107會考數學詳解｜107國中教育會考數學詳解

下列選項中的圖形有一個為線對稱圖形，判斷此圖形為？

(D)

如圖，(D)有兩條對稱軸，所以是線對稱圖形。故選(D)
(注意(A)、(B)是點對稱圖形)

2.

已知 ， ， ，判斷下列敘述何者正確？
(A) a = c， b = c
(B) a = c， b ≠ c
(C) a ≠ c， b = c
(D) a ≠ c， b ≠ c

(B)

因此 ，也就是 。故選(B)

3.

已知坐標平面上， 一次函數 y = 3x + a 的圖形通過點 (0 , −4)，其中 a 為一數，求 a 的值為何？
(A) −12
(B) −4
(C) 4
(D) 12

(B)

將 $(0,-4)$ 代入 $y=3x+a$ 即可解出 $a$ 。
，故選(B)

4.

已知某文具店販售的筆記本每本售價均相等且超過 10元，小錦和小勳在此文具店分別購買若干本筆記本。若小錦購買筆記本的花費為 36 元，則小勳購買筆記本的花費可能為下列何者？
(A) 16 元
(B) 27 元
(C) 30 元
(D) 48 元

36的因數有1、2、3、4、6、9、12、18、36 ，其中超過10的只有12、18、36。
意思就是一本筆記本的售價只可能是12、18、36元。選項中只有 $48=4\times 12$ 是12的倍數，其他選項都不是12、18、36的倍數。所以小勳購買筆記本的花費只可能是48元，故選(D)

5.

若二元一次聯立方程式 的解為 x = a ， y = b，則 a + b 之值為何？
(A) 24
(B) 0
(C) −4
(D) −8

(A)

解二元一次聯立方程式，將第二式乘3之後兩式相減。

相減得到 $2x=16\Rightarrow x=8$ 代回式1， 可得 $y=16$
因此，
故 $a+b=24$ ，故選(A)

6.

已知甲、乙兩袋中各裝有若干顆球，其種類與數量如表 ( 一 ) 所示。今阿馮打算從甲袋中抽出一顆球，小潘打算從乙袋中抽出一顆球，若甲袋中每顆球被抽出的機會相等，且乙袋中每顆球被抽出的機會相等，則下列敘述何者正確？
(A) 阿馮抽出紅球的機率比小潘抽出紅球的機率大
(B) 阿馮抽出紅球的機率比小潘抽出紅球的機率小
(C) 阿馮抽出黃球的機率比小潘抽出黃球的機率大
(D) 阿馮抽出黃球的機率比小潘抽出黃球的機率小

(C)

如圖，算出兩人抽到各種球的機率。
(A) (B) 錯誤，機率相等(都是 $\dfrac{2}{5}$ )
(C) 正確， $\dfrac{2}{5}>\dfrac{1}{5}$
(D) 錯誤。
故選(C)

7.

算式 $\sqrt{6} \times (\dfrac{1}{\sqrt{3}}-1)$ 之值為何？
(A) $\sqrt{2} – \sqrt{6}$
(B) $\sqrt{2} − 1$
(C) $2 − \sqrt{6}$
(D) 1

(A)

$\begin{aligned}\sqrt{6} \times ( \dfrac{1}{\sqrt{3}} – 1 )&=\sqrt{6}\times\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{6}\times 1\\&=\sqrt{2}-\sqrt{6}\end{aligned}$
故選(A)

8.

若一元二次方程式 $x^2-8x-3\times 11=0$ 的兩根為 a、 b，且 a > b，則 a − 2b 之值為何？
(A) −25
(B) −19
(C) 5
(D) 17

(D)

將 $x^2-8x-3\times 11$ 做十字交乘，如圖，$x^2-8x-3\times 11=(x-11)(x+3)$
所以 $(x-11)(x+3)=0$ 的兩根為 $x=11,\ -3$ 。
又 $a>b$ ，可知 $a=11,\ b=-3$
故 $a-2b=17$ ，選(D)

9.

