110會考數學第一部分:選擇題 (1 ~ 26 題)
1.
圖( 一 )的坐標平面上有A、B、C、D四點。根據圖( 一 )中各點位置判斷,哪一個點在第二象限?
(A) A
(B) B
(C) C
(D) D
(A)
如右圖所示,A在第二象限,B在第三象限,C在y軸上,D在第四象限。故選(A)
2.
算式 (−8)+(−2)×(−3)之值為何?
(A) −14
(B) −2
(C) 18
(D) 30
(B)
先乘除後加減,所以先算(−2)×(−3),算出來是6,接下來算(-8)+6 ,答案就是-2,選(B)
3.
若二元一次聯立方程式 的解為 , ,則 之值為何?
(A) −15
(B) −3
(C) 5
(D) 25
(D)
此題為解二元一次聯立方程式的題型,我們使用代入消去法:將 代入 得到 ,解出 ,代回 可得 。因此 ,
4.
如圖 ( 二 ) , 矩形 、 中 , 點在 上 。若矩形 的面積為 , ∆ BDE 的面積為 , 則 的面積為何?
(A) 10
(B) 12
(C) 14
(D) 16
(C)
矩形的對角線會把矩形分割成兩個一模一樣的三角形(意思是 是一樣的三角形),所以 的面積是矩形的一半為 。因此 ,選(C)
5.
是 的多少倍?
(A) 2
(B) 3
(C) 25
(D) 125
(D)
同底相除,指數相減。所以 ,選(D)
6.
下列等式何者不成立?
(A)
(B)
(C)
(D)
(C)
注意 是 的意思。在(C)選項中, 等於
並不等於 ,選(C)
7.
已知纜車從起點行駛到終點需花費 8 分鐘,圖 ( 三 ) 表示行駛過程中纜車的海拔高度與行駛時間的關係。
根據圖 ( 三 ) 判斷 , 下列敘述何者正確?
(A) 終點的海拔高度比起點高 300 公尺,行駛時間的前 4 分鐘都在上升
(B) 終點的海拔高度比起點高 300 公尺,行駛時間的末 4 分鐘都在上升
(C) 終點的海拔高度比起點高 350 公尺,行駛時間的前 4 分鐘都在上升
(D) 終點的海拔高度比起點高 350 公尺,行駛時間的末 4 分鐘都在上升
(B)
如右圖所示,終點海拔高度為350公尺,起點海拔高度為50公尺,所以終點比起點高350-50=300公尺,刪掉(C)、(D)。而前四分鐘並不是都在上升(綠色線段是下降的),因此刪掉(A),選(B)
8.
利用乘法公式判斷 , 下列等式何者成立?
(A)
(B)
(C)
(D)
(C)
解題策略:國中學過的乘法公式不外乎就以下三種:
我們看看四個選項的形式:
(A)
(B)
(C)
(D)
顯然(C)才最像我們學過的,驗證看看
成立。選(C)
9.
圖 ( 四 ) 為甲城市 6 月到 9 月外國旅客人數的折線圖 。根據圖 ( 四 ) 判斷 ,哪一個月到甲城市的外國旅客中 , 旅客人數最少的國家是美國?
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(C)
題目只有問哪個月分旅客人數最少的國家是美國,我們只要專注在圖片每個月最少的人數就好。如圖,藍色圓圈就是每個月旅客最少的國家,接著只要看哪一個是美國就好,所以選(C)
10.
將一半徑為 6 的圓形紙片,沿著兩條半徑剪開形成兩個扇形。若其中一個扇形的弧長為 5π ,則另一個扇形的圓心角度數是多少?
(A) 30
(B) 60
(C) 105
(D) 210
(D)
參考右圖,先算小扇形的圓心角是幾度。假設圓心角是x°,那麼小扇形的弧長就是 ,又題目告訴我們它的周長是 ,所以能列出等式 ,解出 。所以大扇形的圓心角就是 ,選(D)
11.
動物園準備了 100 張刮刮樂,打算送給開幕當日的前 100 位遊客每人一張,其中可刮中獎品的刮刮樂共有 32 張,表 ( 一 ) 為獎品的種類及數量。若小柏為開幕當日的第一位遊客,且每張刮刮樂被小柏拿到的機會相等,則小柏刮中玩偶的機率為何?
(A)
(B)
(C)
(D)
(D)
如右圖,玩偶數量只有2個。如果沒看清楚,可能會以為是中獎人裡面刮中玩偶的機率是多少,就會選到 。但是這是不對的,題目是問100張刮刮樂隨便選一張,刮到玩偶的機率。這樣就變成100張裡面只有兩張玩偶,所以答案要選 ,選(D)
12.
