107會考數學詳解|107國中教育會考數學詳解

107會考數學科詳解、107年國中教育會考數學科.

107會考數學第一部分:選擇題 (1 ~ 26 題)


1.

下列選項中的圖形有一個為線對稱圖形,判斷此圖形為?

下列選項中的圖形有一個為線對稱圖形,判斷此圖形為何?
(A) (B) (C) (D)

(D)

如圖,(D)有兩條對稱軸,所以是線對稱圖形。故選(D)
(注意(A)、(B)是對稱圖形)

下列選項中的圖形有一個為線對稱圖形,判斷此圖形為何?
(A) (B) (C) (D)

2.

已知 a = ( \dfrac{3}{14} -\dfrac{2}{15})-\dfrac{1}{16}b = \dfrac{3}{14} -(\dfrac{2}{15}-\dfrac{1}{16})c = \dfrac{3}{14} -\dfrac{2}{15}-\dfrac{1}{16} ,判斷下列敘述何者正確?
(A) a = c, b = c
(B) a = c, b ≠ c
(C) a ≠ c, b = c
(D) a ≠ c, b ≠ c

(B)

a = ( \dfrac{3}{14} -\dfrac{2}{15})-\dfrac{1}{16}= \dfrac{3}{14} -\dfrac{2}{15}-\dfrac{1}{16}
b = \dfrac{3}{14} -(\dfrac{2}{15}-\dfrac{1}{16})=\dfrac{3}{14} -\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{16}
c = \dfrac{3}{14} -\dfrac{2}{15}-\dfrac{1}{16}
因此 b>c=a ,也就是 a=c,\ b\geq c故選(B)


3.

已知坐標平面上, 一次函數 y = 3x + a 的圖形通過點 (0 , −4),其中 a 為一數,求 a 的值為何?
(A) −12
(B) −4
(C) 4
(D) 12

(B)

將 $(0,-4)$ 代入 $y=3x+a$ 即可解出 $a$ 。
-4=3\times 0+a\Rightarrow a=-4故選(B)


4.

已知某文具店販售的筆記本每本售價均相等且超過 10元,小錦和小勳在此文具店分別購買若干本筆記本。若小錦購買筆記本的花費為 36 元,則小勳購買筆記本的花費可能為下列何者?
(A) 16 元
(B) 27 元
(C) 30 元
(D) 48 元

(D)

36的因數有1、2、3、4、6、9、12、18、36 ,其中超過10的只有12、18、36。
意思就是一本筆記本的售價只可能是12、18、36元。選項中只有 $48=4\times 12$ 是12的倍數,其他選項都不是12、18、36的倍數。所以小勳購買筆記本的花費只可能是48元,故選(D)


5.

若二元一次聯立方程式 \left\{\begin{array}{l} 7x - 3y = 8\\3x - y = 8\end{array}\right. 的解為 x = a , y = b,則 a + b 之值為何?
(A) 24
(B) 0
(C) −4
(D) −8

(A)

解二元一次聯立方程式,將第二式乘3之後兩式相減。
\left\{\begin{array}{l} 7x - 3y = 8\\3x - y = 8\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} 7x - 3y = 8\\9x - 3y = 24\end{array}\right.
相減得到 $2x=16\Rightarrow x=8$ 代回式1, 可得 $y=16$
因此, \left\{\begin{array}{l} a=8\\b=16\end{array}\right.
故 $a+b=24$ ,故選(A)


6.

已知甲、乙兩袋中各裝有若干顆球,其種類與數量如表 ( 一 ) 所示。今阿馮打算從甲袋中抽出一顆球,小潘打算從乙袋中抽出一顆球,若甲袋中每顆球被抽出的機會相等,且乙袋中每顆球被抽出的機會相等,則下列敘述何者正確?
(A) 阿馮抽出紅球的機率比小潘抽出紅球的機率大
(B) 阿馮抽出紅球的機率比小潘抽出紅球的機率小
(C) 阿馮抽出黃球的機率比小潘抽出黃球的機率大
(D) 阿馮抽出黃球的機率比小潘抽出黃球的機率小

已知甲、乙兩袋中各裝有若干顆球,其種類與數量
如表 ( 一 ) 所示。今阿馮打算從甲袋中抽出一顆球,小潘
打算從乙袋中抽出一顆球,若甲袋中每顆球被抽出的
機會相等,且乙袋中每顆球被抽出的機會相等,則下列
敘述何者正確?
(A) 阿馮抽出紅球的機率比小潘抽出紅球的機率大
(B) 阿馮抽出紅球的機率比小潘抽出紅球的機率小
(C) 阿馮抽出黃球的機率比小潘抽出黃球的機率大
(D) 阿馮抽出黃球的機率比小潘抽出黃球的機率小

(C)

如圖,算出兩人抽到各種球的機率。
(A) (B) 錯誤,機率相等(都是 $\dfrac{2}{5}$ )
(C) 正確, $\dfrac{2}{5}>\dfrac{1}{5}$
(D) 錯誤
故選(C)

$$\begin{array} {c|c|c} &\text{阿馮}&\text{小潘}\\ \hline \text{紅球}&\dfrac{2}{5}&\dfrac{2}{5}\\ \text{黃球}&\dfrac{2}{5}&\dfrac{1}{5}\\ \text{綠球}&\dfrac{1}{5}&\dfrac{2}{5}\\ \end{array}$$


7.