如圖 ( 一 ) ，△ ABC 中，D 為 的中點，以 D 為圓心， 長為半徑畫一弧交 於 E 點。 若 ∠A = 60°， ∠B = 100°， ， 則扇形 BDE 的面積為何？
(A) $\displaystyle\frac{1}{3}\pi$

(B) $\displaystyle\frac{2}{3}\pi$

(C) $\displaystyle\frac{4}{9}\pi$

(D) $\displaystyle\frac{5}{9}\pi$

(C)

因為 $\angle C=180^\circ-(\angle A+\angle B)=180^\circ-(60^\circ+100^\circ)=20^\circ$
而且 $\overline{DC}=\overline{BD}$ ( $D$ 為 $\overline{BC}$ 中點)、 $\overline{BD}=\overline{DE}$ (扇形的半徑) ，所以$\overline{DC}=\overline{DE}=2$ ，故 $\triangle CDE$ 是等腰三角形。由外角定理可知， $\angle EDB=\angle DEC+\angle DCE=20^\circ+20^\circ=40^\circ$
因此，扇形 $BDE$ 面積為 $\overline{DE}^2\pi\times\dfrac{40^\circ}{360^\circ}=\dfrac{4}{9}\pi$ ，故選(C)

10.

圖 ( 二 ) 為大興電器行的促銷活動傳單，已知促銷第一天美食牌微波爐賣出 10 台，且其銷售額為 61000 元。若活動期間此款微波爐總共賣出 50 台，則其總銷售額為多少元？
(A) 305000
(B) 321000
(C) 329000
(D) 342000

(C)

前 $10$ 台賣出 $61000\Rightarrow$ 前10每一台賣 $\dfrac{61000}{10}=6100$ (元)。所以前 $20$ 台的價格都是 $6100$ 元。因為這是折過 $800$ 元的價格，所以後30台每台價格為 $6100+800=6900$ 元。故這50台總共 $20\times 6100+30\times 6900=329000$ 元。選(C)

11.

如圖 ( 三 )，五邊形 ABCDE 中有一正三角形 ACD。若 ，，∠ E = 115°，則 ∠ BAE 的度數為何？
(A) 115
(B) 120
(C) 125
(D) 130

(C)

因為 $\left\{\begin{array}{l} \overline{AB}=\overline{DE}\\ \overline{BC}=\overline{EA}\\ \overline{AC}=\overline{AD} (正三角形的邊)\end{array}\right.$
所以 $\triangle BCA\cong\triangle EAD$ (SSS全等) 。故
$\begin{aligned}\angle BAC+\angle EAD&=\angle BAC+\angle BCA\\&=180^\circ-\angle ABC\\&=180^\circ-115^\circ\\&=65^\circ \end{aligned}$
$\Rightarrow \angle BAE=\angle BAC+\angle EAD+\angle CAD=65^\circ+60^\circ=125^\circ$ ，故選(C)

12.

圖 ( 四 ) 為 O、A、B、C 四點在數線上的位置圖，其中 O 為原點，且 ，。若 C 點所表示的數為 x，則 B 點所表示的數與下列何者相等？
(A) − ( x + 1)
(B) − ( x − 1)
(C) x + 1
(D) x − 1

(B)

由題目可知， $B$ 是 $A$ 的相反數。又 $A=C-1=x-1$ ，所以 $B=-A=-(x-1)$ ，故選(B)

13.

圖 ( 五 ) 的宣傳單為萊克印刷公司設計與印刷卡片計價方式的說明，妮娜打算請此印刷公司設計一款母親節卡片並印刷，她再將卡片以每張 15 元的價格販售。若利潤等於收入扣掉成本，且成本只考慮設計費與印刷費，則她至少需印多少張卡片，才可使得卡片全數售出後的利潤超過成本的 2 成？
(A) 112
(B) 121
(C) 134
(D) 143

(C)

設要賣 $x$ 張，利潤才會超過成本的兩成。則可列式 $$\begin{aligned}15x>(5x+1000)\times 1.2&\Rightarrow 9x>1200\\&\Rightarrow x>133\dfrac{1}{3}\end{aligned}$$ 故取整數， $x=134$ ，選(C)

14.

如圖 ( 六 )，I 點為 △ ABC 的內心，D 點在 $\overline{{BC}}$ 上，且 $\overline{{ID}}\perp\overline{{BC}}$ 。若 ∠B = 44°，∠C = 56°，則 ∠AID 的度數為何？
(A) 174
(B) 176
(C) 178
(D) 180

(A)

觀察四邊形 $AIDC$ ，只要算出 $\angle IAC$ ，就能算出 $\angle AID$ 。因為 $I$ 為 $\triangle ABC$ 內心， $AI$ 平分 $\angle BAC$ ，所以 $$\angle IAC=\dfrac{\angle BAC}{2}=\dfrac{180^\circ-44^\circ-56^\circ}{2}=40^\circ$$ 因此，$$\begin{aligned}\angle AID&=360^\circ-\angle IAC-\angle ACD-\angle IDC\\&=360^\circ-40^\circ-56^\circ-90^\circ\\&=174^\circ\end{aligned}$$ 故選(A)

15.

