109會考數學詳解｜109國中教育會考數學詳解

109會考數學第一部分

109會考數學第二部分

109會考數學第一部分：選擇題 (1 ~ 26 題)

已知 $a = ( -12 ) \times ( -23 ) \times ( -34 ) \times ( -45 )$，$b = ( -123 ) \times ( -234 ) \times ( -345 )$，判斷下列敘述何者正確？
(A) a、b 皆為正數
(B) a、 b 皆為負數
(C) a 為正數， b 為負數
(D) a 為負數， b 為正數

(C)

此題僅問 a、b 的正負號，不需要將結果算出。
a 有4個負號，所以是正數，
b有3個負號，所以是負數。
故選(C)

算式 $2^3 \times 5^3\ $之值為何？
(A) 30
(B) 90
(C) 1000
(D) 1000000

(C)

$2^3\times5^3=(2\times 5)^3=10^3=1000$。故選(C)

小真煮好了 25 顆湯圓，其中 15 顆為芝麻湯圓，10 顆為花生湯圓。已知小真想從煮好的湯圓中撈一顆，若每顆湯圓被小真撈到的機會相等，則他撈到花生湯圓的機率為何？

(A) $\displaystyle\frac{1}{2}$
(B) $\displaystyle\frac{2}{3}$
(C) $\displaystyle\frac{2}{5}$
(D) $\displaystyle\frac{1}{2}$

(C)

撈到花生湯圓的機率 $=\displaystyle\frac{花生湯圓顆數}{湯圓總顆數}$$=\displaystyle\frac{10}{25}$$=\displaystyle\frac{2}{5}$

故選(C)

算式 $\sqrt{2} \times ( \sqrt{48}- \sqrt{12} )$ 之值為何？
(A) $6\sqrt{2}$
(B) $2 \sqrt{6}$
(C) $2 \sqrt{21}$
(D) $4\sqrt{ 6} − 2\sqrt{3}$

(B)

$\begin{aligned}\sqrt{2} \times ( \sqrt{48}- \sqrt{12} )&=\sqrt{2} \times ( \sqrt{2^4\times 3}- \sqrt{2^2\times3} )\\&=\sqrt{2} \times(4\sqrt{3}-2\sqrt{3})\\&=\sqrt{2} \times 2\sqrt{3}\\&=2\sqrt{6}\end{aligned}$

選(B)

如圖 ( 一 )，平行四邊形 ABCD 中，∠A = 100°。若 ∠ABD：∠DBC= 3 ： 2，則 ∠DBC 的度數為何？
(A) 32
(B) 40
(C) 48
(D) 60

(A)

因為 $ABCD$ 為平行四邊形，所以 $\angle A+\angle B=180^\circ$ 。故 $\angle B = 180^\circ-\angle A=180^\circ -100^\circ=80^\circ$ 。因此， $\angle DBC=80^\circ\times \dfrac{2}{2+3}=32^\circ$ ，故選(A)

圖 ( 二 ) 數線上的 A、 B、 C 三點所表示的數分別為 a、 b、 c，且原點為 O。根據圖中各點位置，判斷下列四個式子的值何者最大？
(A) |a| + |b|
(B) |a| + |c|
(C) |a − c|
(D) |b − c|

(A)

偷吃步方法：設 $a=1$ ， $b=-5$ ， $c=-4$ ，分別把四個選項答案算出來，分別是 6、5、5、1 ，故選(A)

觀念方法：把四個選項都用距離的方法寫出：
(A) $|a| + |b| = \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OA}}+\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OB}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$
(B) $|a| + |c| = \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OA}}+\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OC}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$
(C) $|a-c| = \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$
(D) $|b-c| = \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$
因為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 最長，故選(A)

計算 $2x^2 – 3$ 除以 $x + 1$ 後，得商式和餘式分別為何？
(A) 商式為 $2$，餘式為 $5$
(B) 商式為 $2 x – 5$，餘式為 $5$
(C) 商式為 $2 x + 2$，餘式為 $-1$
(D) 商式為 $2 x – 2$，餘式為 $-1$

