106會考數學第一部分:選擇題 (1 ~ 26 題)
1.
算式 (−2)×|−5|−|−3| 之值為何?
(A) 13
(B) 7
(C) −13
(D) −7
(C)
因為 $|-5|=5$ 、 $|-3|=3$ ,
所以
$\begin{aligned}(-2)\times|-5|-|-3|&=(-2)\times (5)-(3)\\&=-10-3\\&=-13\end{aligned}$ ,故選(C)
2.
下列哪一個選項中的等式成立?
(A) $\sqrt{2^2}=2$
(B) $\sqrt{3^3}=3$
(C) $\sqrt{4^4}=4$
(D) $\sqrt{5^5}=5$
(A)
$\mbox{(A)}\ \sqrt{2^2}=2$
$\begin{aligned}\mbox{(B)}\sqrt{3^3}&=\sqrt{3^2}\times\sqrt{3}\\&=3\sqrt{3}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mbox{(C)}\sqrt{4^4}&=\sqrt{4^2}\times\sqrt{4^2}\\&=4\times 4\\&=16\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mbox{(D)}\sqrt{5^5}&=\sqrt{5^2}\times\sqrt{5^2}\times\sqrt{5}\\&=5\times 5\times\sqrt{5}\\&=25\sqrt{5}\end{aligned}$
3.
計算 6x•(3 − 2x) 的結果,與下列哪一個式子相同?
(A) $-12x^2+18x$
(B) $-12x^2+3$
(C) $16x$
(D) $6x$
(A)
$\begin{aligned}6x\cdot(3-2x)&=18x-12x^2\\&=-12x^2+18x\end{aligned}$
故選(A)
4.
若阿光以四種不同的方式連接正六邊形 ABCDEF 的兩條對角線,連接後的情形如下列選項中的圖形所示,則下列哪一個圖形不是線對稱圖形?
(D)
(A),(B),(C)皆為線對稱圖形,對稱軸如下(紅色虛線):
故(D)不是線對稱圖形,選(D)
5.
已知坐標平面上有兩直線相交於一點 (2,a),且兩直線的方程式分別為 2x + 3y = 7、 3x − 2y = b,其中 a、 b 為兩數。求 a + b 之值為何?
(A) 1
(B) −1
(C) 5
(D) −5
(C)
將 $(2,a)$ 代入第一式 $\Rightarrow 2\times 2 + 3\times a = 7\Rightarrow 3a=7-4\Rightarrow a=1$
將 $(2,1)$ 代入第一式 $\Rightarrow 3\times 2 – 2\times 1 = b\Rightarrow b=4$
故 $a+b=1+4=5$ ,選(C)
6.
阿信、小怡兩人打算搭乘同一班次電車上學。若此班次電車共有 5 節車廂,且阿信從任意一節車廂上車的機會相等,小怡從任意一節車廂上車的機會相等,則兩人從同一節車廂上車的機率為何?
(A) $\dfrac{1}{2}$
(B) $\dfrac{1}{5}$
(C) $\dfrac{1}{10}$
(D) $\dfrac{1}{25}$
(B)
兩人都從「第1節」車廂上車的機率
$= 阿信從第1節車廂上車的機率 \times 小怡從第1節車廂上車的機率$
$=\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{25}$
同理,兩人都從「第2節」車廂上車的機率也是$\dfrac{1}{25}$
總共五節車廂,故從同一節車廂上車的機率 $=\dfrac{1}{25}\times 5=\dfrac{1}{5}$
選(B)
7.
平面上有 A、 B、C 三點,其中 $\overline{AB}=3$ , $\overline{BC}=4$ , $\overline{AC}=5$。若分別以 A、B、 C 為圓心,半徑長為 2 畫圓,畫出圓 A、圓 B、圓C,則下列敘述何者正確?
(A) 圓 A 與圓 C 外切,圓 B 與圓 C 外切
(B) 圓 A 與圓 C 外切,圓 B 與圓 C 外離
(C) 圓 A 與圓 C 外離,圓 B 與圓 C 外切
(D) 圓 A 與圓 C 外離,圓 B 與圓 C 外離
(C)
由題意畫出圖形,如圖。
因為 $2+2<5=\overline{AC}$ ,所以圓 $A$ 與圓 $C$ 不會相交,也就是兩圓外離。
因為 $2+2=4=\overline{BC}$ ,所以圓 $B$ 與 圓 $C$ 相切。
故選(C)
8.