圖 ( 七 ) 為一直角柱，其底面是三邊長為 5、 12、 13 的直角三角形。若下列選項中的圖形均由三個矩形與兩個直角三角形組合而成，且其中一個為圖 ( 七 ) 的直角柱的展開圖，則根據圖形中標示的邊長與直角記號判斷，此展開圖為何？

(D)

(A) 下面的三角形斜邊是 $13$ (不合)
(B) 三角形一股 $(12)$ 不能跟 $5$ 密合 (不合)
(C) 下方直角三角形一股 $(12)$ 不能跟 $5$ 密合 (不合)
(D) 吻合
故選(D)

16.

若小舒從 1 ~ 50 的整數中挑選 4 個數，使其由小到大排序後形成一等差數列，且 4 個數中最小的是 7，則下列哪一個數不可能出現在小舒挑選的數之中？
(A) 20
(B) 25
(C) 30
(D) 35

(C)

(A) $20-7=13$ ，四個數可為 $7,\ 20,\ 33,\ 46$
(B) $25-7=18$ ， $18=6\times 3$ ，四個數可為 $7,\ 13,\ 19,\ 25$
(C) $30-7=23$ ， $23=1\times 23$，
如果公差為 $1$ ，則四個數為 $7,\ 8,\ 9,\ 10$ (不合)
如果公差為 $23$ ，則四個數為 $7,\ 30,\ 53,\ 76$ (不合)
(D) $35-7=28$ ， $28=14\times 2$ ，四個數可為 $7,\ 21,\ 35,\ 49$
故選(C)

(B)

因為 $0<b<a<1$ ，所以 $0<a-b<1$ ，故選(B)

18.

如圖 ( 八 )，銳角三角形 ABC 中， ，甲、 乙兩人想找一點 P， 使得 ∠BPC 與 ∠A 互補，其作法分別如下：
(甲)以 A 為圓心， 長為半徑畫弧交 於 P 點，則 P 即為所求
(乙) 作過 B 點且與 垂直的直線 L，作過 C 點且與 垂直的直線，交 L 於 P 點，則 P 即為所求
對於甲、乙兩人的作法，下列敘述何者正確？
(A) 兩人皆正確
(B) 兩人皆錯誤
(C) 甲正確，乙錯誤
(D) 甲錯誤，乙正確

(D)

(甲)：如圖，以 $A$ 為圓心， $\overline{AC}$ 長為半徑畫弧交 $\overline{AB}$ 於 $P$ 點
$\overline{BC}>\overline{AB}\Rightarrow \angle A>\angle ACB$ (大邊對大角)。又因為 $\angle ACB>\angle ACP$ 而且 $\overline{AC}=\overline{AP}$ ，所以 $\angle A>\angle ACB>\angle ACP=\angle APC$ ，因此 $\angle BPC+\angle A>\angle BPC+\angle APC=180^\circ$ ，故 $\angle BPC$ 與 $\angle A$ 不互補

(乙)：如圖，因為 $\angle ABP+\angle ACP=180^\circ$ ，所以 $\angle BPC+\angle A=360^\circ-180^\circ=180^\circ$ ，故 $\angle BPC$ 與 $\angle A$ 互補。
故選(D)

19.

已知甲、乙兩班的學生人數相同，圖 ( 九 ) 為兩班某次數學小考成績的 盒狀圖。若甲班、乙班學生小考成績的中位數分別為 a、b；甲班、乙班中 小考成績超過 80 分的學生人數分別為 c、d，則下列 a、b、c、d 的 大小關，何者正確？
(A) a > b， c > d
(B) a > b， c < d
(C) a < b， c > d
(D) a < b， c < d

(A)

如圖，甲班的中位數>乙班的中位數，所以 $a>b$ 。
又甲班的中位數>80，乙班的中位數<80，所以甲班考超過80分的人數超過一半，乙班考超過80分的人少於一半。因此 $c>d$ 。
故選(A)

20.

