學測數學 | 110學測數學詳解 | 110學年度學科能力測驗數學科解析

110學測數學詳解


第壹部分:選擇題(占 6 5 分)

一、單選題(占 3 0 分)

說明:

第1題至第6題,每題有5個選項,其中只有一個是正確或最適當的選項,請劃記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題答對者,得5分;答錯、未作答或劃記多於一個選項者,該題以零分計算。

1.

A=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0& 3\end{bmatrix} 。若 A^4=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} , 則 a+b+c+d 之值為下列哪一個選項?

(1) 158

(2) 162

(3) 166

(4) 170

(5) 174

(2)

直接乘開即可。 A^2=A\times A=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0& 3\end{bmatrix} \times\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0& 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 8\\ 0& 9\end{bmatrix}
A^4=A^2\times A^2=\begin{bmatrix} 1 & 8\\0&9\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} 1 & 8\\ 0& 9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 80\\ 0& 81\end{bmatrix}

a+b+c+d=1+80+0+81=162
故選(2)

2.

五項實數數列 a_1 ,a_2 ,a_3 ,a_4 ,a_5 的每一項都大於 1 ,且每相鄰的兩項中,都有一數是另一數的兩倍。若 a_1=log_{10}{36} ,則 a_5 有多少種可能的值?

(1) 3

(2) 4

(3) 5

(4) 7

(5) 8

(1)

畫出樹狀圖可知, a_5 只有三種可能: 2\log_{10} 68\log_{10} 632\log_{10} 6故選(1)

110學測數學第二題

3.

如圖, \triangle ABC 為銳角三角形, P\triangle ABC外接圓 \Gamma 外的一點,且 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{PB}}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{PC}} 都與圓 \Gamma 相切。設 \angle BPC=\theta ,試問 \cos A 的值為下列哪一個選項?

110學測數學第三題

(1) \sin 2\theta

(2) \dfrac{\sin\theta}{2}

(3) \sin\dfrac{\theta}{2}

(4) \dfrac{\cos\theta}{2}

(5) \cos\dfrac{\theta}{2}



(3)

O 為圓心,連接 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OB}}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OC}} ,如下圖。因為 \angle BOC 為圓心角=兩倍圓周角 =2\angle A 。又 \angle{OBP}=\angle{OCP}=90^\circ (因為 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{PB}}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{PC}} 與圓相切),所以 \theta=\angle{BPC}=180^\circ -2\angle A 。因此 \cos{A}=\cos(\frac{\displaystyle{180^\circ-\theta}}{\displaystyle 2})=\cos(\displaystyle{90^\circ-\frac{\displaystyle\theta}{\displaystyle 2}})=\sin{\displaystyle\frac{\theta}{2}}故選(3)

110學測數學第三題

4.

\overset{\rightharpoonup}{a}\overset{\rightharpoonup}{b} 都 是平面上不為零的向量。若 2\overset{\rightharpoonup}{a} +\overset{\rightharpoonup}{b}\overset{\rightharpoonup}{a} +2\overset{\rightharpoonup}{b} 所張成的三角形面積為 6 ,則 3\overset{\rightharpoonup}{a} +\overset{\rightharpoonup}{b}\overset{\rightharpoonup}{a} +3\overset{\rightharpoonup}{b} 所張成的三角形面積為下列哪一個選項?

(1) 9

(2) 9

(3) 12

(4) 13.5

(5) 16

(2)

解1

因為列消去不會影響行列式值,所以

110學測數學第四題

解2

因為題目的條件只限制 2\overset{\rightharpoonup}{a}+ \overset{\rightharpoonup}{b}\overset{\rightharpoonup}{a} +2\overset{\rightharpoonup}{b}圍出的面積是6 ,不失一般性假設\overset{\rightharpoonup}{a}=(x,0) , \overset{\rightharpoonup}{b}=(0,y) ,則 2\overset{\rightharpoonup}{a} +\overset{\rightharpoonup}{b}=(2x,y), \overset{\rightharpoonup}{a}+ 2\overset{\rightharpoonup}{b}=(x,2y) ,如下圖所示。

