110會考數學詳解|110國中教育會考數學詳解

110會考數學科詳解、110年國中教育會考數學科.

110會考數學第一部分:選擇題 (1 ~ 26 題)


1.

圖( 一 )的坐標平面上有A、B、C、D四點。根據圖( 一 )中各點位置判斷,哪一個點在第二象限?
(A) A
(B) B
(C) C
(D) D

110會考數學第一題

(A)

如右圖所示,A在第二象限,B在第三象限,C在y軸上,D在第四象限。故選(A)

110會考數學第一題示意圖

2.

算式 (−8)+(−2)×(−3)之值為何?
(A) −14
(B) −2
(C) 18
(D) 30

(B)

先乘除後加減,所以先算(−2)×(−3),算出來是6,接下來算(-8)+6 ,答案就是-2,選(B)


3.

若二元一次聯立方程式 \left\{\begin{array}{l}x=4y\\6y-x=10\end{array}\right. 的解為 x = ay = b ,則 a + b 之值為何?
(A) −15
(B) −3
(C) 5
(D) 25

(D)

此題為解二元一次聯立方程式的題型,我們使用代入消去法:將 x = 4y 代入 6y-x=10 得到 6y-4y=10 ,解出 2y= 10\Rightarrow y=5 ,代回 x = 4y 可得 x=4\times 5=20 。因此 a=20\  , \ b=5a+b=25


4.

如圖 ( 二 ) , 矩形 ABCD\triangle BDE 中 , A 點在 \overline{BE} 上 。若矩形 ABCD 的面積為 20 , ∆ BDE 的面積為 24, 則 \triangle ADE 的面積為何?
(A) 10
(B) 12
(C) 14
(D) 16

110會考數學第四題

(C)

矩形的對角線會把矩形分割成兩個一模一樣的三角形(意思是 \triangle ABD \triangle CDB 是一樣的三角形),所以 \triangle ABD 的面積是矩形的一半為 \displaystyle\frac{20}{2}=10。因此 \triangle ADE=\triangle BDE-\triangle BDA=24-10=14 ,選(C)

110會考數學第四題示意圖

5.

\displaystyle 5^6\displaystyle5^3 的多少倍?
(A) 2
(B) 3
(C) 25
(D) 125

(D)

同底相除,指數相減。所以 \displaystyle 5^6 \div 5^3=\displaystyle 5^{6-3}=\displaystyle 5^3=125 ,選(D)


6.

下列等式何者不成立

(A) 4\sqrt{3}+2\sqrt{3}=6\sqrt{3}
(B) 4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}
(C) 4\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}=8\sqrt{3}
(D) 4\sqrt{3}\div 2\sqrt{3}=2

(C)

注意 4\sqrt{3}4\times\sqrt{3} 的意思。在(C)選項中, 4\sqrt{3}\times 2\sqrt{3} 等於 \begin{aligned}4\times\sqrt{3}\times 2\times\sqrt{3} &= (4\times 2)\times(\sqrt{3}\times\sqrt{3}) \\&= 8\times 3\\&=24\end{aligned}
並不等於 8\sqrt{3},選(C)


7.

已知纜車從起點行駛到終點需花費 8 分鐘,圖 ( 三 ) 表示行駛過程中纜車的海拔高度與行駛時間的關係。
根據圖 ( 三 ) 判斷 , 下列敘述何者正確?
(A) 終點的海拔高度比起點高 300 公尺,行駛時間的前 4 分鐘都在上升
(B) 終點的海拔高度比起點高 300 公尺,行駛時間的末 4 分鐘都在上升
(C) 終點的海拔高度比起點高 350 公尺,行駛時間的前 4 分鐘都在上升
(D) 終點的海拔高度比起點高 350 公尺,行駛時間的末 4 分鐘都在上升

110會考數學第七題

(B)

如右圖所示,終點海拔高度為350公尺,起點海拔高度為50公尺,所以終點比起點高350-50=300公尺,刪掉(C)、(D)。而前四分鐘並不是都在上升(綠色線段是下降的),因此刪掉(A),選(B)

110會考數學第七題示意圖

8.