下列選項中所表示的數,哪一個與 252 的最大公因數為 42 ?
(A) $2\times 3\times 5^2\times 7^2$
(B) $2\times 3^2\times 5\times 7^2$
(C) $2^2\times 3\times 5^2\times 7$
(D) $2^2\times 3^2\times 5\times 7$
(A)
將 $252$ 質因數分解:
$252=2^2\times 3^2\time7$
將 $42$ 質因數分解:
$42=2\times 3\time7$
要找兩數的最大公因數,即找每個質因數次方最大的依序寫下來。
(A)與252最大公因數 $=2\times 3\times 7$
(B)與252最大公因數 $=2\times 3^2\times 7$
(C)與252最大公因數 $=2^2\times 3\times 7$
(D)與252最大公因數 $=2^2times 3^2\times 7$
故選(A)
9.
某高中的籃球隊成員中,一、二年級的成員共有 8 人,三年級的成員有 3 人。一、二年級的成員身高 ( 單位:公分 ) 如下:
172、 172、 174、 174、176、176、178、178
若隊中所有成員的平均身高為 178 公分, 則隊中三年級成員的平均身高為幾公分?
(A) 178
(B) 181
(C) 183
(D) 186
(D)
先算出三個年級的身高總和 $=178\times (8+3)=1958$
一、二年級的身高總和為 $172+ 172+ 174+ 174+176+176+178+178=1400$
所以三年級的身高總和為 $1958-1400=558$
故三年級的平均身高為 $\dfrac{558}{3}=186$ ,故選(D)
10.
已知在卡樂芙超市內購物總金額超過 190 元時, 購物總金額有打八折的優惠。安妮帶 200 元到卡樂芙超市買棒棒糖,若棒棒糖每根 9 元,則她最多可買多少根棒棒糖?
(A) 22
(B) 23
(C) 27
(D) 28
(C)
假設共買 $x$ 根,則
$\begin{aligned}&9x\times 0.8<200 \\ \Rightarrow&x<\dfrac{200}{9\times 0.8}= 27\dfrac{7}{9}\end{aligned}$
$x$ 最大值為 $27$
故選(C)
11.
如圖 ( 一 ), △ ABC中, D、 E兩點分別在 $\overline{AB}$ 、 $\overline{BC}$ 上。若 $\overline{AD}:\overline{DB}=\overline{CE}:\overline{EB}=2:3$ ,則 △DBE 與 △ADC 的面積比為何?
(A) 3:5
(B) 4:5
(C) 9:10
(D) 15:16
(C)
在 $\triangle BCD$ 中,因為 $\triangle BDE$ 與 $\triangle CDE$ 等高,所以 $面積比=底邊比$ ,也就是 $\triangle BDE :\triangle CDE=\overline{EB}:\overline{EC}=3:2$
假設 $\triangle BDE=3t$ 、 $\triangle BDE=2t$ ,所以 $\triangle BCD=5t$
同理,
$\begin{aligned}&\triangle ADC:\triangle BCD=\overline{AD}:\overline{DB}=2:3\\&\Rightarrow \triangle ADC: 5t=2:3\\&\Rightarrow \triangle ADC=\dfrac{10t}{3}\end{aligned}$
故 $\triangle DBE:\triangle ADC=3t:\dfrac{10t}{3}=9:10$
12.
一元二次方程式 $x^2-8x=48$ 可表示成 $(x-a)^2 = 48+b$ 的形式,其中 a、 b 為整數。求 a + b 之值為何?
(A) 20
(B) 12
(C) −12
(D) −20
(A)
將 $x^2-8x=48$ 配方法(兩邊加上 $-8$ 一半的平方)
$\Rightarrow x^2-8x+(\dfrac{-8}{2})^2=48+(\dfrac{-8}{2})^2\\ \Rightarrow x^2-8x+16=48+16\\ \Rightarrow (x-4)^2=48+16$
故 $a=4, b=16$ ,因此 $a+b=20$
選(A)
13.