(D)

利用長除法(如圖)，商式為 $2x-2$ ，餘式為 $-1$ ，故選(D)

計算 2 x2 − 3 除以 x + 1 後，得商式和餘式分別為何？
(A) 商式為 2，餘式為 −5
(B) 商式為 2 x − 5，餘式為 5
(C) 商式為 2 x + 2，餘式為 −1
(D) 商式為 2 x − 2，餘式為 −1

下列何者可表示成兩個質數的乘積？
(A) 81
(B) 82
(C) 83
(D) 84

(B)

將四個選項進行質因數分解，答案就出來了
(A) $81=3^4$
(B) $82=2\times 41$
(C) $83$ 為質數
(D) $84=2^2\times 3\times 7 $
故選(B)

已知小薇住家的西方 100 公尺處為車站，住家的北方 200 公尺處為學校，且從學校往東方走 100 公尺，再往南方走 400 公尺可到達公園。若小薇將住家、車站、學校分別標示在坐標平面上的 ( 2 , 0 )、 ( 0 , 0 )、 ( 2 , 4 ) 三點，則公園應標示在此坐標平面上的哪一點？
(A) ( 4 , −4 )
(B) ( 4 , 12 )
(C) ( 0 , −4 )
(D) ( 0 , 12 )

(B)

由題意可知，100公尺相當於座標平面的2單位，且東方為x軸正向、南方為y軸負向。故從學校 $(2,4)$ 向東走100公尺(即x座標+2)，向南走400公尺(即y座標-8)。所以公園座標為 $(2+2,4-8)=(4,-4)$

10.

若一元二次方程式 $5(x -4 )^2 = 125$ 的解為 $a$、 $b$ ，且 $a>b$ ，則 $2a+b$ 之值為何？
(A) −7
(B) −1
(C) 11
(D) 17

(D)

因為題目給的方程式已經式配方法的形式了，接著直接解出 $x$ 就好。
$\begin{aligned}5(x -4 )^2 = 125 &\Rightarrow (x -4 )^2 = 25\\ &\Rightarrow(x -4 ) = \pm5\\ &\Rightarrow x=-1 \mbox{ or } 9 \end{aligned}$
故$a=9,\ b=-1$ ，因此 $2a+b=18-1=17$ ，選(D)

11.

圖 ( 三 ) 的坐標平面上有 A 、 B 、 C 、 D 四點，其中恰有三點在函數 $y = px + q$ 的圖形上，且 p 、 q 為兩數。根據圖中四點的位置，判斷下列哪一點不在函數 $y = px + q$ 的圖形上？
(A) A
(B) B
(C) C
(D) D

(B)

有三點在 $y = px + q$ 上，代表只要找到哪三點在同一條直線上，剩下那點就是答案。很容易發現有一條直線可以同時通過 A、C、D (如圖)。故選(B)

12.

圖 ( 四 ) 表示平面上 A 、 B 兩點與直線 L 的位置關係，其中 B 點在 L 上。若有一動點 P 從 A 點開始移動，移動過程中與 B 點的距離保持不變，則下列關於 P 點移動路徑的敘述，何者正確？
(A) 在與直線 L 平行且通過 A 點的直線上
(B) 在與直線 L 垂直且通過 A 點的直線上
(C) 在以 B 點為圓心且通過 A 點的圓上
(D) 在以 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 為直徑的圓上

(A)

一動點與B保持距離不變，則此動點的路徑是一個圓。要注意： $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 是此圓半徑，不是直徑。故選(C)

13.

圖 ( 五 ) 為甲班 36 名學生參加投籃測驗的投進球數長條圖。判斷甲班學生中，有多少人的投進球數小於該班學生投進球數的中位數？
(A) 10
(B) 14
(C) 17
(D) 18

(B)

首先先找進球數的中位數，班上共有36人，也就是求第18、19人進球數的平均。
0球：2人，累積2人
1球：3人，累積5人
2球：5人，累積10人
3球：4人，累積14人
4球：6人，累積20人
所以第18、19人進球數都是4球，因此中位數為4球。
接下來就看有多少學生進球數少於4球，也就是0、1、2、3球的人數和=14人。故選(B)

14.