110學測數學第四題

接著畫出圖形,因為張成的三角形面積是 6 ,可以用整個長方形面積扣掉三個三角形面積=6,以求出 x, y 之間的關係: (2x\times 2y)-(\displaystyle\frac{1}{2}\times 2xy)-(\displaystyle\frac{1}{2}\times 2xy)-(\displaystyle\frac{1}{2} xy)=6\Rightarrow\displaystyle\frac{3}{2}xy=6 ,故 xy=4

110學測數學第四題

再畫出 3\overset\rightharpoonup{a}+ \overset\rightharpoonup{b}\overset\rightharpoonup{a}+ 3\overset\rightharpoonup{b} 的圖形,然後用長方形扣掉三個三角形的面積,就能算出答案。所求 =(3x\times 3y)-(\displaystyle\frac{1}{2}\times 3xy)-(\displaystyle\frac{1}{2}\times 3xy)-(\displaystyle\frac{1}{2}\times 2x\times 2y) =4xy=4\times 4=16故選(5)

5.

f(x) 為實係數三次多項式函數,滿足 (x+1)f(x) 除以 x^3+2 的餘式為 x+2 。若 f(0)=4 ,則 f(2) 的值為下列哪一個選項?

(1) 8

(2) 10

(3) 15

(4) 18

(5) 20

(4)

因為被除式四次多項式除式三次多項式,所以應為一次多項式
假設 (x+1)f(x)=(ax+b)(x^3+2)+x+2
看到題目有給 f(0) 的值,所以嘗試把 x=0 代進去:
f(0)=2b+2\Rightarrow 4=2b+2\Rightarrow {b=1}
還有一個未知數沒解出來,但是題目條件已經用完了,怎麼辦呢?觀察在左式的地方有一個 (x+1)如果把 x=-1 代進去的話,左式 =0 ,就能解出 a
x=-1 代入 \Rightarrow 0=-a+1+1\Rightarrow a=2 帶回原式中 \Rightarrow (x+1)f(x)=(2x+1)(x^3+2)+x+2 。最後,題目要求 f(2) 的值,所以把 x=2 代入 \Rightarrow 3f(2)=5(10)+2+2=54\Rightarrow f(2)=18
故選(4)

6.

坐標平面上有一邊長為3的正六邊形ABCDEF,其中 A(3,0), D(-3,0) 。試問橢圓 \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1 與正六邊形ABCDEF有多少個交點?

(1) 0

(2) 2

(3) 4

(4) 6

(5) 8

(5)

110學測數學第六題
110學測數學第六題

橢圓 a=4b=\sqrt{7}c=\sqrt{16-7}=3 \Rightarrow 由此可知:AD為橢圓焦點。所以B點到兩焦點距離和 =\overline{BA}+\overline{BD}=3+3\sqrt{3}>2a=8 。因此,B在橢圓外部,以此類推可得 BCEF 在橢圓外部。

又正六邊形最高只會到 \displaystyle 3\times \sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2},然而橢圓最高會到 b=\displaystyle\sqrt{7}>\frac{3\sqrt{3}}{2} ,所以橢圓在y軸的高度會比正六邊形高

最後畫出圖形,共有八個交點,故選(5)

二、多選題(占35分)

說明:

第 7 題至第 13 題,每題有 5 個選項,其中至少有一個是正確的選項,請將正確選項劃記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題之選項獨立判定,所有選項均答對者,得 5 分;答錯 1 個選項者,得 3 分;答錯 2 個選項者,得 1 分;答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者,該題以零分計算。

7.

心理學家找了1000位受試者進行暗室實驗,每位受試者都要觀看及辨識6、8、 9 三 張數字卡,發現將實際數字看成某個數字的機率如下表:

110學測數學第七題

例如:實際數字6被看成6、8、9的機率分別為0.4、0.3、0.2,而被看成其他數字的機率是0.1。根據上述實驗結果,試選出正確的選項。

(1) 如果實際數字是8,則至少有一半的可能性會被看成是8
(2) 如果實際數字是6,則有六成的可能性會被看成不是6
(3) 在6、 8、 9三數字中,被誤認的可能性以9最低
(4) 如果被看成的數字是6,則實際上就是6的可能性不到一半
(5) 如果被看成的數字是9,則實際上就是9的可能性超過 \dfrac{2}{3}