已知坐標平面上有一長方形 ABCD,其坐標分別為 (0,0)、 B(2,0)、C(2,1) 、D(0,1)。今固定 B 點並將此長方形依順時針方向旋轉,如圖 ( 二 ) 所示。若旋轉後 C 點的坐標為(3,0),則旋轉後 D 點的坐標為何?
(A) (2,2)
(B) (2,3)
(C) (3,3)
(D) (3,2)
(D)
旋轉後 $C$ 點坐標為 $(3,0)$ , 代表 $\overline{BC}$邊貼齊 $x$ 軸,因此 $D$ 的 $x$ 坐標與 $C$ 的 $x$ 坐標相等 $=3$ , $D$ 的 $y$ 坐標就是 $CD$ 的長度 $=2$
所以 $D$ 點坐標為 $(3,2)$ ,故選(D)
14.
圖 ( 三 ) 為平面上五條直線 $L_1$ 、 $L_2$ 、 $L_3$ 、 $L_4$ 、 $L_5$ 相交的情形。根據圖中標示的角度,判斷下列敘述何者正確?
(A) $L_1$ 和 $L_3$ 平行, $L_2$ 和 $L_3$ 平行
(B) $L_1$ 和 $L_3$ 平行, $L_2$ 和 $L_3$ 不平行
(C) $L_1$ 和 $L_3$ 不平行, $L_2$ 和 $L_3$ 平行
(D) $L_1$ 和 $L_3$ 不平行, $L_2$ 和 $L_3$ 不平行
(C)
判斷兩直線是否平行的方法:同位角相等、內錯角相等、同側內角互補。只要用一種方法檢驗即可。
觀察 $L_1$ 與 $L_3$ ,被 $L_4$ 所截的同側內角和為 $92^\circ+92^\circ=184^\circ \neq 180^\circ$ ,不互補。故 $L_1 與 $L_3$ 不平行。
如圖,由對頂角可相等可知 $\angle=88^\circ$ ,又因為$L_2$ 與 $L_3$ ,被 $L_5$ 所截的同位角相等,所以 $L_2$ 與 $L_3平行$
故選(C)
15.
威立到小吃店買水餃,他身上帶的錢恰好等於 15 粒蝦仁水餃或 20 粒韭菜水餃的價錢。若威立先買了 9 粒蝦仁水餃,則他身上剩下的錢恰好可買多少粒韭菜水餃?
(A) 6
(B) 8
(C) 9
(D) 12
(B)
由題意可知威立買了 $9$ 粒蝦仁水餃後,剩下 $15-9=6$ 顆蝦仁水餃的錢。題目相當於問 $6$ 粒蝦仁水餃的價錢等於幾顆韭菜水較的價錢?
已知 $15$ 粒蝦仁水餃價錢 $=20$ 粒韭菜水餃,所以 $6$ 粒蝦仁水餃價錢 $=20\times \dfrac{6}{15}=8$ 粒韭菜水餃。故選(B)
16.
將圖 ( 四 ) 中五邊形紙片 ABCDE 的 A 點以 BE 為摺線往下摺,A 點恰好落在 $\overline{CD}$ 上,如圖 ( 五 ) 所示。再分別以圖 ( 五 ) 的 $\overline{AB}$ 、 $\overline{AE}$ 為摺線,將 C、 D兩點往上摺,使得 A、 B、C、D、E 五點均在同一平面上,如圖 ( 六 ) 所示。若圖 ( 四 ) 中 ∠A = 124°,則圖 ( 六 ) 中 ∠CAD 的度數為何?
(A) 56
(B) 60
(C) 62
(D) 68
(D)
假設 $\angle BAC=x^\circ$ 、 $\angle EAD=y^\circ$ ,則由圖(五)可知 $\angle BAE+x^\circ+y^\circ=180^\circ\Rightarrow 124^\circ+x^\circ+y^\circ=180^\circ\Rightarrow x^\circ+y^\circ=56^\circ$
又由圖(六)可知 $\angle CAD=\angle BAE -x^\circ-y^\circ$ ,所以 $\angle CAD=124^\circ-56^\circ=68^\circ$ ,故選(D)
17.
若 a、 b 為兩質數且相差 2,則 ab + 1 之值可能為下列何者?