圖 ( 十 ) 的矩形 ABCD 中， 有一點 E 在 上， 今以 為摺線將 A 點往右摺，如圖 ( 十一 ) 所示。再作過 A 點且與 垂直的直線，交 於F 點，如圖 ( 十二 ) 所示。若 ， ，∠BEA = 60°， 則圖 ( 十二 ) 中 的長度為何？

(A) 2
(B) 4
(C) 2 3
(D) 4 3

(B)

如圖，作 $\overline{AP}\perp \overline{BC}$ ， 因為$\angle ABC=90^\circ-30^\circ-30^\circ=30^\circ$ 。所以 $\overline{BP}=6\sqrt{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=9$ 。故 $\overline{AF}=\overline{BC}-\overline{BP}=13-9=4$ ，選(B)

21.

已知坐標平面上有一直線 L，其方程式為 y + 2= 0，且 L 與二次函數 $y= 3x^2+a$ 的圖形相交於 A、 B 兩點；與二次函數 $y=-2x^2+b$ 的圖形相交於 C、 D 兩點，其中 a、b 為整數。若 ， ，則 a + b 之值為何？
(A) 1
(B) 9
(C) 16
(D) 24

(A)

如右圖，因為 $y = 3x^2 + a$ 的對稱軸是$x=0 $ 而且 $\overline{AB}=2$ ，所以 $B$ 點座標為 $(1,-2)$ 代入 $y = 3x^2 + a$ $\Rightarrow -2=3+a\Rightarrow a=-5$。同理， $D$ 點座標為 $(2,-2)$ 代入 $y = -2x^2+b$ $\Rightarrow -2=-8+b\Rightarrow b=6$
故 $a+b=-5+6=1$ ，選(A)
(注意： $A$ 與 $B$ 、 $C$ 與 $D$ 座標可能會反過來，不過不會影響最後的結果。)

22.

如圖 ( 十三 )， 兩圓外切於 P 點，且通過 P 點的公切線為 L。過 P 點作兩直線， 兩直線與兩圓的 交點為 A、B、C、D，其位置如圖 ( 十三 ) 所示。 若 ， ，則下列角度關係何者正確？
(A) ∠ PBD > ∠ PAC
(B) ∠ PBD < ∠ PAC
(C) ∠ PBD > ∠ PDB
(D) ∠ PBD < ∠ PDB

(D)

由於
$$\left\{\begin{array}{l} \angle A=\angle 1 (弦切角與圓周角對的弧相等)\\ \angle 1=\angle 2 (對頂角)\\ \angle 2=\angle B (弦切角與圓周角對的弧相等)\end{array}\right.$$
所以 $\angle A=\angle B$ ，
同理 $\angle C=\angle D$ 。
由三角形的大邊對大角性質可知：因為 $\overline{AP}>\overline{CP}$ ，所以 $\angle C>\angle A$ ，故 $\angle D> \angle B$ ，也就是 $\angle PDB>\angle PBD$ ，故選(D)

23.

小柔想要搾果汁，她有蘋果、芭樂、柳丁三種水果，且其顆數比為 9： 7 ： 6。小柔搾完果汁後，蘋果、芭樂、柳丁的顆數比變為 6 ： 3 ： 4。已知小柔搾果汁時沒有使用柳丁，關於她搾果汁時另外兩種水果的使用情形，下列敘述何者正確？
(A) 只使用蘋果
(B) 只使用芭樂
(C) 使用蘋果及芭樂，且使用的蘋果顆數比使用的芭樂顆數多
(D) 使用蘋果及芭樂，且使用的芭樂顆數比使用的蘋果顆數多

(B)

速解：先算出 $6,4$ 的最小公倍數是12，假設柳丁顆數為12顆，則搾前蘋果18顆、芭樂14顆；搾後蘋果18顆、芭樂9顆。故只使用芭樂，選(B)
另解：假設原本蘋果、芭樂、柳丁顆數分別為 $9x$ 、 $7x$ 、 $6x$ ，搾完之後顆數分別為 $6y$ 、 $3y$ 、 $4y$ ，因為沒有使用柳丁 $\Rightarrow 6x=4y\Rightarrow y=\dfrac{3x}{2}$
因此代回搾完之後顆數分別為 $9x$ 、 $\dfrac{9x}{2}$ 、 $6x$ 。故蘋果顆數不變、芭樂變少，選(B)

24.