(2)(3)(4)

(1)

實際數字 8 被看成 8 的機率應為 0.4<0.5

(2)

實際數字 6 被看成 6 的機率是 0.4 ,故實際數字被看成不是 6 的機率為 1-0.4=0.6 ,即題目所寫的六成 ✔

(3)

6 被誤認的機率: 0.68 被誤認的機率: 0.69 被誤認的機率: 0.5 所以在 689 當中,被誤認的可能性以 9 最低 ✔

(4)

\displaystyle\frac{0.4}{0.4+0.3+0.2}=\frac{4}{9}<\frac{1}{2},正確 ✔

(5)

\dfrac{0.5}{0.2+0.1+0.5}=\displaystyle\frac{5}{8}<\frac{2}{3},錯誤❌

8.

如圖, L 為坐標平面上通過原點 O的直線, \Gamma 是以 O為圓心的圓,且 L\Gamma 有一個交點 A(3,4) 。已知 B, C\Gamma 上的相異兩點滿足 \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA} 。試選出正確的選項。

(1) L\Gamma 的另一個交點為 (-4,-3)
(2) 直線 BC 的斜率為 \dfrac{3}{4}
(3) \angle AOC=60^\circ
(4) \triangle ABC 的面積為 \dfrac{25\sqrt{3}}{2}
(5) BC 在同一象限內

110學測數學第八題

(3)(5)

(1)

A 點以原點做對稱,可得 (-3-4)

(2)

直線 BC 斜率 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OA}} 斜率 =\displaystyle\frac{0-(-4)}{0-(-3)}=\dfrac{4}{3}

(3)

因為 |\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{BC}|\overrightarrow{OA}\mathop{//}\overrightarrow{BC} ,所以 OACB 為平行四邊形,又 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OA}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OB}} ,所以 OACB 為菱形。因此, \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OA}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OC}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}} ,所以\angle{AOC}=60^\circ

(4)

因為 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}=5\angle{ACB}=120^\circ 。所以 \triangle{ABC} 面積 =\dfrac{1}{2}\times 5\times{5}\times{\sin{120^\circ}}=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}

(5)

顯然,C會有兩種可能性。設 A 的主幅角為 \theta ,因為 \tan{\theta}=\dfrac{4}{3} ,所以 \theta 約為 53^{\circ} 。因此, C 可能在第二象限(約 113^\circ) 或第四象限(約 -7^\circ )。
C第二象限時, B 的幅角約為 173^\circ亦為第二象限
C第四象限時, B 的幅角約為 -67^\circ亦為第四象限
BC 會在同一象限 ✔

(註:若已知一側B、C會在同象限後,也可直接以「對稱原點」得知另一側的B、C亦會在同象限)

110學測數學第八題

9.

某村的村長選舉設有兩個投票所。已知兩位候選人在各投票所得到的有效票數比例如下表(廢票不列入計算):

110學測數學第九題

假設第一投票所與第二投票所的有效票數分別為 xy (其中
x>0y>0 ),且以總得票數較高者為當選人。根據上述表格,試選出正確的選項。

(1) 當有效票數的總和 x+y 已知時,就可決定當選人
(2) 當 x:y 的比值小於 $latex \dfrac{1}{2}時,就可決定當選人
(3) 當 x>y 時,就可決定當選人

(4) 當甲候選人在第一投票所的有效票數比在第二投票所的有效票數多時,就可決定當選人
(5) 當乙候選人在第二投票所的有效票數比在第一投票所的有效票數多時,就可決定當選人

(2)(3)(4)

依題意可知,甲候選人總共得到 0.4x+0.55y 張選票,乙候選人總共得到 0.6x+0.45y 張選票。
0.4x+0.55y>0.6x+0.45y 時,即 y>2x 時,甲當選。
0.4x+0.55y<0.6x+0.45y 時,即 y<2x 時,乙當選。
因此,一旦確定是 y>2x 還是 y<2x 就可決定當選人

(1)