(A) $39^2$
(B) $40^2$
(C) $41^2$
(D) $42^2$
(D)
設 $a=b+2$ ,則
$\begin{aligned}ab+1&=b(b+2)+1\\&=b^2+2b+1\\&=(b+1)^2\end{aligned}$
分別算出四個選項的 $b$ 是多少。
(A) $b=38$
(B) $b=39$
(C) $b=40$
(D) $b=41$
因為 $b$ 為質數,選項中只有選項(D) 解出的 $b$ 是質數。故選(D)
18.
如圖 ( 七 ), O 為銳角三角形 ABC 的外心,四邊形 OCDE 為正方形,其中E 點在 △ ABC 的外部。判斷下列敘述何者正確?
(A) O 是 △ AEB 的外心, O 是 △ AED 的外心
(B) O 是 △ AEB 的外心, O 不是 △ AED 的外心
(C) O 不是 △ AEB 的外心, O 是 △ AED 的外心
(D) O 不是 △ AEB 的外心, O 不是 △ AED 的外心
(B)
因為 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心,所以 $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}$
又四邊形 $OCDE$ 為正方形,所以 $\overline{OC}=\overline{CD}=\overline{DE}=\overline{OE}$
因此$\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=\overline{CD}=\overline{DE}=\overline{OE}$
判斷外心的方法:只要某個點到三角形三頂點的距離相等,則此點即為此三角形的外心,否則就不是。
因為 $\overline{OA}=\overline{OE}=\overline{OB}$ ,所以 $O$ 是 $\triangle AEB$ 的外心。
因為 $\overline{OA}=\overline{OE}\neq\overline{OD}$ (正方形的對角線是邊長的 $\sqrt{2}$ 倍),所以 $O$ 不是 $\triangle AED$ 的外心。
19.
圖 ( 八 ) 為互相垂直的兩直線將四邊形 ABCD 分成四個區域的情形。若 ∠A = 100°, ∠B = ∠D = 85°, ∠C = 90°, 則根據圖中標示的角,判斷下列 ∠1、∠2、∠3 的大小關係, 何者正確?
(A) ∠1 = ∠2 > ∠3
(B) ∠1 = ∠3 > ∠2
(C) ∠2 > ∠1 = ∠3
(D) ∠3 > ∠1 = ∠2
(D)
這種題目只要把全部角度標出來,就能判斷大小。
如圖分別看橘色部分、紫色箭頭、以及綠色部分。
橘色部分:
$(\angle 3-10^\circ)+(185^\circ-\angle 1)=180^\circ\Rightarrow \angle 3-\angle 1=5^\circ$
故 $\angle 3>\angle 1$
紫色箭頭:
$(180^\circ-\angle 1)+\angle 2=180^\circ\Rightarrow \angle1 =\angle 2$
由上面兩個部分即可判斷大小,不需再看綠色部分。
故 $\angle 3>\angle 1=\angle 2$ ,選(D)
20.
圖 ( 九 ) 的數線上有O、 A、B三點,其中O為原點,A點所表示的數為 $10^6$ 。根據圖中數線上這三點之間的實際距離進行估計,下列何者最接近 B 點所表示的數?
(A) $2\times 10^6$
(B) $4\times 10^6$
(C) $2\times 10^7$
(D) $4\times 10^8$
(C)
用肉眼看 $\overline{OB}$ 一定超過 $4\overline{OA}$ ,而且一定不到 $400\overline{OA}$ ,所以一定介於 $4\times 10^6$ 與 $4\times 10^8$ 之間。故選(C)
(這題也可以用尺規作圖來確定 $\overline{OB}=20\overline{OA}$)
21.
如圖 ( 十 ),△ ABC、△ ADE 中,C、E 兩點分別在 $\overline{AD}$ 、 $\overline{AB}$ 上,且 $\overline{BC}$ 與 $\overline{DE}$ 相交於 F 點。若 ∠A = 90°,∠B = ∠D = 30°, $\overline{AC}=\overline{AE}=1$ ,則四邊形 AEFC 的周長為何?