圖 ( 六 ) 為朵朵披薩屋的公告。若一個夏威夷披薩
調漲前的售價為x元，則會員購買一個夏威夷披薩
的花費，公告前後相差多少元？
(A) 0.05x
(B) 0.09x
(C) 0.14x
(D) 0.15x

(C)

調漲前原價： $x$ 元
調漲後原價： $1.1x$ 元
調漲前會員價： $x\times 0.85$ 元
調漲後會員價： $1.1x\times 0.9$ 元
故公告前後會員價格差為 $1.1x\times 0.9 -x\times 0.85=0.99x-0.85x=0.14x$ ，故選(C)

15.

平行四邊形 ABCD 中， E 點在 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$ 上， P 、 Q 兩點在 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}$ 上，其位置如圖 ( 七 ) 所示。若 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{PB}}$ 與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AE}}$ 相交於 R 點， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{QB}}$ 與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AE}}$ 相交於 S 點，則下列三角形面積的大小關係，何者正確？
(A) ∆ PBE > ∆ QBE ， ∆ PRE > ∆ QSE
(B) ∆ PBE < ∆ QBE ， ∆ PRE < ∆ QSE
(C) ∆ PBE = ∆ QBE ， ∆ PRE > ∆ QSE
(D) ∆ PBE = ∆ QBE ， ∆ PRE < ∆ QSE

平行四邊形 ABCD 中， E 點在 BC 上， P 、 Q 兩點在 AD 上，其位置如
圖 ( 七 ) 所示。若 PB 與 AE 相交於 R 點， QB 與 AE 相交於 S 點，則下列
三角形面積的大小關係，何者正確？
(A) ∆ PBE > ∆ QBE ， ∆ PRE > ∆ QSE
(B) ∆ PBE < ∆ QBE ， ∆ PRE < ∆ QSE
(C) ∆ PBE = ∆ QBE ， ∆ PRE > ∆ QSE
(D) ∆ PBE = ∆ QBE ， ∆ PRE < ∆ QSE

(D)

題目只要比較兩件事：
$\triangle PBE$ 、 $\triangle QBE$ 的大小
以及
$\triangle PRE$ 、 $\triangle QSE$ 的大小
請參考下圖。
首先， $\triangle PBE$ 與 $\triangle QBE$ 的底都是 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BE}}$ ，而且高都一樣(因為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$ 平行)，所以 $\triangle PBE=\triangle QBE$ (底$\times$高都相等)，刪除~~(A)~~、~~(B)~~
再來，因為 $\triangle PRE=\triangle PBE-\triangle RBE$ 、 $\triangle QSE =\triangle QBE-\triangle SBE$ ，由前面可知 $\triangle PBE=\triangle QBE$ ，因此只要比較 $\triangle RBE$ 、 $\triangle SBE$ 的大小，就能得出結果。
由圖明顯可知， $\triangle RBE > \triangle SBE$ ，故 $\triangle PBE-\triangle RBE<\triangle QBE-\triangle SBE$ 。所以 $\triangle PRE<\triangle QSE$ ，選(D)

16.

中秋節時阿柚製作的廣式月餅、蛋黃酥、鳳梨酥的數量比為 2 ： 1 ： 3 ，其中只有製作廣式月餅和蛋黃酥時使用鹹蛋黃。若阿柚製作每個廣式月餅時使用 2 顆鹹蛋黃，製作每個蛋黃酥時使用 1 顆鹹蛋黃，且總共使用 120 顆鹹蛋黃，則他製作了幾個鳳梨酥？
(A) 45
(B) 60
(C) 72
(D) 120

(C)

設阿柚製作的式月餅、蛋黃酥、鳳梨酥數量分別為 $2x$ 、 $x$ 、 $3x$ ，則製作廣式月餅時用了 $2x\times 2=4x$ 個鹹蛋黃；製作蛋黃酥用了 $x$ 個鹹蛋黃。而他總共用了120個鹹蛋黃，因此可列式為 $4x+x=120$ ，解出 $x=24$
所以他製作了 $3x=72$ 個鹹蛋黃。故選(C)

17.