只知道 x+y 的值並不能確定 y2x 之間的大小關係。也就是說,有可能 y>2x,也有可能 x>2y

(2)

因為 \displaystyle\frac{x}{y}<\frac{1}{2} 而且 x, y 為正,所以 2x<y ,可以確定甲候選人當選 ✔

(3)

知道 x>y ,那麼 2x 也必定大於 y 。所以可以確定乙候選人當選 ✔

(4)

0.4x>0.55y 時,即 \displaystyle\frac{8}{11}x>y 時, 2x>y 也必定成立,所以可以確定乙候選人當選 ✔

(5)

0.45y>0.6x 時,即 y>\displaystyle\frac{4}{3}x 時,無法確定 2x>y 還是 y>2x (即兩種狀況皆有可能發生),因此無法決定當選人 ❌

10.

\triangle ABC 中,已經知道 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}=4\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}=6 ,此時尚不足以確定 \triangle ABC的形狀與大小。但是,只要再知道某些條件(例如:再知道 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}} 的長度),就可確定 \triangle ABC 唯一的形狀與大小。試選出正確的選項。

(1) 如果再知道 \cos A 的值,就可確定 \triangle ABC 唯一的形狀與大小
(2) 如果再知道 \cos B 的值,就可確定 \triangle ABC 唯一的形狀與大小
(3) 如果再知道 \cos C 的值,就可確定 \triangle ABC 唯一的形狀與大小
(4) 如果再知道 \triangle ABC 的面積,就可確定 \triangle ABC 唯一的形狀與大小
(5) 如果再知道 \triangle ABC 的外接圓半徑,就可確定 \triangle ABC 唯一的形狀與大小

(1)(2)

解題關鍵1:由於三角形內角都介於 0^\circ180^\circ 之間,所以一旦確定某個角的 \cos 值,就能確定此角的角度。但是確定某個角的 \sin 值,此角會有兩種可能:銳角與鈍角。
解題關鍵2:因為 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}>\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}} ,所以 \angle{B}>\angle{C} 。而且一個三角形至多一個角 \geq 90^\circ因此 \angle{C} 必為銳角。所以只要知道 \sin{C}\cos{C} ,就能確定 \angle{C}
解題關鍵3:只要能確定SAS(即確定兩邊與其夾角),整個三角形的形狀與大小就能確定。反之,若夾角的可能有兩種,則三角形的形狀與大小就不唯一。

(1)

知道 \cos A 的值,就能確定 \angle{A} (解題關鍵1),因此可以確定 \triangle{ABC} 唯一的形狀與大小(解題關鍵3)

(2)

知道 \cos B 的值,就能確定 \angle{B} (解題關鍵1),也能知道 \sin{B} ,再藉由正弦定理: \dfrac{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}}{\sin{B}}=\frac{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}}{\sin{C}} 可求出唯一的\sin{C}。知道 \sin{C} 後,就能確定唯一的 \angle{C} (解題關鍵2)。確定唯一的 \angle{B}\angle{C} ,那麼 \angle{A} 也會唯一。因此可以確定\triangle{ABC} 唯一的形狀與大小 ✔

(3)

知道 \cos{C} 的值,就能確定 \angle{C} (解題關鍵1),也能知道 \sin{C} ,再藉由正弦定理: \dfrac{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}}{\sin{B}}=\dfrac{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}}{\sin{C}} ,可求出 \sin{B} ,但是 \angle{B} 會有兩種可能:鈍角或銳角。因此 \angle{A} 也有兩種可能。所以 \triangle{ABC} 形狀與大小不唯一(解題關鍵3)

(4)

因為 \triangle{ABC} 面積 =\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \sin{A} ,所以知道面積,就能確定 \sin{A} 但是 \angle{A} 有兩種可能:鈍角或銳角。所以 \triangle{ABC} 形狀與大小不唯一(解題關鍵3)

(5)

知道 \triangle{ABC} 的外接圓半徑,由正弦定理: \displaystyle\frac{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}}{\sin{B}}=\frac{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}}{\sin{C}}=2R 就能知道唯一的 \sin{B}\sin{C} 。此時 \angle{B} 有兩種可能(解題關鍵1)\angle{C} 只有一種可能 (解題關鍵2)。因此 \angle{A} 也有兩種可能。所以 \triangle{ABC} 形狀與大小不唯一❌

11.