美美和小儀到超市購物,且超市正在舉辦摸彩活動,單次消費金額每滿100元可以拿到1張摸彩券。已知美美一次購買5盒餅乾拿到3張摸彩券;小儀一次購買5盒餅乾與1個蛋糕拿到4張摸彩券。若每盒餅乾的售價為x元,每個蛋糕的售價為150元,則x的範圍為下列何者?
(A) 50 ≤ x < 60
(B) 60 ≤ x < 70
(C) 70 ≤ x < 80
(D) 80 ≤ x < 90
(B)
拿到3張摸彩券,代表購買金額滿300,不滿400。原題目每盒餅乾的售價為x元,美美買5盒餅乾就是5x元。因此可以列式為 300 ≤ 5x < 400 ,化簡之後變成 60 ≤ x < 80
拿到4張摸彩券,代表購買金額滿400,不滿500。原題目每盒餅乾的售價為x元,每個蛋糕的售價為150元,小儀買5盒餅乾、1個蛋糕就是 5x+150 元。因此可以列式為 400 ≤ 5x+150 < 500 ,化簡之後變成 50 ≤ x < 70
根據上面兩個條件:x 要同時符合 60 ≤ x < 80 與 50 ≤ x < 70,那麼答案就是 60 ≤ x < 70 (如右圖),選(B)
13.
已知 a1 ,a2 ,……,a40 為一等差數列,其中 a1 為正數,且 a20 + a22 = 0。判斷下列敘述何者正確?
(A) a21 + a22 > 0
(B) a21 + a22 < 0
(C) a21 × a22 > 0
(D) a21 × a22 < 0
(B)
假設此等差數列的公差為d,則 a20 + a22=(a21-d)+(a21+d)= 2a21 =0,解出 a 21=0 。畫出右邊示意圖可以發現:a1 , … ,a20 >0 ; a21=0 ; a22 , a23 , …<0,所以只有(B)是對的,選(B)
14.
已知 , , , 判斷下列各式之值何者最大?
(A)
(B)
(C)
(D)
(C)
某個數加上絕對值之後要很大,那麼那個數可能負的很多,或者正的很多。例如 明顯比 要來的大,那是因為 負的很多。所以我們看選項(C), 因為 , , ,三個加起來就是三個負的加起來,就會負的很多。加上絕對值之後就會變很大。選(C)
15.
已知 與 全等 , 、 、 的對應點分別為 、 、 , 且 點在 上 , 、 、 、 四點共線,如圖 ( 五 ) 所示。若 , , 則下列敘述何者正確?
(A) ,
(B) ,
(C) ,
(D) ,
(B)
看到這種題目,我們常常會沒有頭緒,就先看題目選項在說什麼。發現只有問兩件事情: 跟 長度一不一樣? 跟 長度一不一樣?
首先要怎麼看 跟 一不一樣呢?如果 的話,就會一樣。接著我們看題目有沒有給我們線索: 與 全等!!這直接告訴我們 (對應角相等)。所以
接著看 跟 長度一不一樣?從剛剛的全等性質我們還可以知道 (對應邊相等)。此外, 、 ,因此只要知道 與 是否相等就能知道 與 是否相等。看看題目還有給我們哪些資訊沒用到: , ,這個訴我們 不是等腰三角形。所以 , 故 。結合以上,選(B)
16.
圖 ( 六 ) 為某超商促銷活動的內容,今阿賢到該超商拿相差 4 元的 2 種飯糰各 1 個結帳時,店員說:「要不要多買 2 瓶指定飲料?搭配促銷活動後 2 組優惠價的金額,只比你買 2 個飯糰的金額多 30 元。」若阿賢只多買 1 瓶指定飲料,且店員會以對消費者最便宜的方式結帳,則與原本只買 2 個飯糰相比,他要多付多少元?
(A) 12
(B) 13
(C) 15
(D) 16
(B)
假設兩種飯糰分別是 x , x+4 元,根據題意,買兩個飯糰加兩瓶飲料要 x+(x+4)+30=2x+34 元,應該要等於優惠價 元。所以列出等式: ,解出 。由此可知兩種飯糰分別是 22 , 26 元。買兩個飯糰加一瓶指定飲料需要 22+39=61 元,買兩個飯糰需要22+26=48元,因此他需要多付 61-48=13 元,選(B)
17.
如圖 ( 七 ),梯形ABCD 中, ,有一圓 O通過A、B、C三點,且 與圓O相切於A點。若,則 的度數為何?