利用乘法公式判斷 , 下列等式何者成立?
(A) 248^2+248\times 52 + 52^2 = 300^2
(B) 248^2-248\times 48 -48^2 = 200^2
(C) 248^2 + 2\times 248 \times 52 + 52^2 = 300^2
(D) 248^2 - 2\times 248 \times 48 - 48^2 =200^2

(C)

解題策略:國中學過的乘法公式不外乎就以下三種:
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
a^2-b^2 = (a+b)(a-b)
我們看看四個選項的形式:
(A) a^2+ab+b^2 = (a+b)^2
(B) a^2-ab+b^2 = (a-b)^2
(C) a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2
(D) a^2-2ab-b^2 = (a-b)^2
顯然(C)才最像我們學過的,驗證看看

\begin{aligned}300^2&=(248+52)^2\\&=248^2+2\times248\times52 +52^2\end{aligned}
成立。選(C)


9.

圖 ( 四 ) 為甲城市 6 月到 9 月外國旅客人數的折線圖 。根據圖 ( 四 ) 判斷 ,哪一個月到甲城市的外國旅客中 , 旅客人數最少的國家是美國?
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9

110會考數學第9題

(C)

題目只有問哪個月分旅客人數最少的國家是美國,我們只要專注在圖片每個月最少的人數就好。如圖,藍色圓圈就是每個月旅客最少的國家,接著只要看哪一個是美國就好,所以選(C)

110會考數學第9題示意圖

10.

將一半徑為 6 的圓形紙片,沿著兩條半徑剪開形成兩個扇形。若其中一個扇形的弧長為 5π ,則另一個扇形的圓心角度數是多少?
(A) 30
(B) 60
(C) 105
(D) 210

(D)

參考右圖,先算小扇形的圓心角是幾度。假設圓心角是x°,那麼小扇形的弧長就是 2\times\pi\times 6\times\displaystyle\frac{x^\circ}{360^\circ}=\displaystyle\frac{x\pi}{30} ,又題目告訴我們它的周長是 5\pi ,所以能列出等式 \displaystyle\frac{x\pi}{30}=5\pi ,解出 x=150^\circ 。所以大扇形的圓心角就是 360^\circ-x^\circ=360^\circ-150^\circ=210^\circ選(D)

110會考數學第10題示意圖
示意圖

11.

動物園準備了 100 張刮刮樂,打算送給開幕當日的前 100 位遊客每人一張,其中可刮中獎品的刮刮樂共有 32 張,表 ( 一 ) 為獎品的種類及數量。若小柏為開幕當日的第一位遊客,且每張刮刮樂被小柏拿到的機會相等,則小柏刮中玩偶的機率為何?
(A) \displaystyle\frac{1}{2}
(B) \displaystyle\frac{1}{16}
(C) \displaystyle\frac{8}{25}
(D) \displaystyle\frac{1}{50}

110會考數學第11題

(D)

如右圖,玩偶數量只有2個。如果沒看清楚,可能會以為是中獎人裡面刮中玩偶的機率是多少,就會選到 \displaystyle\frac{1}{16} 。但是這是不對的,題目是問100張刮刮樂隨便選一張,刮到玩偶的機率。這樣就變成100張裡面只有兩張玩偶,所以答案要選 \displaystyle\frac{2}{100}=\frac{1}{50},選(D)

110會考數學第11題示意圖

12.

美美和小儀到超市購物,且超市正在舉辦摸彩活動,單次消費金額每滿100元可以拿到1張摸彩券。已知美美一次購買5盒餅乾拿到3張摸彩券;小儀一次購買5盒餅乾與1個蛋糕拿到4張摸彩券。若每盒餅乾的售價為x元,每個蛋糕的售價為150元,則x的範圍為下列何者?
(A) 50 ≤ x < 60
(B) 60 ≤ x < 70
(C) 70 ≤ x < 80
(D) 80 ≤ x < 90

(B)

拿到3張摸彩券,代表購買金額滿300不滿400。原題目每盒餅乾的售價為x元,美美買5盒餅乾就是5x元。因此可以列式為 300 ≤ 5x < 400 ,化簡之後變成 60 ≤ x < 80
拿到4張摸彩券,代表購買金額滿400不滿500。原題目每盒餅乾的售價為x元,每個蛋糕的售價為150元,小儀買5盒餅乾、1個蛋糕就是 5x+150 元。因此可以列式為 400 ≤ 5x+150 < 500 ,化簡之後變成 50 ≤ x < 70
根據上面兩個條件:x 要同時符合 60 ≤ x < 8050 ≤ x < 70,那麼答案就是 60 ≤ x < 70 (如右圖),選(B)

110會考數學第12題示意圖

13.