算式 $\sqrt{6} \times (\dfrac{1}{\sqrt{3}}-1)$ 之值為何?
(A) $\sqrt{2} – \sqrt{6}$
(B) $\sqrt{2} − 1$
(C) $2 − \sqrt{6}$
(D) 1

(A)

$\begin{aligned}\sqrt{6} \times ( \dfrac{1}{\sqrt{3}} – 1 )&=\sqrt{6}\times\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{6}\times 1\\&=\sqrt{2}-\sqrt{6}\end{aligned}$
故選(A)


8.

若一元二次方程式 $x^2-8x-3\times 11=0$ 的兩根為 a、 b,且 a > b,則 a − 2b 之值為何?
(A) −25
(B) −19
(C) 5
(D) 17

(D)

將 $x^2-8x-3\times 11$ 做十字交乘,如圖,$x^2-8x-3\times 11=(x-11)(x+3)$
所以 $(x-11)(x+3)=0$ 的兩根為 $x=11,\ -3$ 。
又 $a>b$ ,可知 $a=11,\ b=-3$
故 $a-2b=17$ ,(D)

若一元二次方程式 x2 − 8x − 3×11 = 0 的兩根為 a、 b,且 a > b,
 則 a − 2b 之值為何?
(A) −25
(B) −19
(C) 5
(D) 17

9.

如圖 ( 一 ) ,△ ABC 中,D 為 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}} 的中點,以 D 為圓心,\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BD}} 長為半徑畫一弧交 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}} 於 E 點。 若 ∠A = 60°, ∠B = 100°,\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}=4 , 則扇形 BDE 的面積為何?
(A) $\displaystyle\frac{1}{3}\pi$

(B) $\displaystyle\frac{2}{3}\pi$

(C) $\displaystyle\frac{4}{9}\pi$

(D) $\displaystyle\frac{5}{9}\pi$

如圖 ( 一 ) ,△ ABC 中,D 為 BC 的中點,以 D 為圓心,BD 長為半徑畫一弧
交 AC於 E 點。 若 ∠A = 60°, ∠B = 100°,BC = 4, 則扇形 BDE 的面積為何?
(A) 1
3 π
(B) 2
3 π
(C) 4
9 π
(D) 5
9 π

(C)

因為 $\angle C=180^\circ-(\angle A+\angle B)=180^\circ-(60^\circ+100^\circ)=20^\circ$
而且 $\overline{DC}=\overline{BD}$ ( $D$ 為 $\overline{BC}$ 中點)、 $\overline{BD}=\overline{DE}$ (扇形的半徑) ,所以$\overline{DC}=\overline{DE}=2$ ,故 $\triangle CDE$ 是等腰三角形。由外角定理可知, $\angle EDB=\angle DEC+\angle DCE=20^\circ+20^\circ=40^\circ$
因此,扇形 $BDE$ 面積為 $\overline{DE}^2\pi\times\dfrac{40^\circ}{360^\circ}=\dfrac{4}{9}\pi$ ,故選(C)

如圖 ( 一 ) ,△ ABC 中,D 為 BC 的中點,以 D 為圓心,BD 長為半徑畫一弧
交 AC於 E 點。 若 ∠A = 60°, ∠B = 100°,BC = 4, 則扇形 BDE 的面積為何?
(A) 1
3 π
(B) 2
3 π
(C) 4
9 π
(D) 5
9 π

10.

圖 ( 二 ) 為大興電器行的促銷活動傳單,已知促銷第一天美食牌微波爐賣出 10 台,且其銷售額為 61000 元。若活動期間此款微波爐總共賣出 50 台,則其總銷售額為多少元?
(A) 305000
(B) 321000
(C) 329000
(D) 342000

圖 ( 二 ) 為大興電器行的促銷活動傳單,已知
促銷第一天美食牌微波爐賣出 10 台,且其
銷售額為 61000 元。若活動期間此款微波爐
總共賣出 50 台,則其總銷售額為多少元?
(A) 305000
(B) 321000
(C) 329000
(D) 342000

(C)

前 $10$ 台賣出 $61000\Rightarrow$ 前10每一台賣 $\dfrac{61000}{10}=6100$ (元)。所以前 $20$ 台的價格都是 $6100$ 元。因為這是折過 $800$ 元的價格,所以後30台每台價格為 $6100+800=6900$ 元。故這50台總共 $20\times 6100+30\times 6900=329000$ 元。(C)


11.