(A) 116
(B) 120
(C) 122
(D) 128
(D)
如圖,因為 ,利用同位角可知 ,再利用弦切角的性質:因為 是 的弦切角,所以 。而 是 的圓周角,所以 。故 ,選(D)
18.
若坐標平面上二次函數 的圖形,經過平移後可與 的圖形完全疊合,則 a、b、c 的值可能為下列哪一組?
(A) a = 1,b = 0,c = −2
(B) a = 2,b = 6,c = 0
(C) a = −1,b = −3,c = 0
(D) a = −2,b = 3,c = −2
(A)
解這題只有一個重點:開口大小一樣,才有可能完全疊合。開口大小是由平方項係數決定的,所以 。只有(A)符合,故選(A)
(註:(A)選項向左3單位、向上2單位之後會與 的圖形完全疊合。)
19.
如圖(八), 中,D、E、F 三點分別在 、 、 上,且四邊形 是以 為對稱軸的線對稱圖形,四邊形 是以 為對稱軸的線對稱圖形。若 ,則 的度數為何?
(A) 65
(B) 70
(C) 75
(D) 80
(D)
對稱軸的意思是:以它為摺痕,圖形會完全重合。例如:想像四邊形 是一張紙,以 為摺痕對摺時,C點會剛好跟D重疊。這就告訴我們: , 在四邊形 中, 。因此, 。我們目標是要求 的度數,所以先假設 。用剛剛的想法可以得到 (如圖)。觀察四邊形 ,內角和是 ,因此 ,解出 。選(D)
20.
已知捷立租車行有甲、乙兩個營業據點,顧客租車後當日須於營業結束前在任意一個據點還車。某日營業結束清點車輛時,發現在甲歸還的自行車比從甲出租的多 4 輛。若當日從甲出租且在甲歸還的自行車為 15 輛,從乙出租且在乙歸還的自行車為 13 輛,則關於當日從甲、乙出租的自行車數量,下列比較何者正確?
(A) 從甲出租的比從乙出租的多 2 輛
(B) 從甲出租的比從乙出租的少 2 輛
(C) 從甲出租的比從乙出租的多 6 輛
(D) 從甲出租的比從乙出租的少 6 輛
(B)
總共有四種可能:
甲租甲還:15輛
設甲租乙還:x輛
乙租乙還:13輛
設乙租甲還:y輛
參考右圖,因此:
甲租共x+15輛
甲還共y+15輛
由題意可知(y+15)-(x+15)=4,也就是y-x=4
而題目要問甲租與乙租的比較,算出
甲租共x+15輛
乙租共y+13輛
故甲租-乙租=(x+15)-(y+13)=x-y+2=-4+2=-2
所以甲租比乙租少2輛,選(B)
21.
如圖(九),四邊形ABCD中, 、 、 分別為 、 、 的外角。判斷下列大小關係何者正確?
(A) =
(B)
(C)
(D)
(A)
(A) , (B):
連接 ,因為 , (外角定理),所以兩式相加: = ,(B) ,選(A)
(C) , (D):
設D的外角為 ,因為任意多邊形的外角和為 ,所以 ,因此 ,(C)、(D)
故選(A)
22.
若 、 為正整數,且 ,則下列何者不可能為 、 的最大公因數?
(A) 1
(B) 6
(C) 8
(D) 12
(C)
題目可以理解為:將 拆成兩個數相乘,則四個選項中哪個不可能同時為此兩數的因數。
(A)將 拆成 跟 就好。
(B)拆成 跟
(D)拆成 跟
我們發現(C)不管怎麼拆,一定有一個沒辦法被整除,像是 跟 ,故選(C)
23.
如圖 (十),菱形 中, 點在 上, 點在 上, 點、 點在 上,且 。若 , , ,則下列選項中的線段,何者的長度最長?
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
先計算菱形邊長: 。因為 ,所以 。故
又 與 (因為菱形對邊平行),所以四邊形 為平行四邊形,得到
統整以上,比較 、 、 、 ,最長的是 ,選(A)
24.
小文原本計畫使用甲、乙兩臺影印機於 10:00 開始一起印製文件並持續到下午,但 10:00 時有人正在使用乙,於是他先使用甲印製,於 10:05 才開始使用乙一起印製,且到 10:15 時乙印製的總張數與甲相同,到 10:45 時甲、乙印製的總張數合計為 2100 張。若甲、乙的印製張數與印製時間皆成正比,則依照小文原本的計畫,甲、乙印製的總張數會在哪個時間達到 2100 張?
