108會考數學詳解｜108國中教育會考數學詳解

108會考數學第一部分

108會考數學第二部分

108會考數學第一部分：選擇題 (1 ~ 26 題)

算式 $-\dfrac{5}{3}-(-\dfrac{1}{6})$ 之值為何？
(A) $-\dfrac{3}{2}$
(B) $-\dfrac{4}{3}$
(C) $-\dfrac{11}{6}$
(D) $-\dfrac{4}{9}$

(A)

$-\dfrac{5}{3}-(-\dfrac{1}{6})=-\dfrac{5}{3}+\dfrac{1}{6}=-\dfrac{10}{6}+\dfrac{1}{6}=-\dfrac{9}{6}=-\dfrac{3}{2}$ ，故選(A)

某城市分為南、北兩區，圖 ( 一 ) 為 105 年到 107 年該城市兩區的人口數量長條圖。根據圖 ( 一 ) 判斷該城市的總人口數量，從 105 年到 107 年的變化情形為下列何者？
(A) 逐年增加
(B) 逐年減少
(C) 先增加，再減少
(D) 先減少，再增加

(A)

先比較105年與106年的成長情形，再比較106年與107年的增長情形，就能選出答案。
105年到106年，南區與北區人口都有增加，所以整個城市人口是增加的。
106年到107年，南區人口減少約500人，北區人口增加約1000人，所以整個城市人口是增加的。
因此，105到107年城市人口逐年增加，故選(A)

計算 $(2x-3)(3x+4)$ 的結果，與下列哪一個式子相同？
(A) $-7x + 4$
(B) $-7x – 12$
(C) $6x^2 – 12$
(D) $6x^2- x – 12$

(D)

直接乘開： $(2x-3)(3x+4)=2x\times 3x+2x\times 4-3\times 3x-3\times 4=6x^2-x-12$ ，故選(D)

圖 ( 二 ) 的直角柱由 2 個正三角形底面和 3 個矩形側面組成，其中正三角形面積為 a，矩形面積為 b 。若將 4 個圖 ( 二 ) 的直角柱緊密堆疊成圖 ( 三 ) 的直角柱，則圖 ( 三 ) 中直角柱的表面積為何？
(A) $4a + 2b$
(B) $4a + 4b$
(C) $8a + 6b$
(D) $8a + 12b$

(C)

把圖(三)的直角柱展開，矩形有6個，正三角形有8個，所以表面積為 $8a+6b$ ，故選(C)

若 $\sqrt{44} = 2\sqrt{a}$ ， $\sqrt{54} = 3\sqrt{b}$ ，則 $a + b$ 之值為何？
(A) 13
(B) 17
(C) 24
(D) 40

(B)

$\sqrt{44} = \sqrt{2^2\times{11}}=2\sqrt{11}$
$\sqrt{54} = \sqrt{3^2\times{6}}=3\sqrt{6}$
因此， $a=11,\ b=6$ ， $a+b=17$ ，故選(B)

民國 106 年 8 月 15 日，大潭發電廠因跳電導致供電短少約 430 萬瓩，造成全臺灣多處地方停電。已知 1 瓩等於 1 千瓦，求 430 萬瓩等於多少瓦？
(A) $4.3 \times 10^7$
(B) $4.3 \times 10^8$
(C) $4.3 \times 10^9$
(D) $4.3 \times 10^{10}$

(C)

430萬 $=4300000=4.3\times 10^6$ ，所以 $4.3\times 10^6$ 瓩 $=4.3\times 10^6\times10^3$ 瓦 $= 4.3\times 10^9$ 瓦。故選(C)

圖 ( 四 ) 的坐標平面上有原點 O 與 A 、 B 、 C 、 D 四點。若有一直線 L通過點 $(-3,4 )$ 且與 y 軸垂直，則 L 也會通過下列哪一點？
(A) A
(B) B
(C) C
(D) D

(D)

把 $(-3,4 )$ 的點標出來， $L$ 與 $y$ 軸垂直代表他是一個水平線，把它畫出來發現通過 $D$ 點，故選(D)