如圖 ( 八 )，P 點為矩形 ABCD 兩對角線的交點，
將 P 點分別以 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$ 為對稱軸畫出對稱點 Q、 R ，
形成六邊形 QABRCD 。若 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}=2$ ， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}=4$ ，則
六邊形 QABRCD 的周長為何？
(A) $12$
(B) $4 + 2\sqrt{6}$
(C) $4 + 4\sqrt{3}$
(D) $4 + 4\sqrt{5}$

如圖 ( 八 )，P 點為矩形 ABCD 兩對角線的交點，
將 P 點分別以 AD 、 BC 為對稱軸畫出對稱點 Q、 R ，
形成六邊形 QABRCD 。若 AB = 2 ， AD = 4 ，則
六邊形 QABRCD 的周長為何？
(A) 12
(B) 4 + 2 6
(C) 4 + 4 3
(D) 4 + 4 5

(D)

連接 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BD}}$ ，由於 $P$ 為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BD}}$ 的交點，而且 $Q$ 為 $P$ 的對稱點，很容易可知 $\triangle AQD \cong \triangle APD$ 。同理， $\triangle BRC\cong \triangle BPC$ 。因此六邊形周長即為
$\begin{aligned}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}+\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CD}}+\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AP}}+\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{PD}}+\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{PB}}+\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{PC}}&= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}+\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CD}}+\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}+\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BD}}\\&=2+2+\sqrt{2^2+4^2}+\sqrt{2^2+4^2}\\&=4+4\sqrt{5}\end{aligned}$
故選(D)

18.

圖 ( 九 ) 為小麗和小歐依序進入電梯時，電梯因超重而警示音響起的過程，且過程中沒有其他人進出。

已知當電梯乘載的重量超過 300 公斤時警示音會響起，且小麗、小歐的重量分別為 50 公斤、 70 公斤。若小麗進入電梯前，電梯內已乘載的重量為 x 公斤，則所有滿足題意的 x 可用下列哪一個不等式表示？
(A) 180 < x ≤ 250
(B) 180 < x ≤ 300
(C) 230 < x ≤ 250
(D) 230 < x ≤ 300

(A)

小麗進入電梯後沒超重，所以可以列式為 $x+50\leq 300$ $\Rightarrow x\leq 250$
小歐進入電梯後超重，所以可以列式為 $x+50+70> 300$ $\Rightarrow x> 180$
合併兩式可得 $180<x\leq250$
故選(A)

19.

圓上有 A 、 B 、 C 、 D 四點，其位置如圖(十)所示，其中 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BD}}$ 相交於 E 點，且 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$ 。根據圖中標示的角度，判斷下列四條線段何者的長度最長？
(A) $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AE}}$
(B) $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BE}}$
(C) $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CE}}$
(D) $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}}$

圓上有 A 、 B 、 C 、 D 四點，其位置如圖(十)所示，
其中 AC 與 BD 相交於 E 點，且 AB = BC 。根據圖中
標示的角度，判斷下列四條線段何者的長度最長？
(A) AE
(B) BE
(C) CE
(D) DE

(B)

先把已知角度都寫上去，接下來就用三角形內大角對大邊的性質比較兩兩的長度。
由於 $\triangle BAC$ 為等腰三角形，可得 $\angle{BAC}=\angle{BCA}=\dfrac{(180-44-42)}{2}=47^\circ$
再來利用等弧所對的圓周角相等的性質可知：
$\left\{\begin{array}{l} \angle{BDC}=\angle{BAC}=47^\circ\\ \angle{ACD}=\angle{ABD}=44^\circ\end{array}\right.$
因此，利用大角對大邊的性質， $\left\{\begin{array}{l} \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BE}}>\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AE}}\\ \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BE}}>\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CE}}\\ \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CE}}>\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}}\end{array}\right.$
由上可知， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BE}}$ 長度最長。故選(B)

20.