已知 a1 ,a2 ,……,a40 為一等差數列,其中 a1 為正數,且 a20 + a22 = 0。判斷下列敘述何者正確?
(A) a21 + a22 > 0
(B) a21 + a22 < 0
(C) a21 × a22 > 0
(D) a21 × a22 < 0

(B)

假設此等差數列的公差為d,則 a20 + a22=(a21-d)+(a21+d)= 2a21 =0,解出 a 21=0 。畫出右邊示意圖可以發現:a1 , … ,a20 >0 ; a21=0 ; a22 , a23 , …<0,所以只有(B)是對的,選(B)

110會考數學第13題示意圖

14.

已知 a = -\displaystyle\frac{5}{223}b = \displaystyle\frac{6}{263}c = -\displaystyle\frac{7}{293}, 判斷下列各式之值何者最大?
(A) |a + b + c|
(B) |a + b - c|
(C) |a - b + c|
(D) |a - b - c|

(C)

某個數加上絕對值之後要很大,那麼那個數可能負的很多,或者正的很多。例如 |-100| 明顯比 |-1| 要來的大,那是因為 -100 負的很多。所以我們看選項(C), 因為 a<0 , -b<0 , c<0 ,三個加起來就是三個負的加起來,就會負的很多。加上絕對值之後就會變很大。選(C)


15.

已知 \triangle ABC\triangle DEF 全等 , ABC 的對應點分別為 DEF , 且 E 點在 \overline{AC} 上 , BFCD 四點共線,如圖 ( 五 ) 所示。若 \angle A=40^\circ\angle CED=35^\circ , 則下列敘述何者正確?
(A) \overline{EF}=\overline{EC}\overline{AE}=\overline{FC}
(B) \overline{EF}=\overline{EC}\overline{AE}\neq\overline{FC}
(C) \overline{EF}\neq\overline{EC}\overline{AE}=\overline{FC}
(D) \overline{EF}\neq\overline{EC}\overline{AE}\neq\overline{FC}

110會考數學第15題

(B)

看到這種題目,我們常常會沒有頭緒,就先看題目選項在說什麼。發現只有問兩件事情: \overline{EF}\overline{EC} 長度一不一樣?\overline{AE}\overline{FC} 長度一不一樣?
首先要怎麼看 \overline{EF}\overline{EC} 一不一樣呢?如果 \angle EFC=\angle ECF 的話,就會一樣。接著我們看題目有沒有給我們線索: \triangle ABC\triangle DEF 全等!!這直接告訴我們 \angle EFC=\angle ECF (對應角相等)。所以 \overline{EF}=\overline{EC}
接著看\overline{AE}\overline{FC} 長度一不一樣?從剛剛的全等性質我們還可以知道 \overline{AC}=\overline{DF} (對應邊相等)。此外, \overline{AE}=\overline{AC}-\overline{CE}\overline{FC}=\overline{DF}-\overline{DC} ,因此只要知道 \overline{CE}\overline{DC} 是否相等就能知道 \overline{AE}\overline{FC} 是否相等。看看題目還有給我們哪些資訊沒用到:\angle A=40^\circ\angle CED=35^\circ ,這個訴我們 \triangle CDE 不是等腰三角形。所以\overline{CE}\neq\overline{DC} , 故 \overline{AE}\neq\overline{FC}。結合以上,選(B)

110會考數學第15題示意圖

16.

圖 ( 六 ) 為某超商促銷活動的內容,今阿賢到該超商拿相差 4 元的 2 種飯糰各 1 個結帳時,店員說:「要不要多買 2 瓶指定飲料?搭配促銷活動後 2 組優惠價的金額,只比你買 2 個飯糰的金額多 30 元。」若阿賢只多買 1 瓶指定飲料,且店員會以對消費者最便宜的方式結帳,則與原本只買 2 個飯糰相比,他要多付多少元?