若多項式 $5x^2 + 17x – 12$ 可因式分解成 $( x + a )( bx + c )$，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均為整數，則 $a + c$ 之值為何？
(A) 1
(B) 7
(C) 11
(D) 13

(A)

將 $5x^2 + 17x − 12$ 因式分解，利用十字交乘如圖所示。因此 $5x^2 + 17x -12=(x+4)(5x-3)$ 。所以 $a=4,\ b=5,\ c=-3$ 。 $a+c=1$ ，故選(A)

若多項式 5x2 + 17x − 12 可因式分解成 ( x + a )( bx + c )，其中 a 、 b 、 c
均為整數，則 a + c 之值為何？
(A) 1
(B) 7
(C) 11
(D) 13

公園內有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成。圖 ( 五 ) 表示此步道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續排列且總共有 40 個。求步道上總共使用多少個三角形地磚？
(A) 84
(B) 86
(C) 160
(D) 162

(A)

每一個正方形右上角與右下角都會有直角三角形(左上左下角不用算，因為會跟前一個正方形重複算到)。因此，最一開始有3個直角三角形，在每個正方形右上角右下角會有兩個直角三角形。共有40個正方形，也就會有80個直角三角形。再加上最後一個，共有 $3+80+1=84$ 個直角三角形，故選(A)

10.

數線上有 O 、 A 、 B 、 C 四點，各點位置與各點所表示的數如圖 ( 六 ) 所示。若數線上有一點 D， D 點所表示的數為 d，且 |d − 5| = |d − c| ，則關於 D 點的位置，下列敘述何者正確？
(A) 在 A 的左邊
(B) 介於 A、C 之間
(C) 介於 C、O 之間
(D) 介於 O、B 之間

(D)

絕對值有「距離」的概念， $|d-5|$ 代表 $d$ 與 $5$ 的距離； $|d - c|$ 代表 $d$ 與 $c$ 的距離。而題目說這兩個相等，也就是 $d$ 與 $5$ 的距離等於 $d$ 與 $c$ 的距離。換句話說， $d$ 是 $c$ 和 $5$ 的中點。
又 $c>-5$ ，所以 $\dfrac{c+5}{2}>0$ 。故 $D$ 在 $O$ 、 $B$ 之間。選(D)

11.

如圖 ( 七 )，將一長方形紙片沿著虛線剪成兩個全等的梯形紙片。根據圖中標示的長度與角度，求梯形紙片中較短的底邊長度為何？
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7

(C)

如右圖，假設較短的底邊長為 $x$ ，作輔助線如右圖藍線，可形成一個邊長為 $8$ 的正方形，以及兩個長為 $8$ 、寬為 $x$ 的長方形。因此可列式： $x+8+x=20$ ，解得 $x=6$ 。故選(C)

12.

阿慧在店內購買兩種蛋糕當伴手禮，圖 ( 八 ) 為蛋糕的價目表。已知阿慧購買10 盒蛋糕，花費的金額不超過 2500 元。若他將蛋糕分給 75 位同事，每人至少能拿到一個蛋糕，則阿慧花多少元購買蛋糕？
(A) 2150
(B) 2250
(C) 2300
(D) 2450

(D)

設買了 $x$ 盒桂圓蛋糕，則買了 $10-x$ 盒金棗蛋糕。
花費金額不超過2500
$\begin{aligned}&\Rightarrow 350x+200(10-x)\leq 2500\\&\Rightarrow 150x\leq 500 \\&\Rightarrow x\leq \dfrac{10}{3}\end{aligned}$
總蛋糕數至少75
$\begin{aligned}&\Rightarrow 12x+6(10-x)\geq 75\\&\Rightarrow 6x\geq 15 \\&\Rightarrow x\geq\dfrac{5}{2}\end{aligned}$
結合兩式： $\dfrac{5}{2}\leq x\leq \dfrac{10}{3}$ ，且 $x$ 是整數，所以 $x=3$ 。
因此阿慧總共花了 $3\times 350+7\times 200=2450$ 元。故選(D)

13.