(A) 10:40
(B) 10:41
(C) 10:42
(D) 10:43
(C)
設甲每分鐘印製 張,乙每分鐘印製 張。則 (因為10:15 時乙印製的總張數與甲相同),而且 (因為10:45 時甲、乙印製的總張數合計為 2100 張)
接下來就是解二元一次聯立方程式:
,解出 。假設照原本的計畫,需要印 分鐘,解 。因此 ,即原本計畫10:42會印好。選(C)
25.
如圖(十一), 銳角三角形 中, 點在 上, 。今欲在 上找一點 ,使得 ,以下是甲、乙兩人的作法:
( 甲 ) 作 的中垂線交 於 點,則 即為所求
( 乙 ) 以 為圓心, 長為半徑畫弧,交 於異於 點的一點 ,則 即為所求
對於甲、乙兩人的作法,下列判斷何者正確?
(A) 兩人皆正確
(B) 兩人皆錯誤
(C) 甲正確,乙錯誤
(D) 甲錯誤,乙正確
(A)
當我們找到這個P時,因為 , ,所以 ,那麼 就是一個等腰三角形。(如下圖)
所以我們只要確定上面兩種做法是否能讓 變成一個等腰三角形就好。
(甲):因為中垂線到兩端點等距,所以能確保造出來的 是等腰三角形。因此(甲)正確。
(乙):如下圖,因為 (都是半徑),所以 。由外角定理可知 , 。又 (都是半徑),所以 , 。 這樣就能得到 ,故 是等腰三角形。因此(乙)正確。
26.
如圖 ( 十二 ), 為 的內心,有一直線通過 點且分別與 、 相交於 點 、 點。若 , ,則 I 點到 BC 的距離為何?
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
因為 為 的內心, 到 的距離就是內切圓半徑。目標要求內切圓半徑,我就先把內切圓畫出來。
接著我們用不同角度看 的面積:
=
算出面積
另一方面:
=
算出面積
因此, , 即可求得 ,選(A)
110會考數學第二部分:非選擇題
1.
碳足跡標籤是一種碳排放量的標示方式,讓大眾了解某一產品或服務所產生的碳排放量多寡,如圖 ( 十三 ) 所示。
碳足跡標籤的數據標示有其規定, 以「碳排放量大於 20公克且不超過 40公克」為例,此範圍內的碳足跡數據標示只有 20、22、24、……、38、40 公克等 11 個偶數;碳足跡數據標示決定於「碳排放量與這 11 個偶數之中的哪一個差距最小」,兩者對應標示的範例如表 ( 二 ) 所示。
請根據上述資訊,回答下列問題,並詳細解釋或完整寫出你的解題過程:
(1) 若有一個產品的碳足跡數據標示為 38 公克,則它可能的碳排放量之最小值與最大值分別為多少公克?
(2) 承 (1),當此產品的碳排放量減少為原本的 90% 時,請求出此產品碳足跡數據標示的所有可能情形。
(1)
標示為38公克,代表碳排放量可能為37~39公克。當排放量比37公克少一點時,就會標示為36公克,當排放量比39大一點時,就會標示為39公克。因此,最小值是37公克、最大值為39公克。
(2)
2.
凱特平時常用底面為矩形的模具製作蛋糕,並以「平行於模具任一邊」的方式進行橫切或縱切,橫切都是從模具的左邊切割到模具的右邊,縱切都是從模具的上邊切割到模具的下邊。用這種方式,可以切出數個大小完全相同的小塊蛋糕。在切割後,他發現小塊蛋糕接觸模具的地方外皮比較焦脆,以圖 ( 十四 ) 為例, 橫切2 刀, 縱切3 刀, 共計5 刀,切出( 2+ 1 )×( 3+ 1 ) = 12 個小塊蛋糕,其中側面有焦脆的小塊蛋糕共有 10 個,所有側面都不焦脆的小塊蛋糕共有 2 個。
請根據上述切割方式,回答下列問題,並詳細解釋或完整寫出你的解題過程:
(1) 若對一塊蛋糕切了 4 刀,則可切出幾個小塊蛋糕?請寫出任意一種可能的蛋糕塊數即可。
(2) 今凱特根據一場聚餐的需求,打算製作出恰好 60 個所有側面都不焦脆的小塊蛋糕,為了避免勞累並加快出餐速度,在不超過 20 刀的情況下,請問凱特需要切幾刀,才可以達成需求?請寫出所有可能的情形。
(1)
有很多種切法,這裡舉一種就好。縱切2刀,橫切2刀,總共可切出9個小塊蛋糕。