如圖 ( 三 ),五邊形 ABCDE 中有一正三角形 ACD。若 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AE}},∠ E = 115°,則 ∠ BAE 的度數為何?
(A) 115
(B) 120
(C) 125
(D) 130

如圖 ( 三 ),五邊形 ABCDE 中有一正三角形 ACD。
若 AB = DE,BC = AE,∠ E = 115°,則 ∠ BAE 的
度數為何?
(A) 115
(B) 120
(C) 125
(D) 130

(C)

因為 $\left\{\begin{array}{l} \overline{AB}=\overline{DE}\\ \overline{BC}=\overline{EA}\\ \overline{AC}=\overline{AD} (正三角形的邊)\end{array}\right.$
所以 $\triangle BCA\cong\triangle EAD$ (SSS全等) 。故
$\begin{aligned}\angle BAC+\angle EAD&=\angle BAC+\angle BCA\\&=180^\circ-\angle ABC\\&=180^\circ-115^\circ\\&=65^\circ \end{aligned}$
$\Rightarrow \angle BAE=\angle BAC+\angle EAD+\angle CAD=65^\circ+60^\circ=125^\circ$ ,故選(C)

如圖 ( 三 ),五邊形 ABCDE 中有一正三角形 ACD。
若 AB = DE,BC = AE,∠ E = 115°,則 ∠ BAE 的
度數為何?
(A) 115
(B) 120
(C) 125
(D) 130

12.

圖 ( 四 ) 為 O、A、B、C 四點在數線上的位置圖,其中 O 為原點,且 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}}=1\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OA}}=\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{OB}}。若 C 點所表示的數為 x,則 B 點所表示的數與下列何者相等?
(A) − ( x + 1)
(B) − ( x − 1)
(C) x + 1
(D) x − 1

圖 ( 四 ) 為 O、A、B、C 四點在數線上的位置圖,其中 O 為原點,且 AC = 1,
OA = OB。若 C 點所表示的數為 x,則 B 點所表示的數與下列何者相等?
(A) − ( x + 1)
(B) − ( x − 1)
(C) x + 1
(D) x − 1

(B)

由題目可知, $B$ 是 $A$ 的相反數。又 $A=C-1=x-1$ ,所以 $B=-A=-(x-1)$ ,故選(B)


13.

圖 ( 五 ) 的宣傳單為萊克印刷公司設計與印刷卡片計價方式的說明,妮娜打算請此印刷公司設計一款母親節卡片並印刷,她再將卡片以每張 15 元的價格販售。若利潤等於收入扣掉成本,且成本只考慮設計費與印刷費,則她至少需印多少張卡片,才可使得卡片全數售出後的利潤超過成本的 2 成?
(A) 112
(B) 121
(C) 134
(D) 143

圖 ( 五 ) 的宣傳單為萊克印刷公司設計與印刷卡片
計價方式的說明,妮娜打算請此印刷公司設計一款
母親節卡片並印刷,她再將卡片以每張 15 元的
價格販售。若利潤等於收入扣掉成本,且成本只
考慮設計費與印刷費,則她至少需印多少張卡片,
才可使得卡片全數售出後的利潤超過成本的 2 成?
(A) 112
(B) 121
(C) 134
(D) 143

(C)

設要賣 $x$ 張,利潤才會超過成本的兩成。則可列式 $$\begin{aligned}15x>(5x+1000)\times 1.2&\Rightarrow 9x>1200\\&\Rightarrow x>133\dfrac{1}{3}\end{aligned}$$ 故取整數, $x=134$ ,(C)


14.

如圖 ( 六 ),I 點為 △ ABC 的內心,D 點在 $\overline{{BC}}$ 上,且 $\overline{{ID}}\perp\overline{{BC}}$ 。若 ∠B = 44°,∠C = 56°,則 ∠AID 的度數為何?
(A) 174
(B) 176
(C) 178
(D) 180

如圖 ( 六 ),I 點為 △ ABC 的內心,D 點在 BC 上,
且 ID ⊥ BC。若 ∠ B = 44°,∠ C = 56°,則 ∠ AID
的度數為何?
(A) 174
(B) 176
(C) 178
(D) 180

(A)

觀察四邊形 $AIDC$ ,只要算出 $\angle IAC$ ,就能算出 $\angle AID$ 。因為 $I$ 為 $\triangle ABC$ 內心, $AI$ 平分 $\angle BAC$ ,所以 $$\angle IAC=\dfrac{\angle BAC}{2}=\dfrac{180^\circ-44^\circ-56^\circ}{2}=40^\circ$$ 因此,$$\begin{aligned}\angle AID&=360^\circ-\angle IAC-\angle ACD-\angle IDC\\&=360^\circ-40^\circ-56^\circ-90^\circ\\&=174^\circ\end{aligned}$$ 故選(A)

如圖 ( 六 ),I 點為 △ ABC 的內心,D 點在 BC 上,
且 ID ⊥ BC。若 ∠ B = 44°,∠ C = 56°,則 ∠ AID
的度數為何?
(A) 174
(B) 176
(C) 178
(D) 180

15.

圖 ( 七 ) 為一直角柱,其底面是三邊長為 5、 12、 13 的直角三角形。若下列選項中的圖形均由三個矩形與兩個直角三角形組合而成,且其中一個為圖 ( 七 ) 的直角柱的展開圖,則根據圖形中標示的邊長與直角記號判斷,此展開圖為何?