圖 ( 十一 ) 的正三角形 ABC 與正方形 CDEF 中，
B 、 C 、 D 三點共線，且 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}=10$ ， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CD}}=8$ 。若有一動點 P 沿著 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CA}}$ 由 C 往 A 移動，則 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FP}}$
的長度最小為多少？
(A) $4$
(B) $5$
(C) $4\sqrt{3}$
(D) $5\sqrt{3}$

圖 ( 十一 ) 的正三角形 ABC 與正方形 CDEF 中，
B 、 C 、 D 三點共線，且 AC = 10 ， CF = 8 。
若有一動點 P 沿著 CA 由 C 往 A 移動，則 FP
的長度最小為多少？
(A) 4
(B) 5
(C) 4 3
(D) 5 3

(A)

因為一點到一直線的最短距離是垂直距離，所以 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FP}}$ 的最小值會發生在 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FP}}\perp \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 時。所以過 $F$ 點做 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FP}^\prime}$ 垂直 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ ，可以發現 $\triangle{CFP}^\prime$ 是一個 $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ 的直角三角形。因此

$\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FP}^{\prime}}=\dfrac{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FC}}}{2}=4$
故選(A)

21.

坐標平面上有一水平線 L 與二次函數 $y = a ( x + 7 )^2 – 10$ 的圖形，其中 a 為一正數，且 L 與二次函數圖形相交於 A 、 C 兩點，與 y 軸相交於 B 點，其位置如圖 ( 十二 ) 所示。若 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}:\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}} = 5 : 1$ ，則 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 的長度為何？
(A) 17
(B) 19
(C) 21
(D) 24

坐標平面上有一水平線 L 與二次函數 y = a ( x + 7 )2 − 10 的圖形，其中 a 為
一正數，且 L 與二次函數圖形相交於 A 、 C 兩點，與 y 軸相交於 B 點，其
位置如圖 ( 十二 ) 所示。若 AB：BC = 5 ： 1 ，則 AC 的長度為何？
(A) 17
(B) 19
(C) 21
(D) 24

(C)

因為 $y = a ( x + 7 )^2 - 10$ 的對稱軸在 $x=-7$ ，假設 $x=-7$ 與 $L$ 交於 $P$ 點，則 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{PB}}=7$ 。假設 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}=t$ ，由對稱性可知： $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{PA}}=t+7$ 。所以 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}=t+14$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}=t$ 。
由題目可知：
$\begin{aligned}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}:\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}} = 5 : 1&\Rightarrow t+14:t=5:1\\&\Rightarrow 5t=t+14\\&\Rightarrow t=\dfrac{7}{2}\end{aligned}$
所以 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 長度為 $2t+14=21$ ，選(C)

22.

如圖 ( 十三 )，直線 L 將正九邊形 ABCDEFGHI 分割成兩個區域，且分別與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{EF}}$ 相交於 P 點、 Q 點。若 ∠APQ 的外角為 75 °，則 ∠PQE 的度數為何？
(A) 75
(B) 85
(C) 95
(D) 105

如圖 ( 十三 )，直線 L 將正九邊形 ABCDEFGHI 分割成兩個區域，且分別與
AB 、 EF 相交於 P 點、 Q 點。若 ∠ APQ 的外角為 75 °
，則 ∠ PQE 的度數為何？
(A) 75
(B) 85
(C) 95
(D) 105

(B)

觀察 $PBCDEQ$ 這個六邊形，其內角和為 $(6-2)\times 180^\circ=720^\circ$ ，只要把六邊形除了 $\angle PQE$ 其他角度都算出來，最後再用 $720^\circ$ 扣，就能得到 $\angle PQE$ 的度數。
正九邊形的一個內角的角度是 $\dfrac{(9-2)\times 180^\circ}{9}=140^\circ$ 。此外， $\angle APQ$ 的外角 $=\angle APP^\prime=\angle BPQ=75^\circ$ 全部角度標示出來會如下圖。
因此， $\angle PQE=720^\circ-140^\circ\times 4-75^\circ=85^\circ$ ，故選(B)

23.