如圖 ( 九 )，$\triangle ABC$ 中，D 點在 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$ 上，將 D 點分別以 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 為對稱軸，畫出對稱點 E 、 F ，並連接 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AE}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AF}}$ 。根據圖中標示的角度，求 ∠EAF 的度數為何？
(A) 113
(B) 124
(C) 129
(D) 134

如圖 ( 九 )，△ ABC 中，D 點在 BC 上，將 D 點分別以 AB、AC 為對稱軸，
畫出對稱點 E 、 F ，並連接 AE 、AF 。根據圖中標示的角度，求 ∠EAF 的
度數為何？
(A) 113
(B) 124
(C) 129
(D) 134

(D)

因為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 是 $D$ 、 $E$ 的對稱軸，所以 $\angle BAD=\angle BAE$ ；同理 $\angle CAD=\angle CAD$ 。如圖，因此 $\angle EAF=2\angle BAC=2(180^\circ-62^\circ-51^\circ)=134^\circ$ ，故選(D)

14.

箱子內裝有 53 顆白球及 2 顆紅球，小芬打算從箱子內抽球，以每次抽出一球後將球再放回的方式抽 53 次球。若箱子內每顆球被抽到的機會相等，且前 52 次中抽到白球 51 次及紅球 1 次，則第 53 次抽球時，小芬抽到紅球的機率為何？
(A) $\displaystyle\frac{1}{2}$
(B) $\displaystyle\frac{1}{3}$
(C) $\displaystyle\frac{2}{53}$
(D) $\displaystyle\frac{2}{55}$

(D)

因為球每次抽完都會放回，所以每次抽到紅球的機率與前面抽到什麼無關。因此第53次抽球時抽到紅球的機率 $\dfrac{2}{53+2}=\dfrac{2}{55}$ ，故選(D)

15.

如圖 ( 十 )， $\triangle ABC$ 中， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}} < \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 。若 ∠1、∠2 分別為 ∠ABC 、 ∠ACB 的外角，則下列角度關係何者正確？
(A) ∠1 < ∠2
(B) ∠1 = ∠2
(C) ∠A + ∠2 < 180°
(D) ∠A + ∠1 > 180°

如圖 ( 十 )， △ ABC 中，AC = BC < AB 。若 ∠ 1、∠ 2
分別為 ∠ ABC 、 ∠ ACB 的外角，則下列角度關係何者
正確？
(A) ∠1 < ∠2
(B) ∠1 = ∠2
(C) ∠A + ∠2 < 180°
(D) ∠A + ∠1 > 180

(C)

這題只要利用大邊對大角，把三角形三個角的大小關係寫出來，就能知道答案了。
題目說： $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}= \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}} < \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ ，那麼根據大邊對大角， $\angle B= \angle A < \angle C$ 。
前兩個選項比較 $\angle 1$ 、 $\angle 2$ 的大小：
$\angle 1=180^\circ -\angle B$
$\angle 2=180^\circ -\angle C$
因為 $\angle B < \angle C$ ，所以 $\angle 1>\angle 2$
(C)： $\angle A+\angle 2<\angle C+\angle 2=180^\circ$ (正確)
(D)： $\angle A+\angle 1=\angle B+\angle 1=180^\circ$ (錯誤)
故選(C)

16.

小涵與阿嘉一起去咖啡店購買同款咖啡豆，咖啡豆每公克的價錢固定，購買時自備容器則結帳金額再減 5 元。若小涵購買咖啡豆 250 公克且自備容器，需支付 295 元；阿嘉購買咖啡豆 x 公克但沒有自備容器，需支付 y 元，則 y 與 x 的關係式為下列何者？

(A) $y = \displaystyle\frac{295}{250}x$
(B) $y = \displaystyle\frac{300}{250}x$
(C) $y = \displaystyle\frac{295}{250}x+5$
(D) $y = \displaystyle\frac{300}{250}x+5$

(B)

假設沒有自備容器， $250$ 公克的咖啡豆要 $295+5=300$ 元，那麼 $x$ 公克就是 $\dfrac{300}{250}x$ 元。
因此， $y=\dfrac{300}{250}x$ ，故選(B)

17.