圖 ( 七 ) 為一直角柱,其底面是三邊長為 5、 12、 13 的
直角三角形。若下列選項中的圖形均由三個矩形與兩個
直角三角形組合而成,且其中一個為圖 ( 七 ) 的直角柱
的展開圖,則根據圖形中標示的邊長與直角記號判斷,
此展開圖為何?
圖 ( 七 ) 為一直角柱,其底面是三邊長為 5、 12、 13 的
直角三角形。若下列選項中的圖形均由三個矩形與兩個
直角三角形組合而成,且其中一個為圖 ( 七 ) 的直角柱
的展開圖,則根據圖形中標示的邊長與直角記號判斷,
此展開圖為何?

(D)

(A) 下面的三角形斜邊是 $13$ (不合)
(B) 三角形一股 $(12)$ 不能跟 $5$ 密合 (不合)
(C) 下方直角三角形一股 $(12)$ 不能跟 $5$ 密合 (不合)
(D) 吻合
故選(D)


16.

若小舒從 1 ~ 50 的整數中挑選 4 個數,使其由小到大排序後形成一等差數列,且 4 個數中最小的是 7,則下列哪一個數不可能出現在小舒挑選的數之中?
(A) 20
(B) 25
(C) 30
(D) 35

(C)

(A) $20-7=13$ ,四個數可為 $7,\ 20,\ 33,\ 46$
(B) $25-7=18$ , $18=6\times 3$ ,四個數可為 $7,\ 13,\ 19,\ 25$
(C) $30-7=23$ , $23=1\times 23$,
如果公差為 $1$ ,則四個數為 $7,\ 8,\ 9,\ 10$ (不合)
如果公差為 $23$ ,則四個數為 $7,\ 30,\ 53,\ 76$ (不合)
(D) $35-7=28$ , $28=14\times 2$ ,四個數可為 $7,\ 21,\ 35,\ 49$
故選(C)


17.

已知 $a = 3.1 \times 10^{−4}$, $b = 5.2 \times 10^{−8}$ , 判斷下列關於 $a – b$ 之值的敘述何者正確?
(A) 比 1 大
(B) 介於 0、 1 之間
(C) 介於 −1、0 之間
(D) 比 −1 小

(B)

因為 $0<b<a<1$ ,所以 $0<a-b<1$ ,故選(B)


18.

如圖 ( 八 ),銳角三角形 ABC 中, \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}} > \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}} > \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}} ,甲、 乙兩人想找一點 P, 使得 ∠BPC 與 ∠A 互補,其作法分別如下:
(甲)以 A 為圓心, \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}} 長為半徑畫弧交 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}} 於 P 點,則 P 即為所求
(乙) 作過 B 點且與 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}} 垂直的直線 L,作過 C 點且與 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}} 垂直的直線,交 L 於 P 點,則 P 即為所求
對於甲、乙兩人的作法,下列敘述何者正確?
(A) 兩人皆正確
(B) 兩人皆錯誤
(C) 甲正確,乙錯誤
(D) 甲錯誤,乙正確

如圖 ( 八 ),銳角三角形 ABC 中,BC > AB > AC,
 甲、 乙兩人想找一點 P, 使得 ∠BPC 與 ∠A 互補,
 其作法分別如下:
 (甲)以 A 為圓心,AC 長為半徑畫弧交 AB 於 P 點,
 則 P 即為所求
 (乙) 作過 B 點且與 AB 垂直的直線 L,作過 C 點且
 與 AC 垂直的直線,交 L 於 P 點,則 P 即為所求
 對於甲、乙兩人的作法,下列敘述何者正確?
(A) 兩人皆正確
(B) 兩人皆錯誤
(C) 甲正確,乙錯誤
(D) 甲錯誤,乙正確

(D)

(甲):如圖,以 $A$ 為圓心, $\overline{AC}$ 長為半徑畫弧交 $\overline{AB}$ 於 $P$ 點
$\overline{BC}>\overline{AB}\Rightarrow \angle A>\angle ACB$ (大邊對大角)。又因為 $\angle ACB>\angle ACP$ 而且 $\overline{AC}=\overline{AP}$ ,所以 $\angle A>\angle ACB>\angle ACP=\angle APC$ ,因此 $\angle BPC+\angle A>\angle BPC+\angle APC=180^\circ$ ,故 $\angle BPC$ 與 $\angle A$ 不互補

如圖 ( 八 ),銳角三角形 ABC 中,BC > AB > AC,
 甲、 乙兩人想找一點 P, 使得 ∠BPC 與 ∠A 互補,
 其作法分別如下:
 (甲)以 A 為圓心,AC 長為半徑畫弧交 AB 於 P 點,
 則 P 即為所求
 (乙) 作過 B 點且與 AB 垂直的直線 L,作過 C 點且
 與 AC 垂直的直線,交 L 於 P 點,則 P 即為所求
 對於甲、乙兩人的作法,下列敘述何者正確?
(A) 兩人皆正確
(B) 兩人皆錯誤
(C) 甲正確,乙錯誤
(D) 甲錯誤,乙正確