平面上有一梯形 ABCD ,其上底 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}=10 、下底 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CD}}=15 ,且腰長 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}+1 。試選出正確的選項。
(1) \angle A>\angle B
(2) \angle B+\angle D<180^\circ
(3) \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}<0
(4) \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}} 的長可能是 2
(5) \overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD}<30

(1)(2)(5)

(1)

做平行線 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BE}}\mathop{//}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}} ,因為 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BE}}>\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}} ,所以 \angle{C}>\angle{BEC} ,因此 \angle{C}>\angle{D} 。又 \angle{A}\angle{D} 互補, \angle{B}\angle{C} 互補,所以 \angle{A}>\angle{B}

(2)

由(1),因為 \angle{A}>\angle{B} ,所以 \angle{B}+\angle{D}<\angle{A}+\angle{D}=180^\circ

110學測數學第11題

(3)

因為內積的正負取決於角度是銳角還是鈍角,所以這題我們要判斷 \angle ABC 是不是只會是鈍角,還是有可能是銳角。而檢查銳角或鈍角最簡單的方法就是看角度 \cos 值的正負。如上圖,觀察 \angle BCE\angle ABC 互補(內錯角),因此 \cos\angle ABC= \cos(180^\circ-\angle BCE)=-\cos\angle BCE ,利用餘弦定理 \cos\angle BCE=\dfrac{5^2+x^2-(x+1)^2}{2\times 5\times x}=\dfrac{24-2x}{10x} ,故 \cos\angle ABC=-\dfrac{24-2x}{10x}=\dfrac{2x-24}{10x} 。這個值並不是恆負的,例如: x=13 時, \angle ABC 為銳角。參考下圖。 ❌

110學測數學第11題

(4)

觀察 \triangle{BCE} ,三角形兩邊和大於第三邊,所以 x+(x+1)>5\Rightarrow x>2 ,因此 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}} 不可能是 2

(5)

\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CD} =|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CD}|\cos{\angle{BCE}} =x\cdot 15\cdot \dfrac{5^2+x^2-(x+1)^2}{2\cdot 5\cdot x} =36-3x ,又 x>2\Rightarrow-3x<-6 ,故 \overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CD}=36-3x<30

12.

P(X) 表示事件 X 發生的機率,而 P(X|Y) 表示在事件 Y 發生的條件下,事件 X 發生的機率。今有2顆黑球、2顆白球、3 顆紅球共7顆大小相同的球排成一列。設事件A為2顆黑球相鄰的事件,事件B為2顆黑球不相鄰的事件,而事件C為任2顆紅球都不相鄰的事件。試選出正確的選項。
(1) P(A)>P(B)
(2) P(C)>\dfrac{2}{7}
(3) 2P(C|A)+5P(C|B)<2
(4) P(C|A)>0.2
(5) P(C|A)>0.3

(2)(5)

(1)

先把七顆球視為相異物(通常算機率時視為相異物比較保險),算出樣本點個數 =7! ,而兩顆黑球相鄰的排法有2!\times{6!}種(把黑球綁在一起)。故 \displaystyle P(A)=\frac{2!\times{6!}}{7!}=\frac{2}{7} 。又A與B互為餘事件(黑球不是相鄰就是分開),故 \displaystyle P(B)=1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7} 。所以 P(A)<P(B)

(2)

先把紅球以外的球先排好,再把紅球插進去(五個間隔,插入三個),則排法共有 4!\times{P^5_3} 種(也可用 4!\times{C^5_3}\times 3! 計算)。故\displaystyle P(C)=\frac{4!\times{P^5_3}}{7!}=\dfrac{2}{7}

(3)