已知有若干片相同的拼圖，其形狀如圖 ( 十四 ) 所示，且拼圖依同方向排列時可緊密拼成一列，此時底部可與直線貼齊。當 4 片拼圖緊密拼成一列時長度為23 公分，如圖 ( 十五 ) 所示。當 10 片拼圖緊密拼成一列時長度為 56 公分，如圖 ( 十六 ) 所示。求圖 ( 十四 ) 中的拼圖長度為多少公分？
(A) 5.5
(B) 5.6
(C) 5.75
(D) 6.5

(D)

假設把一個拼圖看成「頭」跟「身體」，假設「頭」 $x$ 公分，身體 $y$ 公分，則可列式：
$\left\{\begin{array}{l} x+4y=23\\x+10y=56 \end{array}\right.$
接著解二元一次方程式可得：
$\left\{\begin{array}{l} x=1\\y=5.5 \end{array}\right.$
所以拼圖長為 $x+y=6.5$ ，選(D)

24.

圖 ( 十七 ) 為三角形紙片 ABC ，其中 D 點和 E 點將 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 分成三等分， F 點為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}}$ 中點。若小慕從 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 上的一點P，沿著與直線BC平行的方向將紙片剪開後，剪下的小三角形紙片面積為∆ABC的 $\displaystyle\frac{1}{3}$ ，則下列關於P點位置的敘述，何者正確？
(A) 與 D 點重合
(B) 與 E 點重合
(C) 在 DF 上，但不與 D 點也不與 F 點重合
(D) 在 FE 上，但不與 F 點也不與 E 點重合

圖 ( 十七 ) 為三角形紙片 ABC ，其中 D 點和 E 點將 AB 分成三等分， F 點為 DE
中點。若小慕從AB上的一點P，沿著與直線BC平行的方向將紙片剪開後，剪下
的小三角形紙片面積為∆ ABC的 1
3 ，則下列關於P點位置的敘述，何者正確？
(A) 與 D 點重合
(B) 與 E 點重合
(C) 在 DF 上，但不與 D 點也不與 F 點重合
(D) 在 FE 上，但不與 F 點也不與 E 點重合

(D)

由於相似三角形的面積比=邊長平方比，依照題意，我們要尋找P點的位置，使得 $\dfrac{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AP}}}{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}\approx\dfrac{1}{1.732}$
依序算出 $\dfrac{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}}{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}}$ 、 $\dfrac{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AF}}}{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}}$ 、 $\dfrac{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AE}}}{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}}$ ：
$\dfrac{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}}{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
$\dfrac{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AF}}}{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AE}}}{\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{1.5}$
由上可知：
$\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{1.732}<\dfrac{1}{1.5}$ ，因此
$\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AF}}<\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AP}}<\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AE}}$ ，故選(D)

另解：算出每個三角形面積的比例(好處是不需要知道 $\sqrt{3}$ 的值是多少)。

25.

圖 ( 十八 ) 為有春蛋糕店的價目表，阿凱原本拿了 4 個蛋糕去結帳，結帳時發現該店正在舉辦優惠活動，優惠方式為每買 5 個蛋糕，其中 1 個價格最低的蛋糕免費，因此阿凱後來多買了 1 個黑櫻桃蛋糕。若阿凱原本的結帳金額為 x 元，後來的結帳金額為 y 元，則 x 與 y 的關係式不可能為下列何者？
(A) y = x
(B) y = x + 5
(C) y = x + 10
(D) y = x + 15

(B)

由於是最低價格的蛋糕免費，所以免費的那個蛋糕一定比黑櫻桃蛋糕便宜(或者一樣價格)。所以分情況討論：
買黑櫻桃，免費伯爵茶：55-40=15 ，也就是結帳金額會比原本金額多15元 $(y=x+15)$
買黑櫻桃，免費奶茶捲：55-45=10 ，也就是結帳金額會比原本金額多15元 $(y=x+10)$
買黑櫻桃，免費濃起司：55-45=10 ，也就是結帳金額會比原本金額多10元 $(y=x+10)$
買黑櫻桃，免費黑櫻桃：55-55=0 ，也就是結帳金額會比原本金額多0元 $(y=x)$
只有(B)選項不可能，故選(B)

26.