(A) 12
(B) 13
(C) 15
(D) 16

110會考數學第16題

(B)

假設兩種飯糰分別是 x , x+4 元,根據題意,買兩個飯糰加兩瓶飲料要 x+(x+4)+30=2x+34 元,應該要等於優惠價 39\times 2 =78 元。所以列出等式:2x+34 =78 ,解出 x=22 。由此可知兩種飯糰分別是 22 , 26 元。買兩個飯糰加一瓶指定飲料需要 22+39=61 元,買兩個飯糰需要22+26=48元,因此他需要多付 61-48=13 元,選(B)


17.

如圖 ( 七 ),梯形ABCD 中, \overline{AD} \mathop{//} \overline{BC} ,有一圓 O通過A、B、C三點,且 \overline{AD}與圓O相切於A點。若\angle B=58^\circ,則 \displaystyle\overset{\frown }{AB} 的度數為何?
(A) 116
(B) 120
(C) 122
(D) 128

110會考數學第17題

(D)

如圖,因為 \overline{AD} \mathop{//} \overline{BC} ,利用同位角可知 \angle A=122^\circ ,再利用弦切角的性質:因為 \angle A\displaystyle\overset{\frown }{ACB} 的弦切角,所以 \displaystyle\overset{\frown }{ACB} =122^\circ\times 2 =244^\circ 。而 \angle B\displaystyle\overset{\frown }{AC} 的圓周角,所以 \displaystyle\overset{\frown }{AC} =58^\circ\times 2 =116^\circ 。故\displaystyle\overset{\frown }{BC} =244^\circ-116^\circ=128^\circ ,選(D)

110會考數學第17題示意圖

18.

若坐標平面上二次函數 y=a(x+b)^2+c 的圖形,經過平移後可與 y=(x+3)^2 的圖形完全疊合,則 a、b、c 的值可能為下列哪一組?

(A) a = 1,b = 0,c = −2
(B) a = 2,b = 6,c = 0
(C) a = −1,b = −3,c = 0
(D) a = −2,b = 3,c = −2

(A)

解這題只有一個重點:開口大小一樣,才有可能完全疊合。開口大小是由平方項係數決定的,所以 a=1。只有(A)符合,故選(A)
(註:(A)選項向左3單位、向上2單位之後會與 y=(x+3)^2 的圖形完全疊合。)


19.

如圖(八), \triangle ABC 中,D、E、F 三點分別在\overline{AB}\overline{BC}\overline{AC} 上,且四邊形 BEFD 是以 \overline{DE} 為對稱軸的線對稱圖形,四邊形 CFDE 是以 \overline{FE} 為對稱軸的線對稱圖形。若 \angle{C}=40^\circ ,則 \angle{DFE}的度數為何?
(A) 65
(B) 70
(C) 75
(D) 80

110會考數學第19題

(D)

對稱軸的意思是:以它為摺痕,圖形會完全重合。例如:想像四邊形 CFDE 是一張紙,以 \overline{FE} 為摺痕對摺時,C點會剛好跟D重疊。這就告訴我們: \angle{C}=\angle{FDE}=40^\circ , 在四邊形 BEFD 中, \angle{FDE}=\angle{BDE}=40^\circ 。因此,\angle{BDE}=\angle{C}=\angle{FDE}=40^\circ 。我們目標是要求 \angle{DFE} 的度數,所以先假設\angle{DFE}=x^\circ 。用剛剛的想法可以得到 \angle{DFE}=\angle{CFE}=\angle{DBE}=x^\circ (如圖)。觀察四邊形 DBCF ,內角和是 360^\circ ,因此 3x+3\times 40^\circ=360^\circ ,解出 x=80^\circ 。選(D)

110會考數學第19題示意圖

20.