(乙):如圖,因為 $\angle ABP+\angle ACP=180^\circ$ ,所以 $\angle BPC+\angle A=360^\circ-180^\circ=180^\circ$ ,故 $\angle BPC$ 與 $\angle A$ 互補
故選(D)

如圖 ( 八 ),銳角三角形 ABC 中,BC > AB > AC,
 甲、 乙兩人想找一點 P, 使得 ∠BPC 與 ∠A 互補,
 其作法分別如下:
 (甲)以 A 為圓心,AC 長為半徑畫弧交 AB 於 P 點,
 則 P 即為所求
 (乙) 作過 B 點且與 AB 垂直的直線 L,作過 C 點且
 與 AC 垂直的直線,交 L 於 P 點,則 P 即為所求
 對於甲、乙兩人的作法,下列敘述何者正確?
(A) 兩人皆正確
(B) 兩人皆錯誤
(C) 甲正確,乙錯誤
(D) 甲錯誤,乙正確

19.

已知甲、乙兩班的學生人數相同,圖 ( 九 ) 為兩班某次數學小考成績的 盒狀圖。若甲班、乙班學生小考成績的中位數分別為 a、b;甲班、乙班中 小考成績超過 80 分的學生人數分別為 c、d,則下列 a、b、c、d 的 大小關,何者正確?
(A) a > b, c > d
(B) a > b, c < d
(C) a < b, c > d
(D) a < b, c < d

已知甲、乙兩班的學生人數相同,圖 ( 九 ) 為兩班某次數學小考成績的
盒狀圖。若甲班、乙班學生小考成績的中位數分別為 a、b;甲班、乙班中
小考成績超過 80 分的學生人數分別為 c、d,則下列 a、b、c、d 的
大小關係,何者正確?
(A) a > b, c > d
(B) a > b, c < d
(C) a < b, c > d
(D) a < b, c < d

(A)

已知甲、乙兩班的學生人數相同,圖 ( 九 ) 為兩班某次數學小考成績的
盒狀圖。若甲班、乙班學生小考成績的中位數分別為 a、b;甲班、乙班中
小考成績超過 80 分的學生人數分別為 c、d,則下列 a、b、c、d 的
大小關係,何者正確?
(A) a > b, c > d
(B) a > b, c < d
(C) a < b, c > d
(D) a < b, c < d


如圖,甲班的中位數>乙班的中位數,所以 $a>b$ 。
又甲班的中位數>80,乙班的中位數<80,所以甲班考超過80分的人數超過一半,乙班考超過80分的人少於一半。因此 $c>d$ 。
故選(A)

已知甲、乙兩班的學生人數相同,圖 ( 九 ) 為兩班某次數學小考成績的
盒狀圖。若甲班、乙班學生小考成績的中位數分別為 a、b;甲班、乙班中
小考成績超過 80 分的學生人數分別為 c、d,則下列 a、b、c、d 的
大小關係,何者正確?
(A) a > b, c > d
(B) a > b, c < d
(C) a < b, c > d
(D) a < b, c < d

20.

圖 ( 十 ) 的矩形 ABCD 中, 有一點 E 在 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AD}} 上, 今以 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BE}} 為摺線將 A 點往右摺,如圖 ( 十一 ) 所示。再作過 A 點且與 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CD}} 垂直的直線,交 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CD}} 於F 點,如圖 ( 十二 ) 所示。若 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}=6\sqrt{3}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}=13 ,∠BEA = 60°, 則圖 ( 十二 ) 中 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AF}} 的長度為何?

圖 ( 十 ) 的矩形 ABCD 中, 有一點 E 在 AD 上, 今以 BE 為摺線將 A 點
往右摺,如圖 ( 十一 ) 所示。再作過 A 點且與 CD 垂直的直線,交 CD 於
F 點,如圖 ( 十二 ) 所示。若 AB = 6 3, BC = 13,∠ BEA = 60°, 則
圖 ( 十二 ) 中 AF 的長度為何?
(A) 2
(B) 4
(C) 2 3
(D) 4 3

(A) 2
(B) 4
(C) 2 3
(D) 4 3

(B)

如圖,作 $\overline{AP}\perp \overline{BC}$ , 因為$\angle ABC=90^\circ-30^\circ-30^\circ=30^\circ$ 。所以 $\overline{BP}=6\sqrt{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=9$ 。故 $\overline{AF}=\overline{BC}-\overline{BP}=13-9=4$ ,(B)

圖 ( 十 ) 的矩形 ABCD 中, 有一點 E 在 AD 上, 今以 BE 為摺線將 A 點
往右摺,如圖 ( 十一 ) 所示。再作過 A 點且與 CD 垂直的直線,交 CD 於
F 點,如圖 ( 十二 ) 所示。若 AB = 6 3, BC = 13,∠ BEA = 60°, 則
圖 ( 十二 ) 中 AF 的長度為何?
(A) 2
(B) 4
(C) 2 3
(D) 4 3

21.