如圖 ( 十四 )，△ ABC、△ FGH 中， D、E 兩點分別在 、 上， F 點在 上，G、H 兩點在 上，且 ， ， 。若 ，則 △ADE 與 △FGH 的面積比為何？
(A) 2：1
(B) 3：2
(C) 5：2
(D) 9：4

(D)

$\left\{\begin{array}{l} \overline{DF}//\overline{BG}\\ \overline{FG}//\overline{BD}\end{array}\right.$ $\Rightarrow BDFG$ 為平行四邊形，同理 $FECH$ 為平行四邊形。故 $\overline{DF}=\overline{BG}$ 、 $\overline{FE}=\overline{HC}$ 。由平行的性質可知 $\angle 1=\angle 3=\angle 5$ 、 $\angle 2=\angle 4=\angle 6$ ，所以 $\triangle ADE\sim\triangle FGH (AA相似)$ 。相似三角形的面積比等於邊長平方比，故
$\begin{aligned}\triangle ADE:\triangle FGH&=\overline{DE}^2:\overline{GH}^2\\&=(4+5)^2:6^2\\&=81:36\\&=9:4\end{aligned}$ ，選(D)

25.

某商店將巧克力包裝成方形、圓形禮盒出售，且每盒方形禮盒的價錢相同，每盒圓形禮盒的價錢相同。阿郁原先想購買 3 盒方形禮盒和 7 盒圓形禮盒，但他身上的錢會不足 240 元，如果改成購買 7 盒方形禮盒和 3 盒圓形禮盒，他身上的錢會剩下 240 元。若阿郁最後購買 10 盒方形禮，則他身上的錢會剩下多少元？
(A) 360
(B) 480
(C) 600
(D) 720

(C)

設方形禮盒 $x$ 元，圓形禮盒 $y$ 元，由題意可列式： $3x+7y-240=7x+3y+240\Rightarrow y-x=120$
原本錢有 $7x+3y+240$ 元，買了10個方形禮盒剩 $\begin{aligned}7x+3y+240-10x&=3y-3x+240\\&=3\times 120 +240\\&=600\end{aligned}$ 元。故選(C)

26.

如圖 ( 十五 )，坐標平面上， A、B 兩點分別為圓 P 與 x 軸、y 軸的交點，有一直線 L 通過 P 點且與 AB 垂直，C 點為 L 與 y 軸的交點。若 A、 B、 C 的 坐標分別為 $(a , 0)$ 、 $(0 , 4)$ 、 $(0 , −5)$ ， 其中 a < 0， 則 a 的值為何？
(A) $-2\sqrt{14}$
(B) $-2\sqrt{5}$
(C) $-8$
(D) $-7$

(A)

連接 $\overline{AC}$ ，由於 $L$ 為 $\overline{AB}$ 的中垂線，利用中垂線性質可知 $\overline{AC}=\overline{BC}=9$ ，故 $\begin{aligned}a&=\overline{AO}\\&=\sqrt{\overline{AC}^2-\overline{OC}^2}\\&=\sqrt{9^2-5^2}\\&=2\sqrt{14}\end{aligned}$
選(A)

1.

一個箱子內有 4 顆相同的球，將 4 顆球分別標示號碼 1、2、3、4，今翔翔以每次從箱子內取一顆球且取後放回的方式抽取，並預計取球 10 次，現已取了8 次，取出的結果如表 ( 二 ) 所列：

若每次取球時，任一顆球被取到的機會皆相等，且取出的號碼即為得分，請回答下列問題：
(1) 請求出第 1 次至第 8 次得分的平均數。
(2) 承 (1)，翔翔打算依計畫繼續從箱子取球 2 次，請判斷是否可能發生「這10 次得分的平均數不小於 2.2，且不大於 2.4」的情形？若有可能，請計算出發生此情形的機率，並完整寫出你的解題過程；若不可能，請完整說明你的理由。

2.

嘉嘉參加機器人設計活動，需操控機器人在5 × 5 的方格棋盤上從A點行走至B 點，且每個小方格皆為正方形。主辦單位規定了三條行走路徑 R1、R2、R3，其行經位置如圖 ( 十六 ) 與表 ( 三 ) 所示：

已知 A、B、C、D、E、F、G 七點皆落在格線的交點上，且兩點之間的路徑皆為直線，在無法使用任何工具測量的條件下，請判斷 R1、R2、R3 這三條路徑中，最長與最短的路徑分別為何？請寫出你的答案，並完整說明理由。