已知捷立租車行有甲、乙兩個營業據點,顧客租車後當日須於營業結束前在任意一個據點還車。某日營業結束清點車輛時,發現在甲歸還的自行車比從甲出租的多 4 輛。若當日從甲出租且在甲歸還的自行車為 15 輛,從乙出租且在乙歸還的自行車為 13 輛,則關於當日從甲、乙出租的自行車數量,下列比較何者正確?
(A) 從甲出租的比從乙出租的多 2 輛
(B) 從甲出租的比從乙出租的少 2 輛
(C) 從甲出租的比從乙出租的多 6 輛
(D) 從甲出租的比從乙出租的少 6 輛

(B)

總共有四種可能:
還:15輛
還:x輛
還:13輛
還:y輛
參考右圖,因此:
租共x+15輛
還共y+15輛
由題意可知(y+15)-(x+15)=4,也就是y-x=4
而題目要問租與租的比較,算出

租共x+15輛
租共y+13輛
租-租=(x+15)-(y+13)=x-y+2=-4+2=-2
所以租比租少2輛,選(B)

110會考數學第20題示意圖

21.

如圖(九),四邊形ABCD中, \angle 1\angle 2\angle 3 分別為 \angle A\angle B\angle C 的外角。判斷下列大小關係何者正確?

(A) \angle 1+\angle 3 = \angle ABC+\angle D
(B) \angle 1+\angle 3<\angle ABC+ \angle D
(C) \angle 1+ \angle 2+\angle 3=360^\circ
(D) \angle 1+ \angle 2+\angle 3>360^\circ

110會考數學第21題

(A)

(A) , (B):
連接 \overline{BD} ,因為 \angle ABD+\angle ADB=\angle 1\angle CBD+\angle BDC=\angle 3 (外角定理),所以兩式相加: \angle 1+\angle 3 = \angle ABC+\angle D(B)選(A)
(C) , (D):
設D的外角為 \angle 4 ,因為任意多邊形的外角和360^\circ ,所以 \angle 1+ \angle 2+\angle 3+\angle4=360^\circ ,因此 \angle 1+ \angle 2+\angle 3<360^\circ(C)、(D)
選(A)

110會考數學第21題示意圖

22.

ab 為正整數,且 a\times b=2^5\times 3^2\times 5 ,則下列何者不可能為 ab 的最大公因數?
(A) 1
(B) 6
(C) 8
(D) 12

(C)

題目可以理解為:將 a\times b=2^5\times 3^2\times 5 拆成兩個數相乘,則四個選項中哪個不可能同時為此兩數的因數。
(A)將 a\times b=2^5\times 3^2\times 5拆成 12^5\times 3^2\times 5 就好。
(B)拆成 62^4\times 3\times 5
(D)拆成 122^3\times 3\times 5
我們發現(C)不管怎麼拆,一定有一個沒辦法被整除,像是 82^2\times 3^2\times 5 ,故選(C)


23.

如圖 (十),菱形 ABCD 中, E 點在 \overline{BC} 上,F 點在 \overline{CD}上, G 點、 H 點在 \overline{AD} 上,且 \overline{AE} \mathop{//} \overline{HC} \mathop{//}  \overline{GF}。若 \overline{AH} = 8\overline{HG} = 5\overline{GD} = 4 ,則下列選項中的線段,何者的長度最長?

(A) \overline{CF}
(B) \overline{FD}
(C) \overline{BE}
(D) \overline{EC}

110會考數學第23題

(A)

先計算菱形邊長: \overline{AD}=\overline{AH}+\overline{HG}+\overline{GD}=8+5+4=17 。因為\overline{GF} \mathop{//} \overline{HC}  ,所以 \overline{DF}:\overline{FC}=\overline{DG}:\overline{GH}=4:5 。故
\overline{FC}=17\times\displaystyle\frac{5}{4+5}=\displaystyle\frac{85}{9}
\overline{DF}=17\times\displaystyle\frac{4}{4+5}=\displaystyle\frac{68}{9}
\overline{AE} \mathop{//} \overline{HC}\overline{AH} \mathop{//} \overline{EC} (因為菱形對邊平行),所以四邊形 AECH 為平行四邊形,得到
\overline{EC}=\overline{AH}=8
\overline{BE}=\overline{BC}-\overline{EC}=17-8=9
統整以上,比較 \overline{CF}=\displaystyle\frac{85}{9}\overline{FD}=\displaystyle\frac{68}{9}\overline{BE}=9\overline{EC}=8 ,最長的是\overline{CF}=\displaystyle\frac{85}{9}選(A)

110會考數學第23題示意圖

24.