已知坐標平面上有一直線 L,其方程式為 y + 2= 0,且 L 與二次函數 $y= 3x^2+a$ 的圖形相交於 A、 B 兩點;與二次函數 $y=-2x^2+b$ 的圖形相交於 C、 D 兩點,其中 a、b 為整數。若 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}=2\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CD}}=4 ,則 a + b 之值為何?
(A) 1
(B) 9
(C) 16
(D) 24

(A)

如右圖,因為 $y = 3x^2 + a$ 的對稱軸是$x=0 $ 而且 $\overline{AB}=2$ ,所以 $B$ 點座標為 $(1,-2)$ 代入 $y = 3x^2 + a$ $\Rightarrow -2=3+a\Rightarrow a=-5$。同理, $D$ 點座標為 $(2,-2)$ 代入 $y = -2x^2+b$ $\Rightarrow -2=-8+b\Rightarrow b=6$
故 $a+b=-5+6=1$ ,(A)
(注意: $A$ 與 $B$ 、 $C$ 與 $D$ 座標可能會反過來,不過不會影響最後的結果。)

已知坐標平面上有一直線 L,其方程式為 y + 2= 0,且 L 與二次函數 y = 3x2 + a 的
圖形相交於 A、 B 兩點;與二次函數 y = −2x2 + b 的圖形相交於 C、 D 兩點,
其中 a、b 為整數。若 AB = 2,CD = 4 ,則 a + b 之值為何?
(A) 1
(B) 9
(C) 16
(D) 24

22.

如圖 ( 十三 ), 兩圓外切於 P 點,且通過 P 點的公切線為 L。過 P 點作兩直線, 兩直線與兩圓的 交點為 A、B、C、D,其位置如圖 ( 十三 ) 所示。 若 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AP}}=10\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{CP}}=9 ,則下列角度關係何者正確?
(A) ∠ PBD > ∠ PAC
(B) ∠ PBD < ∠ PAC
(C) ∠ PBD > ∠ PDB
(D) ∠ PBD < ∠ PDB

如圖 ( 十三 ), 兩圓外切於 P 點,且通過 P 點的
公切線為 L。過 P 點作兩直線, 兩直線與兩圓的
交點為 A、B、C、D,其位置如圖 ( 十三 ) 所示。
若 AP = 10, CP = 9,則下列角度關係何者正確?
(A) ∠ PBD > ∠ PAC
(B) ∠ PBD < ∠ PAC
(C) ∠ PBD > ∠ PDB
(D) ∠ PBD < ∠ PDB

(D)

由於
$$\left\{\begin{array}{l} \angle A=\angle 1 (弦切角與圓周角對的弧相等)\\ \angle 1=\angle 2 (對頂角)\\ \angle 2=\angle B (弦切角與圓周角對的弧相等)\end{array}\right.$$
所以 $\angle A=\angle B$ ,
同理 $\angle C=\angle D$ 。
由三角形的大邊對大角性質可知:因為 $\overline{AP}>\overline{CP}$ ,所以 $\angle C>\angle A$ ,故 $\angle D> \angle B$ ,也就是 $\angle PDB>\angle PBD$ ,故選(D)

如圖 ( 十三 ), 兩圓外切於 P 點,且通過 P 點的
公切線為 L。過 P 點作兩直線, 兩直線與兩圓的
交點為 A、B、C、D,其位置如圖 ( 十三 ) 所示。
若 AP = 10, CP = 9,則下列角度關係何者正確?
(A) ∠ PBD > ∠ PAC
(B) ∠ PBD < ∠ PAC
(C) ∠ PBD > ∠ PDB
(D) ∠ PBD < ∠ PDB

23.

小柔想要搾果汁,她有蘋果、芭樂、柳丁三種水果,且其顆數比為 9: 7 : 6。小柔搾完果汁後,蘋果、芭樂、柳丁的顆數比變為 6 : 3 : 4。已知小柔搾果汁時沒有使用柳丁,關於她搾果汁時另外兩種水果的使用情形,下列敘述何者正確?
(A) 只使用蘋果
(B) 只使用芭樂
(C) 使用蘋果及芭樂,且使用的蘋果顆數比使用的芭樂顆數多
(D) 使用蘋果及芭樂,且使用的芭樂顆數比使用的蘋果顆數多

(B)

速解:先算出 $6,4$ 的最小公倍數是12,假設柳丁顆數為12顆,則搾前蘋果18顆、芭樂14顆;搾後蘋果18顆、芭樂9顆。故只使用芭樂,(B)
另解:假設原本蘋果、芭樂、柳丁顆數分別為 $9x$ 、 $7x$ 、 $6x$ ,搾完之後顆數分別為 $6y$ 、 $3y$ 、 $4y$ ,因為沒有使用柳丁 $\Rightarrow 6x=4y\Rightarrow y=\dfrac{3x}{2}$
因此代回搾完之後顆數分別為 $9x$ 、 $\dfrac{9x}{2}$ 、 $6x$ 。故蘋果顆數不變、芭樂變少,(B)


24.