如圖 ( 十一 )，將一張面積為 14 的大三角形紙片沿著虛線剪成三張小三角形紙片與一張平行四邊形紙片。根據圖中標示的長度，求平行四邊形紙片的面積為何？
(A) $y = \displaystyle\frac{21}{5}$
(B) $y = \displaystyle\frac{42}{5}$
(C) $y = \displaystyle\frac{24}{7}$
(D) $y = \displaystyle\frac{48}{7}$

如圖 ( 十一 )，將一張面積為 14 的大三角形紙片沿著虛線剪成三張小三角形
紙片與一張平行四邊形紙片。根據圖中標示的長度，求平行四邊形紙片的面積
為何？
(A) 21
5
(B) 42
5
(C) 24
7
(D) 48
7

(D)

如圖，因為 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}}/\mskip-4mu/ \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$ ，所以 $\triangle ADE~\triangle ABC$ 。所以上面的小三角形之高:平行四邊形之高:大三角形之高的比為 $3:4:7$
因為大三角形面積為 $14=\displaystyle\frac{7×高}{2}$ ，算出大三角形之高為 $4$ 。
所以平行四邊形之高為 $4\times\dfrac{4}{7}=\dfrac{16}{7}$ 。平行四邊形面積為 $\dfrac{16}{7}\times 3=\dfrac{48}{7}$ ，故選(D)

18.

圖 ( 十二 ) 的摩天輪上以等間隔的方式設置 36 個車廂，車廂依順時針方向分別編號為 1 號到 36 號，且摩天輪運行時以逆時針方向等速旋轉，旋轉一圈花費30 分鐘。若圖 ( 十三 ) 表示 21 號車廂運行到最高點的情形，則此時經過多少分鐘後， 9 號車廂才會運行到最高點？
(A) 10
(B) 20
(C) $\displaystyle\frac{15}{2}$
(D) $\displaystyle\frac{45}{2}$

圖 ( 十二 ) 的摩天輪上以等間隔的方式設置 36 個車廂，車廂依順時針方向分別
編號為 1 號到 36 號，且摩天輪運行時以逆時針方向等速旋轉，旋轉一圈花費
30 分鐘。若圖 ( 十三 ) 表示 21 號車廂運行到最高點的情形，則此時經過多少
分鐘後， 9 號車廂才會運行到最高點？
(A) 10
(B) 20
(C) 15
2
(D) 45
2

(B)

先計算還要轉幾圈之後9號車廂才會運行到最高點：
要再經過 $36-(21-9)=24$ 個車廂後才會到最高點，也就是 $\dfrac{24}{36}=\dfrac{2}{3}$ 圈。
旋轉一圈要30分鐘， $\dfrac{2}{3}$ 圈就是 $\dfrac{2}{3}\times 30=20$ (分鐘)，故選(B)

19.

如圖(十四)，直角三角形 ABC 的內切圓分別與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$ 相切於 D 點、 E 點。根據圖中標示的長度與角度，求 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}$ 的長度為何？

(A) $\displaystyle\frac{3}{2}$
(B) $\displaystyle\frac{5}{2}$
(C) $\displaystyle\frac{4}{3}$
(D) $\displaystyle\frac{5}{3}$

如圖(十四)，直角三角形 ABC 的內切圓分別與 AB 、 BC 相切於 D 點、 E 點。
根據圖中標示的長度與角度，求 AD 的長度為何？
(A) 3
2
(B) 5
2
(C) 4
3
(D) 5
3

(D)

設 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}=x$ ，因為圓為三角形的內切圓，可以把每段長度都寫出來，如圖。
利用畢氏定理：
$\begin{aligned}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}^2+\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}^2=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}^2&\Rightarrow (x+1)^2+(1+4)^2=(x+4)^2\\&\Rightarrow x^2+2x+1+25=x^2+8x+16\\&\Rightarrow 6x=10\\&\Rightarrow x=\dfrac{5}{3}\end{aligned}$
故選(D)

20.