因為 \displaystyle 2P(C|A)+5P(C|B)=\frac{2P(C\cap A)}{P(A)}+\frac{5P(C\cap B)}{P(B)} ,又因為 P(C\cap A)+P(C\cap B)=P(C) ,而 P(C) 已知。所以只要計算P(C\cap A),就能算出 $P(C\cap B)$ 。要算黑球相鄰且任兩紅球不相臨的排法數,就先把黑球綁在一起排列,再跟白球排列,最後把紅球插進去就好(要記得排列)。所以
\displaystyle P(C\cap A)\frac{2!\times 3!\times P^4_3}{7!}=\frac{2}{35}\displaystyle P(C\cap B)=P(C)-P(C\cap A)=\frac{2}{7}-\frac{2}{35}=\frac{8}{35}
2P(C|A)+5P(C|B) =\displaystyle\frac{2P(C\cap A)}{P(A)}+\frac{5P(C\cap B)}{P(B)}=\frac{2\times{\displaystyle\frac{2}{35}}}{\displaystyle\frac{2}{7}}+\frac{5\times{\displaystyle\frac{8}{35}}}{\displaystyle\frac{5}{7}} =2\nless 2

(4)

\displaystyle 2P(C|A)=\frac{P(C\cap A)}{P(A)}=\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{2}{35}}}{\displaystyle\frac{2}{7}}=0.2\ngtr0.2

(5)

\displaystyle P(C|B)=\frac{P(C\cap B)}{P(B)}=\frac{\displaystyle{\frac{8}{35}}}{\displaystyle\frac{5}{7}}0.32>0.3

13.

設多項式函數 f(x)=x^3+ax^2 +bx+c ,其中 a, b, c 均為有理數。試選出正確的選項。
(1) 函數 y=f(x) 與拋物線 y=x^2+100 的圖形可能沒有交點
(2) 若 f(0)f(1)<0<f(1)f(2) ,則方程式 f(x)=0 必有三個相異實根
(3) 若 1+3i 是方程式 f(x)=0 的複數根, 則方程式有一個有理根
(4) 存在有理數 a, b, c 使得 f(1), f(2), f(3), f(4) 依序形成等差數列
(5) 存在有理數 a, b, c 使得 f(1), f(2), f(3), f(4) 依序形成等比數列

(2)(3)(5)

(1)

兩函數的聯立解,就是兩函數圖形的交點所以解方程式x^3+ax^2+bx+c=x^2+100,就能知道圖形有沒有交點。將其整理成 x^3+(a-1)x^2+bx+(c-100)=0 之後,發現其為三次實係數多項式。因為實係數方程式虛根必成對,所以此方程式必定有一解,也就是兩函數圖形必定有交點。 ❌

(2)

因為 f(0)f(1)<0 ,由勘根定理可知:在 0<x<1 的範圍內,必定存在奇數個實根(可能1個或3個)——-(1)
又因為 f(0)f(2)>0 ,由勘根定理可知:在 0<x<2 的範圍內,存在偶數個實根(可能0個或2個)——-(2)
綜合以上,在 0<x<1 的範圍內有1個實根,在 1<x<2 的範圍內有1個實根,但是虛根成對定理告訴我們:實係數方程式的虛根必成對,不會單獨存在。所以一定還有一個實根在別的地方,於是 f(x)=0 必定有三個相異實根。 ✔

(3)

由虛根成對定理可知: 1-3i 也是此方程式的根,所以 [x-(1+3i)][x-(1-3i)]=x^2-2x+10f(x) 的因式。設 f(x)=(x^2-2x+10)(x-t) ,因為常數項是 -10t 為有理數,所以 t 也是有理數。因此 f(x) 必有一個有理根 t

(4)

f(1), f(2), f(3), f(4) 成等差數列時, (1,f(1)),(2,f(2)),(3,f(3)),(4,f(4)) 會在某條直線上(也會在 f(x) 上),舉例來說, (1,1)(2,2)(3,3)(4,4) 都會在 y=x 上。但是三次函數與直線最多只會交於三點(一元三次方程式最多三個根)。所以不存在一個三次函數可以使得 f(1),f(2),f(3),f(4) 成等差數列。 ❌

(5)

f(1),f(2),f(3),f(4) 成等比數列時, (1,f(1)), (2,f(2)), (3,f(3)), (4,f(4)) 會在某個指數函數上(也會在 f(x) 上)想想看指數函數與三次函數有沒有可能交於四點?因為指數函數到後面會衝很快(如下圖),所以應該是有可能的。