如圖 ( 十四 ),△ ABC、△ FGH 中, D、E 兩點分別在 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}} 上, F 點在 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}} 上,G、H 兩點在 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}} 上,且 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{DE}} /\mskip-4mu/  \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BC}}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FG}} /\mskip-4mu/  \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AB}}\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{FH}} /\mskip-4mu/  \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{AC}} 。若 \overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{BG}} :\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{GH}} :\overline{\raisebox{0pt}[1.2\height]{HC}}= 4:6:5 ,則 △ADE 與 △FGH 的面積比為何?
(A) 2:1
(B) 3:2
(C) 5:2
(D) 9:4

如圖 ( 十四 ),△ ABC、△ FGH 中, D、E 兩點分別在 AB、 AC 上, F 點
在 DE 上,G、H 兩點在 BC 上,且 DE // BC,FG // AB,FH // AC。
 若 BG:GH:HC = 4:6:5,則 △ ADE 與 △ FGH 的面積比為何?
(A) 2:1
(B) 3:2
(C) 5:2
(D) 9:4

(D)

$\left\{\begin{array}{l} \overline{DF}//\overline{BG}\\ \overline{FG}//\overline{BD}\end{array}\right.$ $\Rightarrow BDFG$ 為平行四邊形,同理 $FECH$ 為平行四邊形。故 $\overline{DF}=\overline{BG}$ 、 $\overline{FE}=\overline{HC}$ 。由平行的性質可知 $\angle 1=\angle 3=\angle 5$ 、 $\angle 2=\angle 4=\angle 6$ ,所以 $\triangle ADE\sim\triangle FGH (AA相似)$ 。相似三角形的面積比等於邊長平方比,故
$\begin{aligned}\triangle ADE:\triangle FGH&=\overline{DE}^2:\overline{GH}^2\\&=(4+5)^2:6^2\\&=81:36\\&=9:4\end{aligned}$ ,(D)

如圖 ( 十四 ),△ ABC、△ FGH 中, D、E 兩點分別在 AB、 AC 上, F 點
在 DE 上,G、H 兩點在 BC 上,且 DE // BC,FG // AB,FH // AC。
 若 BG:GH:HC = 4:6:5,則 △ ADE 與 △ FGH 的面積比為何?
(A) 2:1
(B) 3:2
(C) 5:2
(D) 9:4

25.

某商店將巧克力包裝成方形、圓形禮盒出售,且每盒方形禮盒的價錢相同,每盒圓形禮盒的價錢相同。阿郁原先想購買 3 盒方形禮盒和 7 盒圓形禮盒,但他身上的錢會不足 240 元,如果改成購買 7 盒方形禮盒和 3 盒圓形禮盒,他身上的錢會剩下 240 元。若阿郁最後購買 10 盒方形禮,則他身上的錢會剩下多少元?
(A) 360
(B) 480
(C) 600
(D) 720

(C)

設方形禮盒 $x$ 元,圓形禮盒 $y$ 元,由題意可列式: $3x+7y-240=7x+3y+240\Rightarrow y-x=120$
原本錢有 $7x+3y+240$ 元,買了10個方形禮盒剩 $\begin{aligned}7x+3y+240-10x&=3y-3x+240\\&=3\times 120 +240\\&=600\end{aligned}$ 元。故選(C)


26.

如圖 ( 十五 ),坐標平面上, A、B 兩點分別為圓 P 與 x 軸、y 軸的交點,有一直線 L 通過 P 點且與 AB 垂直,C 點為 L 與 y 軸的交點。若 A、 B、 C 的 坐標分別為 $(a , 0)$ 、 $(0 , 4)$ 、 $(0 , −5)$ , 其中 a < 0, 則 a 的值為何?
(A) $-2\sqrt{14}$
(B) $-2\sqrt{5}$
(C) $-8$
(D) $-7$

如圖 ( 十五 ),坐標平面上, A、B 兩點分別為圓 P
與 x 軸、y 軸的交點,有一直線 L 通過 P 點且與 AB
垂直,C 點為 L 與 y 軸的交點。若 A、 B、 C 的
坐標分別為 (a , 0)、(0 , 4)、(0 , −5), 其中 a < 0,
則 a 的值為何?
(A) −2 14
(B) −2 5
(C) −8
(D) −7

(A)

連接 $\overline{AC}$ ,由於 $L$ 為 $\overline{AB}$ 的中垂線,利用中垂線性質可知 $\overline{AC}=\overline{BC}=9$ ,故 $\begin{aligned}a&=\overline{AO}\\&=\sqrt{\overline{AC}^2-\overline{OC}^2}\\&=\sqrt{9^2-5^2}\\&=2\sqrt{14}\end{aligned}$
(A)

如圖 ( 十五 ),坐標平面上, A、B 兩點分別為圓 P
與 x 軸、y 軸的交點,有一直線 L 通過 P 點且與 AB
垂直,C 點為 L 與 y 軸的交點。若 A、 B、 C 的
坐標分別為 (a , 0)、(0 , 4)、(0 , −5), 其中 a < 0,
則 a 的值為何?
(A) −2 14
(B) −2 5
(C) −8
(D) −7

107會考數學第二部分:非選擇題

1.