某旅行團到森林遊樂區參觀，表 ( 一 ) 為兩種參觀方式與所需的纜車費用。已知旅行團的每個人皆從這兩種方式中選擇一種，且去程有 15 人搭乘纜車，回程有 10 人搭乘纜車。若他們纜車費用的總花費為 4100 元，則此旅行團共有多少人？
(A) 16
(B) 19
(C) 22
(D) 25

(A)

假設選擇單程搭纜車(第二個方案)的有 $x$ 人，則選擇第一個方案的有 $\dfrac{15+10-x}{2}=\dfrac{25-x}{2}$ 人。
總共花費4100
$\begin{aligned}&\Rightarrow 300\times \dfrac{25-x}{2}+200\times x=4100\\&\Rightarrow 3750-150x+200x=4100\\&\Rightarrow 50x=350\\&\Rightarrow x=7\end{aligned}$
所以總人數為 $7+\dfrac{25-7}{2}=16$ ，故選(A)

另解：
設選第一個方案的有 $a$ 人，選第二個方案的有 $b$ 人，則總搭乘纜車的次數 $=2a+b=25$
總花費為4100 $\Rightarrow300a+200b=4100$
解二元一次方程式 可得 $a=9,\ b=7$ ，所以總人數為 $a+b=9+7=16$ ，故選(A)

21.

小宜跟同學在某餐廳吃飯，圖 ( 十五 ) 為此餐廳的菜單。若他們所點的餐點總共為 10 份義大利麵， x 杯飲料，y 份沙拉，則他們點了幾份 A 餐？
(A) 10 − x
(B) 10 − y
(C) 10 − x + y
(D) 10 − x − y

(A)

把已知條件列出來：
$\left\{\begin{array}{l} A+B+C=10\\ B+C=x\\ C=y\end{array}\right.$
目標是要把 $A$ 用 $x,\ y$ 表示。
把第二式代回第一式： $A+x=10$ ，因此 $ A=10-x$ 。故選(A)

22.

若正整數 a 和 420 的最大公因數為 35 ，則下列敘述何者正確？
(A) 20 可能是 a 的因數， 25 可能是 a 的因數
(B) 20 可能是 a 的因數， 25 不可能是 a 的因數
(C) 20 不可能是 a 的因數， 25 可能是 a 的因數
(D) 20 不可能是 a 的因數， 25 不可能是 a 的因數

(C)

假設20是a的因數，那麼2就會是a的因數，也是420的因數，也就是說2是他們的公因數。可是最大公因數不是2的倍數，這表示一開始的假設錯了! 所以20不是a的因數。
因為420是5的倍數，但不是25的倍數，所以如果a是25的倍數，最大公因數還是有可能是35。例如 $a=25\times 7$
更進一步的說，我們可以假設
$\left\{\begin{array}{l} a=35\times k\\b=35\times 12\end{array}\right.$
這裡的 $k$ 要與 $12$ 互質。所以當20是a的因數時，k為2的倍數，就不會跟12互質。當25是a的因數時，隨便舉個例子 $k=5$ 、 $k=25$ 都會跟 12互質。所以25可能是a的因數。故選(C)

23.

如圖 ( 十六 )，有一三角形 ABC 的頂點 B 、 C 皆在直線 L 上，且其內心為 I 。今固定 C 點，將此三角形依順時針方向旋轉，使得新三角形 A′B′C 的頂點 A′ 落在 L 上，且其內心為 $I′$ 。若 ∠ A< ∠ B< ∠ C ，則下列敘述何者正確？
(A) $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{IC}}$ 和 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{I}^\prime\raisebox{0pt}[1.2\height]{B}^\prime}$ 平行， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{II}^\prime}$ 和 L 平行
(B) $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{IC}}$ 和 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{I}^\prime\raisebox{0pt}[1.2\height]{B}^\prime}$ 平行， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{II}^\prime}$ 和 L 不平行
(C) $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{IC}}$ 和 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{I}^\prime\raisebox{0pt}[1.2\height]{B}^\prime}$ 不平行， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{II}^\prime}$ 和 L 平行
(D) $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{IC}}$ 和 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{I}^\prime\raisebox{0pt}[1.2\height]{B}^\prime}$ 不平行， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{II}^\prime}$ 和 L 不平行

