABC$ 中， $D$ 點在 $\overline{BC}$ 上， $\angle B=\angle BAD=\angle CAD$ 。今欲在 $\overline{AD}$ 上找一點 $P$ ，使得 $\angle APC=\angle ADB$ ，以下是甲、乙兩人的作法：
( 甲 ) 作 $\overline{AC}$ 的中垂線交 $\overline{AD}$ 於 $P$ 點，則 $P$ 即為所求
( 乙 ) 以 $C$ 為圓心， $\overline{CD}$ 長為半徑畫弧，交 $\overline{AD}$ 於異於 $D$ 點的一點 $P$ ，則 $P$ 即為所求
對於甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？
(A) 兩人皆正確
(B) 兩人皆錯誤
(C) 甲正確，乙錯誤
(D) 甲錯誤，乙正確

(A)

當我們找到這個P時，因為 $\angle APC=\angle ADB$ ， $\angle PAC=\angle DAB$ ，所以 $\angle PCA=\angle DBA$ ，那麼 $\triangle PAC$ 就是一個等腰三角形。(如下圖)

所以我們只要確定上面兩種做法是否能讓 $\triangle PAC$ 變成一個等腰三角形就好。

(甲)：因為中垂線到兩端點等距，所以能確保造出來的 $\triangle PAC$ 是等腰三角形。因此(甲)正確。

(乙)：如下圖，因為 $\overline{CD} = \overline{CP}$ (都是半徑)，所以 $\angle CPD=\angle PAC$ 。由外角定理可知 $\angle DAB+\angle DBA=\angle PDC$ ， $\angle PAC+\angle PCA=\angle CPD$ 。又 $\overline{CD} = \overline{CP}$ (都是半徑)，所以 $\angle DAB+\angle DBA=\angle PDC$ ， $\angle PAC+\angle PCA=\angle DAB+\angle DBA$ 。這樣就能得到 $\angle PAC+\angle PCA$ ，故 $\triangle PAC$ 是等腰三角形。因此(乙)正確。

26.

如圖 ( 十二 )， $I$ 為 $\triangle ABC$ 的內心，有一直線通過 $I$ 點且分別與 $\overline{AB}$ 、 $\overline{AC}$ 相交於 $D$ 點、 $E$ 點。若 $\overline{AD}=\overline{DE} =5$ ， $\overline{AE} = 6$ ，則 I 點到 BC 的距離為何？

(A) $\frac{24}{11}$
(B) $\frac{30}{11}$
(C) $2$
(D) $3$

(A)

因為 $I$ 為 $\triangle ABC$ 的內心， $I$ 到 $\overline{BC}$ 的距離就是內切圓半徑。目標要求內切圓半徑，我就先把內切圓畫出來。

接著我們用不同角度看 $\triangle ADE$ 的面積：
$\triangle ADE$ = $\triangle ADI+\triangle AEI$
算出面積 $=\displaystyle\frac{5\times{r}}{2}+\frac{6\times{r}}{2}=\frac{11r}{2}$

另一方面：
$\triangle ADE$ = $\triangle ADI+\triangle AEI$
算出面積 $=\displaystyle\frac{6\times 4}{2}=12$

因此， $\displaystyle\frac{11r}{2}=12$ ，即可求得 $\displaystyle r=\frac{24}{11}$ ，選(A)

110會考數學第二部分：非選擇題

碳足跡標籤是一種碳排放量的標示方式，讓大眾了解某一產品或服務所產生的碳排放量多寡，如圖 ( 十三 ) 所示。

碳足跡標籤的數據標示有其規定，以「碳排放量大於 20公克且不超過 40公克」為例，此範圍內的碳足跡數據標示只有 20、22、24、……、38、40 公克等 11 個偶數；碳足跡數據標示決定於「碳排放量與這 11 個偶數之中的哪一個差距最小」，兩者對應標示的範例如表 ( 二 ) 所示。

請根據上述資訊，回答下列問題，並詳細解釋或完整寫出你的解題過程：
(1) 若有一個產品的碳足跡數據標示為 38 公克，則它可能的碳排放量之最小值與最大值分別為多少公克？
(2) 承 (1)，當此產品的碳排放量減少為原本的 90% 時，請求出此產品碳足跡數據標示的所有可能情形。

(1)

標示為38公克，代表碳排放量可能為37~39公克。當排放量比37公克少一點時，就會標示為36公克，當排放量比39大一點時，就會標示為39公克。因此，最小值是37公克、最大值為39公克。

(2)

設 $x$ 為碳排放量，由(1)已知 $37\leq x\leq 39$ ，當排放量變為原本的 $90\%$ 時，不等式同乘 $90\%$ ： $37\times 90\%\leq x\times 90\%\leq 39\times 90\%$ ，化簡以後就得到 $33.3\leq 0.9x\leq 35.1$ 。33.3最接近的偶數是 34 ， 35.1 最接近的偶數是 36 ，所以標示的可能情形只有 34 或 36 。

此題詳細評分標準請看第一題評分指引，以及滿分範本

凱特平時常用底面為矩形的模具製作蛋糕，並以「平行於模具任一邊」的方式進行橫切或縱切，橫切都是從模具的左邊切割到模具的右邊，縱切都是從模具的上邊切割到模具的下邊。用這種方式，可以切出數個大小完全相同的小塊蛋糕。在切割後，他發現小塊蛋糕接觸模具的地方外皮比較焦脆，以圖 ( 十四 ) 為例，橫切2 刀，縱切3 刀，共計5 刀，切出( 2+ 1 )×( 3+ 1 ) = 12 個小塊蛋糕，其中側面有焦脆的小塊蛋糕共有 10 個，所有側面都不焦脆的小塊蛋糕共有 2 個。

請根據上述切割方式，回答下列問題，並詳細解釋或完整寫出你的解題過程：
(1) 若對一塊蛋糕切了 4 刀，則可切出幾個小塊蛋糕？請寫出任意一種可能的蛋糕塊數即可。
(2) 今凱特根據一場聚餐的需求，打算製作出恰好 60 個所有側面都不焦脆的小塊蛋糕，為了避免勞累並加快出餐速度，在不超過 20 刀的情況下，請問凱特需要切幾刀，才可以達成需求？請寫出所有可能的情形。

(1)

有很多種切法，這裡舉一種就好。縱切2刀，橫切2刀，總共可切出9個小塊蛋糕。

(2)

假設橫切 $x$ 刀，縱切 $y$ 刀，則總共有 $(x-1)\times (y-1)$ 個所有側面都不焦脆的小塊蛋糕。所以解 $(x-1)\times (y-1)=60$ 的所有 $x$ 、 $y$ 的正整數解。
$\begin{aligned}60&=1\times 60=60\times 1\\&=2\times 30=30\times 2\\&=3\times 20=20\times 3\\&=4\times 15=15\times 4\\&=5\times 12=12\times 5\\&=6\times 10=10\times 6\end{aligned}$
找出所有 $x+y$ 的可能，畫出表格，如下圖。不超過20刀的只有兩種可能，分別是18刀及19刀。

此題詳細評分標準請看第二題評分指引，以及滿分範本

110會考數學第一部分：選擇題 (1 ~ 26 題)

110會考數學第二部分：非選擇題

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