一個箱子內有 4 顆相同的球,將 4 顆球分別標示號碼 1、2、3、4,今翔翔以每次從箱子內取一顆球且取後放回的方式抽取,並預計取球 10 次,現已取了8 次,取出的結果如表 ( 二 ) 所列:

一個箱子內有 4 顆相同的球,將 4 顆球分別標示號碼 1、2、3、4,今翔翔以
每次從箱子內取一顆球且取後放回的方式抽取,並預計取球 10 次,現已取了
8 次,取出的結果如表 ( 二 ) 所列:
 若每次取球時,任一顆球被取到的機會皆相等,且取出的號碼即為得分,請
回答下列問題:
 (1) 請求出第 1 次至第 8 次得分的平均數。
 (2) 承 (1),翔翔打算依計畫繼續從箱子取球 2 次,請判斷是否可能發生「這
 10 次得分的平均數不小於 2.2,且不大於 2.4」的情形?若有可能,請計
 算出發生此情形的機率,並完整寫出你的解題過程;若不可能,請完整說
 明你的理由。

若每次取球時,任一顆球被取到的機會皆相等,且取出的號碼即為得分,請回答下列問題:
(1) 請求出第 1 次至第 8 次得分的平均數。
(2) 承 (1),翔翔打算依計畫繼續從箱子取球 2 次,請判斷是否可能發生「這10 次得分的平均數不小於 2.2,且不大於 2.4」的情形?若有可能,請計算出發生此情形的機率,並完整寫出你的解題過程;若不可能,請完整說明你的理由。

(1)

$\dfrac{1+3+4+4+2+1+4+1}{8}=\dfrac{20}{8}=2.5$

(2)

假設第9次得 $x$ 分,第10次得 $y$ 分,則 $10$ 次得分的平均為 $\dfrac{20+x+y}{10}$
首先先算出取球總共有幾種可能,因為 $x$ 可以是 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、$4$ , $y$ 也可以是 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、$4$ ,所以一共有 $4\times 4$ 種可能。

接著解 $2.2<\dfrac{20+x+y}{10}<2.4\Rightarrow 2\leq x+y\leq 4$ ,則 $(x,y)$ 的可能解為 $(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)$ 共6種。
故發生此情形的機率為 $\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$ 。

此題詳細評分標準請看第一題評分指引,以及滿分範本


2.

嘉嘉參加機器人設計活動,需操控機器人在5 × 5 的方格棋盤上從A點行走至B 點,且每個小方格皆為正方形。主辦單位規定了三條行走路徑 R1、R2、R3,其行經位置如圖 ( 十六 ) 與表 ( 三 ) 所示:

嘉嘉參加機器人設計活動,需操控機器人在5 × 5 的方格棋盤上從A點行走至
B 點,且每個小方格皆為正方形。主辦單位規定了三條行走路徑 R1、R2、R3,其
行經位置如圖 ( 十六 ) 與表 ( 三 ) 所示:
 已知 A、B、C、D、E、F、G 七點皆落在格線的交點上,且兩點之間的路徑
皆為直線,在無法使用任何工具測量的條件下,請判斷 R1、R2、R3 這三條路
徑中,最長與最短的路徑分別為何?請寫出你的答案,並完整說明理由。

已知 A、B、C、D、E、F、G 七點皆落在格線的交點上,且兩點之間的路徑皆為直線,在無法使用任何工具測量的條件下,請判斷 R1、R2、R3 這三條路徑中,最長與最短的路徑分別為何?請寫出你的答案,並完整說明理由。

先比較 $R_1$ 與 $R_2$ ,由於 $\overline{AC}=\overline{ED}$ 、 $\overline{CD}=\overline{AE}$ ,所以前段從 $A$ 到 $D$ 的長度一樣。 在後段中因為 $\overline{DF}+\overline{FB}>\overline{DB}$ (三角形兩邊之和大於第三邊),所以 $R_2>R_1$ 。
接著比較 $R_1$ 與 $R_3$ ,由於 $\overline{AG}=\overline{AD}$ ,所以 $\overline{AC}+\overline{CD}>\overline{AD}$ (三角形兩邊之和大於第三邊),又 $\overline{DB}=\overline{GB}$ ,所以 $R_1>R_3$ 。
故可得 $R_2>R_1>R_3$ 。
因此, $R_2$ 最長, $R_3$ 最短。

嘉嘉參加機器人設計活動,需操控機器人在5 × 5 的方格棋盤上從A點行走至
B 點,且每個小方格皆為正方形。主辦單位規定了三條行走路徑 R1、R2、R3,其
行經位置如圖 ( 十六 ) 與表 ( 三 ) 所示:
 已知 A、B、C、D、E、F、G 七點皆落在格線的交點上,且兩點之間的路徑
皆為直線,在無法使用任何工具測量的條件下,請判斷 R1、R2、R3 這三條路
徑中,最長與最短的路徑分別為何?請寫出你的答案,並完整說明理由。

此題詳細評分標準請看第二題評分指引,以及滿分範本

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