如圖 ( 十六 )，有一三角形 ABC 的頂點 B 、 C 皆在直線 L 上，且其內心為 I 。
今固定 C 點，將此三角形依順時針方向旋轉，使得新三角形 A′B′C 的
頂點 A′ 落在 L 上，且其內心為 I′ 。若 ∠ A< ∠ B< ∠ C ，則下列敘述何者正確？
(A) IC 和 I′A′ 平行， II′ 和 L 平行
(B) IC 和 I′A′ 平行， II′ 和 L 不平行
(C) IC 和 I′A′ 不平行， II′ 和 L 平行
(D) IC 和 I′A′ 不平行， II′ 和 L 不平行

(C)

把內切圓畫出來，假設 $P$ 、 $Q$ 是圓與 $L$ 的切點。由於 $\angle A<\angle C$，所以 $\angle ICB=\displaystyle \frac{\angle{ACB}}{2}<\displaystyle \frac{\angle{B^\prime A^\prime C}}{2}=\angle I^\prime A^\prime C$ ，也就是$\angle ICB \neq \angle I^\prime A^\prime C $ ，可知 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{I}^\prime\raisebox{0pt}[1.2\height]{B}^\prime}$ 不平行(同位角不相等)。
因為 $I,\ I^\prime$ 是三角形 $ABC$ 、 $A^\prime B^\prime C^\prime$ 的內心，發現 $I$ 、 $I^\prime$ 到 $L$ 的距離相等。因此，$II^\prime QP$ 為平行四邊形(一對邊平行且相等)。由此可知 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{II}^\prime}$ 和 L 平行。
故選(C)

24.

圖 ( 十七 ) 表示 A 、 B 、 C 、 D 四點在圓 O 上的位置，其中 $\overset{\frown}{AD}= 180^\circ$ ，且 $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BD}$ ， $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。若阿超在 $\overset{\frown}{AB}$ 上取一點 P ，在 $\overset{\frown}{BD}$ 上取一點 Q ，使得 ∠APQ = 130° ，則下列敘述何者正確？
(A) Q 點在 $\overset{\frown}{BC}$ 上，且 $\overset{\frown}{BQ} > \overset{\frown}{QC} $
(B) Q 點在 $\overset{\frown}{BC}$ 上，且 $\overset{\frown}{BQ} < \overset{\frown}{QC} $
(C) Q 點在 $\overset{\frown}{CD}$ 上，且 $\overset{\frown}{CQ} > \overset{\frown}{QD} $
(D) Q 點在 $\overset{\frown}{CD}$ 上，且 $\overset{\frown}{CQ} < \overset{\frown}{QD} $

圖 ( 十七 ) 表示 A 、 B 、 C 、 D 四點在圓 O 上的
位置，其中 AD = 180° ，且 AB = BD ， BC = CD。
若阿超在 AB 上取一點 P ，在 BD 上取一點 Q ，
使得 ∠APQ = 130°
，則下列敘述何者正確？
(A) Q 點在 BC 上，且 BQ > QC
(B) Q 點在 BC 上，且 BQ < QC
(C) Q 點在 CD 上，且 CQ > QD
(D) Q 點在 CD 上，且 CQ < QD

(B)

由題意可知：
$\overset{ \huge\frown}{AB}=90^\circ$ 、$\overset{ \huge\frown}{BC}=\overset{ \huge\frown}{CD}=45^\circ$
因為 $\angle APQ = 130^\circ$ ，所以 $\overset{\Huge\frown}{ADQ}=260^\circ$
又 $\overset{\huge\frown}{DQ}=$ $260^\circ-180^\circ=80^\circ$ ，而 $\overset{\huge\frown}{DC}=45^\circ$ 、 $\overset{\huge\frown}{DB}=90^\circ$ ，故 $\overset{\huge\frown}{DC}<\overset{\huge\frown}{DQ}<\overset{\huge\frown}{DB}$ ，也就是 $Q$ 點在 $\overset{\frown}{BC}$ 上。
此外，$\overset{\huge\frown}{BQ}=\overset{\huge\frown}{DB}-\overset{\huge\frown}{DQ}=10^\circ$ ，$\overset{\huge\frown}{QC}=\overset{\huge\frown}{DQ}-\overset{\huge\frown}{DC}=35^\circ$ ，因此 $\overset{\huge\frown}{BQ} < \overset{\huge\frown}{QC} $ ，故選(B)

25.