小文原本計畫使用甲、乙兩臺影印機於 10:00 開始一起印製文件並持續到下午,但 10:00 時有人正在使用乙,於是他先使用甲印製,於 10:05 才開始使用乙一起印製,且到 10:15 時乙印製的總張數與甲相同,到 10:45 時甲、乙印製的總張數合計為 2100 張。若甲、乙的印製張數與印製時間皆成正比,則依照小文原本的計畫,甲、乙印製的總張數會在哪個時間達到 2100 張?
(A) 10:40
(B) 10:41
(C) 10:42
(D) 10:43

(C)

設甲每分鐘印製 x 張,乙每分鐘印製 y 張。則 15x=10y (因為10:15 時乙印製的總張數與甲相同),而且 45x+40y=2100 (因為10:45 時甲、乙印製的總張數合計為 2100 張)
接下來就是解二元一次聯立方程式
\left\{\begin{array}{l}15x=10y\\45x+40y=2100\end{array}\right. ,解出\left\{\begin{array}{l}x=20\\y=30\end{array}\right. 。假設照原本的計畫,需要印 t 分鐘,解 (20+30)t=2100 。因此 t=42 ,即原本計畫10:42會印好。選(C)


25.

如圖(十一), 銳角三角形 ABC 中,D 點在 \overline{BC} 上, \angle B=\angle  BAD=\angle  CAD 。今欲在 \overline{AD} 上找一點 P,使得 \angle APC=\angle  ADB ,以下是甲、乙兩人的作法:
( 甲 ) 作 \overline{AC} 的中垂線交 \overline{AD}P 點,則 P 即為所求
( 乙 ) 以 C 為圓心, \overline{CD} 長為半徑畫弧,交 \overline{AD} 於異於 D 點的一點 P ,則 P 即為所求
對於甲、乙兩人的作法,下列判斷何者正確?
(A) 兩人皆正確
(B) 兩人皆錯誤
(C) 甲正確,乙錯誤
(D) 甲錯誤,乙正確

110會考數學第25題

(A)

當我們找到這個P時,因為 \angle APC=\angle  ADB\angle PAC=\angle  DAB ,所以 \angle PCA=\angle  DBA ,那麼 \triangle PAC 就是一個等腰三角形。(如下圖)

110會考數學第25題示意圖(1)

所以我們只要確定上面兩種做法是否能讓 \triangle PAC 變成一個等腰三角形就好。

(甲):因為中垂線到兩端點等距,所以能確保造出來的 \triangle PAC 是等腰三角形。因此(甲)正確

110會考數學第25題示意圖(2)

(乙):如下圖,因為 \overline{CD} = \overline{CP} (都是半徑),所以 \angle CPD=\angle PAC 。由外角定理可知 \angle DAB+\angle DBA=\angle PDC\angle PAC+\angle PCA=\angle CPD 。又 \overline{CD} = \overline{CP} (都是半徑),所以 \angle DAB+\angle DBA=\angle PDC\angle PAC+\angle PCA=\angle DAB+\angle DBA 。 這樣就能得到 \angle PAC+\angle PCA ,故 \triangle PAC 是等腰三角形。因此(乙)正確


26.

如圖 ( 十二 ), I \triangle ABC 的內心,有一直線通過 I 點且分別與 \overline{AB}\overline{AC} 相交於 D 點 、 E 點。若 \overline{AD}=\overline{DE} =5\overline{AE} = 6 ,則 I 點到 BC 的距離為何?

(A) \frac{24}{11}
(B) \frac{30}{11}
(C) 2
(D) 3

110會考數學第26題

(A)

因為 I \triangle ABC 的內心, I \overline{BC} 的距離就是內切圓半徑。目標要求內切圓半徑,我就先把內切圓畫出來。

110會考數學第26題示意圖(1)

接著我們用不同角度看 \triangle ADE 的面積:
\triangle ADE = \triangle ADI+\triangle AEI
算出面積 =\displaystyle\frac{5\times{r}}{2}+\frac{6\times{r}}{2}=\frac{11r}{2}

110會考數學第26題示意圖(2)

另一方面:
\triangle ADE = \triangle ADI+\triangle AEI
算出面積 =\displaystyle\frac{6\times 4}{2}=12

110會考數學第26題示意圖(3)

因此, \displaystyle\frac{11r}{2}=12 , 即可求得 \displaystyle r=\frac{24}{11} ,選(A)


110會考數學第二部分:非選擇題

1.