如圖 ( 十九 )，銳角三角形 ABC 中， O 點為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 中點。甲、乙兩人想在 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 上找一點 P ，使得 ∆ABP 的外心為 O ，其作法分別如下：
( 甲 ) 作過 B 且與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 垂直的直線，交 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 於 P 點，則 P 即為所求
( 乙 ) 以 O 為圓心， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OA}}$ 長為半徑畫弧，交 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 於 P 點，則 P 即為所求
對於甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？
(A) 兩人皆正確
(B) 兩人皆錯誤
(C) 甲正確，乙錯誤
(D) 甲錯誤，乙正確

如圖 ( 十九 )，銳角三角形 ABC 中， O 點為 AB 中點。甲、乙兩人想在 AC
上找一點 P ，使得 ∆ ABP 的外心為 O ，其作法分別如下：
( 甲 ) 作過 B 且與 AC 垂直的直線，交 AC 於 P 點，則 P 即為所求
( 乙 ) 以 O 為圓心， OA 長為半徑畫弧，交 AC 於 P 點，則 P 即為所求
對於甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？
(A) 兩人皆正確
(B) 兩人皆錯誤
(C) 甲正確，乙錯誤
(D) 甲錯誤，乙正確

(A)

直角三角形的外心在斜邊中點上。相反地，外心在斜邊中點上的三角形是直角三角形。所以如果 $O$ 是 $\triangle ABP$ 的外心，則 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AP}}\perp \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BP}}$ 。所以只要作過 $B$ 且與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 垂直的直線，交 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 於 $P$ 點，則 $P$ 即為所求。甲正確。
如果以 $O$ 為圓心， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OA}}$ 長為半徑畫弧，交 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 於 $P$ 點，則 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OA}} =\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OB}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OP}}$ 。故 $O$ 為 $\triangle ABP$ 的外心。乙正確。

甲乙皆正確，故選(A)

109會考數學第二部分：非選擇題

品沏飲料店提供三種品項，其對應兩種容量的價格如圖 ( 二十 ) 所示。

品沏飲料店的老闆規劃回饋活動，凡自備容器購買飲料者，每種品項中杯皆折扣2元、大杯皆折扣 5 元。
請根據上述資訊，回答下列問題：
(1) 老闆收到顧客反映，有些品項在自備容器後大杯的每毫升價格還是比中杯的貴，請問是圖 ( 二十 ) 中的哪些品項？
(2) 若老闆想要讓所有品項在自備容器後大杯的每毫升價格都比中杯的便宜，則他應將大杯的折扣都至少改成多少元？請詳細解釋或完整寫出你的解題過程，並求出答案。

(1)

觀察大杯飲料都比中杯的多15元，假設某個品項中杯為 $x$ 元，我們想找到：在什麼樣的 $x$ ，折扣後大杯每毫升的價格會比中杯的貴。可以列式為：
$\dfrac{x-2}{750}<\dfrac{x+15-5}{1000}$ ，解出 $x<38$ 。也就是說： $x<38$ 時，大杯每毫升的價格會比中杯的貴。中杯小於38元的品項有：古早味紅茶、百香綠茶。

(2)