圖 ( 十八 ) 的 △ ABC 中， $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}>\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}>\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}$ ，且 D 為 BC 上一點。今打算在 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 上找一點 P ，在 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 上找一點 Q ，使得 △ APQ 與 △ PDQ 全等，以下是甲、乙兩人的作法：
( 甲 ) 連接 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}$ ，作 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}$ 的中垂線分別交 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 於 P 點、 Q 點，則 P 、 Q 兩點即為所求
( 乙 ) 過 D 作與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 平行的直線交 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 於 P 點，過 D 作與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 平行的直線交 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 於 Q 點，則 P 、 Q 兩點即為所求
對於甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？
(A) 兩人皆正確
(B) 兩人皆錯誤
(C) 甲正確，乙錯誤
(D) 甲錯誤，乙正確

圖 ( 十八 ) 的 △ ABC 中，AB > AC > BC，且 D 為 BC 上一點。今打算在
AB 上找一點 P ，在 AC 上找一點 Q ，使得 △ APQ 與 △ PDQ 全等，以下
是甲、乙兩人的作法：
( 甲 ) 連接 AD ，作 AD 的中垂線分別交 AB 、 AC 於 P 點、 Q 點，
則 P 、 Q 兩點即為所求
( 乙 ) 過 D 作與 AC 平行的直線交 AB 於 P 點，過 D 作與 AB 平行的直線
交 AC 於 Q 點，則 P 、 Q 兩點即為所求
對於甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？
(A) 兩人皆正確
(B) 兩人皆錯誤
(C) 甲正確，乙錯誤
(D) 甲錯誤，乙正確

(A)

(甲)：如下圖，作 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}}$ 的中垂線交 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 、 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 於 $P$ 、 $Q$ 。根據中垂線的性質， $\left\{\begin{array}{l} \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{PA}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{PD}}\\ \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{QA}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{QD}} \end{array}\right.$ 。再加上 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{PQ}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{PQ}}$ (共用邊)可知 $\triangle APQ\cong\triangle DPQ$ (SSS全等)。故(甲)正確

(乙)：如下圖，過 D 作與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 平行的直線交 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 於 P 點，過 D 作與 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}$ 平行的直線交 $\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}$ 於 Q 點。
因為四邊形 $APDQ$ 是平行四邊形，所以
$$\left\{\begin{array}{l} \overline{{PA}}=\overline{{DQ}}\\ \overline{{AQ}}=\overline{{PD}}\\ \overline{{PQ}}=\overline{{PQ}}(共用邊)\end{array}\right.$$
可知 $\triangle APQ\cong\triangle DQP$ (SSS全等)。故(乙)正確

綜合上述，(甲)、(乙)皆正確，故選(A)

26.

如圖(十九)，坐標平面上有一頂點為 A的拋物線，此拋物線與方程式 y = 2 的圖形交於 B、 C 兩點，且 △ABC 為正三角形。若 A 點坐標為 (-3,0 )，則此拋物線與 y 軸的交點坐標為何？
(A) $( 0, \displaystyle\frac{9}{2})$
(B) $( 0, \displaystyle\frac{27}{2})$
(C) $( 0, 9)$
(D) $( 0, 18)$

如圖(十九)，坐標平面上有一頂點為 A的拋物線，
此拋物線與方程式 y = 2 的圖形交於 B、 C 兩點，
且 △ABC 為正三角形。若 A 點坐標為 ( −3,0 )，
則此拋物線與 y 軸的交點坐標為何？
(A) ( 0, 9
2 )
(B) ( 0, 27
2 )
(C) ( 0,9 )
(D) ( 0,18 )

(B)