110學測數學第13題

假設 (1,1), (2,2), (3,4), (4,8) 通過 g(x)={t_1}x^3+{t_2}x^2+{t_3}x+{t_4} 解出 g(x)=\displaystyle\frac{1}{6}x^3-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+\displaystyle\frac{4}{3}x ,但是我們希望最高次方係數是1,所以取 f(x)=6g(x) ,可得 f(x)=x^3-3x^2+8x ,而這時 f(1)=6, f(2)=12, f(3)=24, f(4)=48 仍成等比數列,所以存在有理數 a,b,c 使得 f(1),f(2),f(3),f(4) 依序形成等比數列 ✔

第貳部分:選填題(占35分)

說明:

1.第A至G題,將答案劃記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(14 – 32)2.每題完全答對給 5 分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。

A.

某機器貓從數線上原點位置朝數線的正向移動,其移動方式如下:以8秒為一週期,每一週期先以每秒4單位長等速度移動6秒,再休息2秒。如此繼續下去,則此機器貓在開始移動後 ⑭⑮ 秒會抵達數線上坐標為116的位置。

一個週期 6+2=8 秒,移動了 4\times 6=24 單位。則4個週期(32秒)後就移動了 24\times 4=96 單位。因為96到116還差20單位,還需要 \frac{20}{4}=5 秒,所以 32+5= 37 秒。

B.

坐標空間中有兩條直線 L_1, L_2 與一平面E,其中直線 L_1:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{-3}=\dfrac{z}{-5} ,而 L_2 的參數式為 \left\{\begin{array}{c}x=1\\y=1+2t\\z=1+3t\end{array}\right. ( t 為實數)。若 L_1 落在E上,且 L_2 與E不相交,則E的方程式為 x-y+z=

由於題目要求平面方程式,所以只要能找到平面E的法向量,這題就能解決。
如下圖,因為直線 L_1 在平面 E 上,所以 L_1 會垂直平面 E 的法向量。因為直線 L_2 與平面 E 不相交,所以 L_2 也會垂直平面 E 的法向量。
因此,只要將兩直線的方向向量做外積,便能找到兩方向向量的公垂向量,而此公垂向量即為平面的法向量
故平面E的法向量: (2,-3,-5)\times (0,2,3) =\left(\begin{vmatrix}-3 & -5\\2&3\end{vmatrix}\underset{,}{}\begin{vmatrix}-5 & 2\\3&0\end{vmatrix}\underset{,}{}\begin{vmatrix}2 & -3\\0&2\end{vmatrix}\right)=(1,-6,4) 。由平面法向量可設平面方程式為 E: x-6y+4z=k ,接著把 k 解出來。因為 L_1 在平面 E 上,所以取 L_1 上任一點 (0,0,0) 代入 E 可得 k=0 因此 E 的方程式為 x-6y+4z=0

110學測數學選填B

C.

從1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數中任意取出三個相異的數,每數被取出的機率皆相等,則三數乘積是一完全平方數的機率為 \dfrac{(19)}{(20)(21)} 。(化成最簡分數)

先算出樣本空間個數: C^9_3=84 個。乘積為完全平方數的可能: (1,2,8)(1,4,9)(2,3,6)(2,4,8)(2,8,9)(3,6,8)6 種可能。故機率為 \displaystyle\frac{6}{84}=\frac{1}{14}

D.

在坐標平面上, \Gamma 是邊長為4的正方形,其中心位在點(1,1),且各邊與坐標軸平行。已知函數 y=a\times 2^x 的圖形與 \Gamma 相交,其中a為實數, 則a的最大可能範圍為 (22)(23)≤a≤(24)

先畫出正方形的位置,如下圖。
aa 的值越大時,增長越快(如下圖所示)。所以通過正方形左上角的點 (-1,3) 時的 a 最大。代入可得 a=6

110學測數學選填D

aa 的值負得越多( a 越小)時,向下增長越快(如下圖所示)。所以通過正方形左下角的點 (-1,-1) 時的 a 最小,代入得 a=-2

110學測數學選填D

因此, a 最大為 6 ,最小為 -2 ,故 -2\leq a\leq 6

E.