題目意思就是：由於(1)算出來古早味紅茶、百香綠茶的大杯價格比較貴，要把大杯的價格經過某個折扣後每毫升的價格，變得比中杯便宜。假設折扣要改為y元，因為珍珠奶茶大杯每毫升價格本來就比較便宜，就不用理他。可以列出下面兩個式子：
$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{45-y}{1000}<\dfrac{30-2}{750}\Rightarrow y>7\dfrac{2}{3}\vspace{1.5em}\\ \dfrac{50-y}{1000}<\dfrac{35-2}{750}\Rightarrow y>6\end{array}\right.$
所以 $y$ 要大於 $7\dfrac{2}{3}$ 才能保證所有大杯品項每毫升比小杯便宜。取整數後為8元

此題詳細評分標準請看第一題評分指引，以及滿分範本

預警三角標誌牌用於放置在車道上，告知後方來車前有停置車輛，如圖 ( 二十一 )
所示。貝貝想製作類似此標誌的圖形，先使用反光材料設計一個物件，如圖 ( 二十二 ) 所示，其中四邊形 ABCD 為長方形， $\overset{\frown}{AB}$、 $\overset{\frown}{CD}$ 分別為以 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CD}}$ 為直徑的半圓，且灰色部分為反光區域。接著，將三個圖 ( 二十二 ) 的物件以圖 ( 二十三 ) 的方式組合並固定，其中固定點 $O_1$ 、 $O_2$ 、 $O_3$ 皆與半圓的圓心重合，且各半圓恰好與長方形的長邊相切，而在圖 ( 二十三 ) 左下方的局部放大圖中， B、 E 皆為切點， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{EF}}$ 皆為直徑。

預警三角標誌牌用於放置在車道上，告知後方來車前有停置車輛，如圖 ( 二十一 )
所示。貝貝想製作類似此標誌的圖形，先使用反光材料設計一個物件，如
圖 ( 二十二 ) 所示，其中四邊形 ABCD 為長方形， AB、 CD 分別為以 AB、 CD
為直徑的半圓，且灰色部分為反光區域。接著，將三個圖 ( 二十二 ) 的物件
以圖 ( 二十三 ) 的方式組合並固定，其中固定點 O1、 O2、 O3 皆與半圓的圓心
重合，且各半圓恰好與長方形的長邊相切，而在圖 ( 二十三 ) 左下方的局部放
大圖中， B、 E 皆為切點， AB、EF 皆為直徑。
請根據上述資訊，回答下列問題：
(1) 圖 ( 二十三 ) 中 ∠ AO1F 的度數為多少？
(2) 根據圖 ( 二十三 ) 的組合方式，求出可看見的反光區域面積為多少？請詳
細解釋或完整寫出你的解題過程，並求出答案。

請根據上述資訊，回答下列問題：
(1) 圖 ( 二十三 ) 中 $\angle AO_1F$ 的度數為多少？
(2) 根據圖 ( 二十三 ) 的組合方式，求出可看見的反光區域面積為多少？請詳細解釋或完整寫出你的解題過程，並求出答案。

(1)

如圖，觀察四邊形 $AO_1FP$ ，由於標誌牌圍出來的空白區域是正三角形，所以 $\angle APF=60^\circ$ ，另外由於 $\angle PAO_1$ 、 $\angle PFO_1$ 為長方形的角，所以是直角。因此 $\angle AO_1F=360^\circ-60^\circ-90^\circ-90^\circ=120^\circ$

(2)

如圖，反光區域計算方法為：把長方形面積加起來(三個)，扣掉重疊四邊形面積(三個)最後加上扇形面積(三個)。
長方形面積： $4\times 45=180$
四邊形面積： $\dfrac{2\times 2\sqrt{3}}{2}\times 2=4\sqrt{3}$
扇形面積： $2^2\times\pi\times\dfrac{120^\circ}{360^\circ}=\dfrac{4\pi}{3}$
因此，反光區域面積 $=180\times 3-4\sqrt{3}\times3+\dfrac{4\pi}{3}\times 3=540-12\sqrt{3}+4\pi$

此題詳細評分標準請看第二題評分指引，以及滿分範本

109會考數學第一部分：選擇題 (1 ~ 26 題)

109會考數學第二部分：非選擇題

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