以 $(-3,0 )$ 為頂點的拋物線可設為 $y=a(x+3)^2$ ，我們還需要另一個拋物線上的點帶入來解出 $a$ 的值。
因為 $\triangle ABC$ 為正三角形，可以求出C點座標為 $(-3+\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}},2)$ (如右圖)。將 $C$ 點代入：
$2=a(-3+\dfrac{2}{\sqrt{3}}+3)^2\Rightarrow 2=\dfrac{4}{3}a\Rightarrow a=\dfrac{3}{2}$
要求拋物線與 $y$ 軸交點，就把 $x=0$ 代入解 $y$ $\Rightarrow y=\dfrac{3}{2}\times(3)^2=\dfrac{27}{2}$
故與 $y$ 軸交點為 $(0,\displaystyle\frac{27}{2})$ ，故選(B)

108會考數學第二部分：非選擇題

市面上販售的防曬產品標有防曬係數SPF，而其對抗紫外線的防護率算法為

$$防護率 = \displaystyle\frac{\mbox{SPF} − 1}{\mbox{SPF}}\times{100\%}$$
其中 SPF ≥ 1，請回答下列問題：
(1)廠商宣稱開發出防護率 90% 的產品，請問該產品的 SPF 應標示為多少？
(2)某防曬產品文宣內容如圖 ( 二十 ) 所示。

請根據 SPF 與防護率的轉換公式，判斷此文宣內容是否合理，並詳細解釋或完整寫出你的理由。

(1)

由題意可列式：
$\begin{aligned}\dfrac{\mbox{SPF} - 1}{\mbox{SPF}}\times{100\%}=90\%&\Rightarrow \dfrac{\mbox{SPF} - 1}{\mbox{SPF}}=\dfrac{9}{10}\\&\Rightarrow 10\times\mbox{SPF}-10=9\times\mbox{SPF}\\&\Rightarrow\mbox{SPF}=10\end{aligned}$

(2)

分別算出第一代與第二代的防護率：
第一代： $\dfrac{25- 1}{25}\times{100\%}=96\%$
第二代： $\dfrac{50- 1}{50}\times{100\%}=98\%$
然而 $98\%< 96\%\times 2$ 。所以此文宣內容不合理。

此題詳細評分標準請看第一題評分指引，以及滿分範本

在公園有兩座垂直於水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱後面有一堵與地面互相垂直的牆，且圓柱與牆的距離皆為 120 公分。敏敏觀察到高度 90 公分矮圓柱的影子落在地面上，其影長為 60 公分；而高圓柱的部分影子落在牆上，如圖 ( 二十一 ) 所示。

已知落在地面上的影子皆與牆面互相垂直，並視太陽光為平行光，在不計圓柱厚度與影子寬度的情況下，請回答下列問題：
(1)若敏敏的身高為 150 公分，且此刻她的影子完全落在地面上，則影長為多少公分？
(2)若同一時間量得高圓柱落在牆上的影長為 150 公分，則高圓柱的高度為多少公分？請詳細解釋或完整寫出你的解題過程，並求出答案。

(1)

設敏敏影長為 $x$ 公分，由於太陽光為平行光，

(1)若敏敏的身高為 150 公分，且此刻她的影子完全落在地面上，則影長為
多少公分？

形成的三角形都會成比例(相似)。因此 $90:60=150:x\Rightarrow x=100$ (公分)

(2)

假設高圓柱柱下半部為 $y$ 公分，因為太陽是平行光，而且高圓柱平行牆面，所以高圓柱上半部長度=牆上影子長度 =$150$ (公分)。利用前一題的比例關係：
$y:120=90:60$ ，解出 $y=180$ 。所以高圓柱高度 $=150+180=330$ (公分)

若同一時間量得高圓柱落在牆上的影長為 150 公分，則高圓柱的高度為
多少公分？請詳細解釋或完整寫出你的解題過程，並求出答案。

此題詳細評分標準請看第二題評分指引，以及滿分範本

108會考數學第一部分：選擇題 (1 ~ 26 題)

108會考數學第二部分：非選擇題

發佈留言取消回覆