(\sqrt[3]{49})^{100} 寫成科學記號 (\sqrt[3]{49})^{100} = a\times 10^n ,其中 1\leq a<10 ,且n為正整數。若a的整數部分為m,則數對 (m ,n) = ((25) , (26)(27))

因為 {\displaystyle\sqrt[3]{49}}^{100}=7^{\textstyle\frac{100}{3}}=\displaystyle {a\times 10^n} ,所以在 7^{\textstyle\frac{100}{3}}=a\times 10^n 兩邊同取 \log 可得 \displaystyle\frac{200}{3}\log{7}=n+\log{a}
由參考公式可知 \log{7}\fallingdotseq 0.8451 ,因此 n+\log{a}\approx 56.34
很容易可以知道 n 是56,而我們只要找到 a 介於哪兩個整數之間,就能知道它的整數部分了。
因為 \log{2}=0.3010<0.34<0.4771=\log{3} ,所以 \log{2}<\log{a}<\log{3} ,由此可知 a=2.XXXX ,因此 a 的整數部分為 2 。故 (m,n)=(2,56)

F.

如圖,機器人在地面上從一點P出發,按照以下規則移動:先朝某方向前進一公尺後,依前進方向逆時針旋轉45°;朝新方向前進一公尺後,依前進方向順時針旋轉90°;再朝新方向前進一公尺後,依前進方向逆時針旋轉45°;再朝新方向前進一公尺後,依前進方向順時針旋轉90°,……,以此類推。已知機器人移動的路徑會形成一個封閉區域,則此封閉區域的面積為 (28)+(29)\sqrt{(30)} 平方公尺。( 化成最簡根式)

110學測數學選填F

把移動路徑畫成圖形,會長得像下圖這樣。其實從題目給得圖就可以知道:第一次轉90°之後(紅色圓圈處),會從原本的往右變成往下,所以四次之後,就會回到原點
畫出的圖形是由一個邊長為 2+\sqrt{2} 的正方形與四個兩股為1的等腰直角三角形組成。參考下圖,則此區域面積為 (2+\sqrt{2})^2+4\times\dfrac{1}{2}\times{1}^2=8+4\sqrt{2}

110學測數學選填F

G.

在四面體ABCD中, \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}=4\sqrt{6}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BD}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CD}}=8 ,且 \cos\angle BAC =\dfrac{1}{3},則點D到平面ABC的距離為 (31)\sqrt{(32)} 。(化成最簡根式)

先把圖形畫出,觀察 \triangle ABC ,使用餘弦定理\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}=(4\sqrt{6})^2+(4\sqrt{6})^2-2\times 4\sqrt{6}\times 4\sqrt{6}\times\cos\angle BAC ,算出\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}=8\sqrt{2} ,如下圖。

110學測數學選填G

觀察 \triangle{BDC} ,可以發現其為等腰直角三角形,又因為\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}} ,所以如果把 A 點投影到 BCD 平面上,則此點(下圖的 E 點)到 B, C, D 的距離會相等(即為 \triangle{BCD} 的外心)

(因為畢氏定理:\sqrt{\left.\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}\right.^2-\left.\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AE}}\right.^2}=\sqrt{\left.\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}\right.^2-\left.\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AE}}\right.^2}=\sqrt{\left.\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}\right.^2-\left.\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AE}}\right.^2} ,代表E點到三頂點等距離。)

110學測數學選填G

又直角三角形的外心在斜邊中點上,所以可知:
四面體體積
=\displaystyle\frac{1}{3}\times 底面積 \times
=\displaystyle\frac{1}{3}\times\triangle{BCD} 面積 \times\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AE}}
=\displaystyle\frac{1}{3}\times 32\times 8
=\displaystyle\frac{256}{3}
=\displaystyle\frac{1}{3}\times\triangle{ABC} 面積 \times D到平面ABC的距離
={\displaystyle\frac{32\sqrt{2}}{3}}\times D到平面ABC的距離
因此, D到平面ABC的距離 =\displaystyle\frac{256}{3}\times \frac{3}{32\sqrt{2}}=4\sqrt{2}


資料來源:大考中心

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