碳足跡標籤是一種碳排放量的標示方式,讓大眾了解某一產品或服務所產生的碳排放量多寡,如圖 ( 十三 ) 所示。

碳足跡標籤的數據標示有其規定, 以「碳排放量大於 20公克且不超過 40公克」為例,此範圍內的碳足跡數據標示只有 20、22、24、……、38、40 公克等 11 個偶數;碳足跡數據標示決定於「碳排放量與這 11 個偶數之中的哪一個差距最小」,兩者對應標示的範例如表 ( 二 ) 所示。

請根據上述資訊,回答下列問題,並詳細解釋或完整寫出你的解題過程:
(1) 若有一個產品的碳足跡數據標示為 38 公克,則它可能的碳排放量之最小值與最大值分別為多少公克?
(2) 承 (1),當此產品的碳排放量減少為原本的 90% 時,請求出此產品碳足跡數據標示的所有可能情形。

(1)

標示為38公克,代表碳排放量可能為37~39公克。當排放量比37公克少一點時,就會標示為36公克,當排放量比39大一點時,就會標示為39公克。因此,最小值是37公克、最大值為39公克

(2)

x 為碳排放量,由(1)已知 37\leq x\leq 39 , 當排放量變為原本的 90\% 時,不等式同乘 90\%37\times 90\%\leq x\times 90\%\leq 39\times 90\% ,化簡以後就得到 33.3\leq 0.9x\leq 35.1 。33.3最接近的偶數是 34 , 35.1 最接近的偶數是 36 ,所以標示的可能情形只有 34 或 36 。

此題詳細評分標準請看第一題評分指引,以及滿分範本


2.

凱特平時常用底面為矩形的模具製作蛋糕,並以「平行於模具任一邊」的方式進行橫切或縱切,橫切都是從模具的左邊切割到模具的右邊,縱切都是從模具的上邊切割到模具的下邊。用這種方式,可以切出數個大小完全相同的小塊蛋糕。在切割後,他發現小塊蛋糕接觸模具的地方外皮比較焦脆,以圖 ( 十四 ) 為例, 橫切2 刀, 縱切3 刀, 共計5 刀,切出( 2+ 1 )×( 3+ 1 ) = 12 個小塊蛋糕,其中側面有焦脆的小塊蛋糕共有 10 個,所有側面都不焦脆的小塊蛋糕共有 2 個。

請根據上述切割方式,回答下列問題,並詳細解釋或完整寫出你的解題過程:
(1) 若對一塊蛋糕切了 4 刀,則可切出幾個小塊蛋糕?請寫出任意一種可能的蛋糕塊數即可。
(2) 今凱特根據一場聚餐的需求,打算製作出恰好 60 個所有側面都不焦脆的小塊蛋糕,為了避免勞累並加快出餐速度,在不超過 20 刀的情況下,請問凱特需要切幾刀,才可以達成需求?請寫出所有可能的情形。

(1)

有很多種切法,這裡舉一種就好。縱切2刀,橫切2刀,總共可切出9個小塊蛋糕。

(2)

假設橫切 x 刀,縱切 y 刀,則總共有 (x-1)\times (y-1) 個所有側面都不焦脆的小塊蛋糕。所以解 (x-1)\times (y-1)=60 的所有 xy 的正整數解。
\begin{aligned}60&=1\times 60=60\times 1\\&=2\times 30=30\times 2\\&=3\times 20=20\times 3\\&=4\times 15=15\times 4\\&=5\times 12=12\times 5\\&=6\times 10=10\times 6\end{aligned}

找出所有 x+y 的可能,畫出表格,如下圖。不超過20刀的只有兩種可能,分別是18刀及19刀。

此題詳細評分標準請看第二題評分指引,以及滿分範本

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