(A) $2\sqrt{2}$
(B) $2\sqrt{3}$
(C) $2+\sqrt{2}$
(D) $2+\sqrt{3}$
(B)
因為 $\triangle ADE$ 是一個 $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ 的特別角三角形,可知 $\overline{AD}=\overline{AE}\times{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
同理 $\overline{AB}=\sqrt{3}$
由外角定理: $\angle B+\angle EFB=\angle AED=60^\circ$ ,所以 $\angle{EFB}=30^\circ$ ,因此$\triangle {EFB}$ 是等腰三角形。
同理 $\triangle {CFD}$ 是等腰三角形。
故四邊形 $AEFC$ 的周長
$\begin{aligned}&=\overline{AE}+\overline{EF}+\overline{AC}+\overline{CF}\\&=\overline{AE}+\overline{EB}+\overline{AC}+\overline{CD}\\&=\overline{AB}+\overline{AD}\\&=\sqrt{3}+\sqrt{3}\\&=2\sqrt{3}\end{aligned}$
22.
已知坐標平面上有兩個二次函數 y = a(x + 1)(x − 7)、 y = b(x + 1)(x − 15) 的圖形,其中 a、b 為整數。判斷將二次函數 y = b(x + 1)(x − 15) 的圖形依下列哪一種方式平移後,會使得此兩圖形的對稱軸重疊?
(A) 向左平移 4 單位
(B) 向右平移 4 單位
(C) 向左平移 8 單位
(D) 向右平移 8 單位
(A)
$y = a(x + 1)(x-7)$ 與 $x$ 軸交於 $(-1,0)$ 與 $(7,0)$ ,所以對稱軸為 $x=\dfrac{(-1)+7}{2}=3$
$y = b(x + 1)(x-15)$ 與 $x$ 軸交於 $(-1,0)$ 與 $(15,0)$ ,所以對稱軸為 $x=\dfrac{(-1)+15}{2}=7$
將直線 $x=7$ 移動到 $x=3$ 需要向左平移 $4$ 單位。
故選(A)
23.
圖 ( 十一 ) 為阿輝、小薰一起到商店分別買了數杯飲料與在家分飲料的經過。若每杯飲料的價格均相等, 則根據圖中的對話,判斷阿輝買了多少杯飲料?
(A) 22
(B) 25
(C) 47
(D) 50
(A)
假設阿輝買 $x$ 杯飲料,由最右邊的圖可知小薰買 $x+6$ 杯飲料。
小薰還給阿輝 $120$ 元,代表小薰總共付了 $1000+120=1120$ 元,阿輝付了 $1000-120=880$ 元。
因為每杯飲料價格均相等,可列式:
$\dfrac{1120}{x+6}=\dfrac{880}{x}\Rightarrow x=22$
故選(A)
24.
如圖 ( 十二 ),水平桌面上有個內部裝水的長方體箱子,箱內有一個與底面垂直的隔板,且隔板左右兩側的水面高度分別為 40 公分、50 公分。今將隔板抽出,若過程中箱內的水量未改變,且不計箱子及隔板厚度,則根據圖中的數據,求隔板抽出後水面靜止時, 箱內的水面高度為多少公分?
(A) 43
(B) 44
(C) 45
(D) 46
(B)
假設長方體的寬為 $x$ 公分,
觀察隔板將水隔成左右兩個底面為梯形的立方體。
水的總體積為:
$\begin{aligned}左+右&=\left[\dfrac{(110+130)\times x}{2}\times 40\right]+\left[\dfrac{(70+90)\times x}{2}\times 50\right]\\&=8800x\end{aligned}$
所以抽出隔板後,$水面高度=\dfrac{水的總體積}{底面積}=\dfrac{8800x}{(130+70)\times x}=44$
故選(B)
25.
(A) 0.01
(B) 0.1
(C) 10
(D) 100
(B)
假設一開始的數字是 $t$ ,則按第六下時會回到 $t$ ,如下圖。
因為 $100÷6=16……4$ ,所以按 $100$ 下的結果與按 $4$ 下的結果一樣。
上圖中按第四下的結果為 $\dfrac{1}{\sqrt{t}}=\dfrac{1}{10}=0.1$
故選(B)
26.
圖 ( 十四 ) 為兩正方形 ABCD、 BPQR 重疊的情形,其中 R 點在 $\overline{AD}$ 上, $\overline{CD}$ 與 $\overline{QR}$ 相交於 S 點。若兩正方形 ABCD、BPQR 的面積分別為 16、25 ,則四邊形 RBCS 的面積為何?
(A) $8$
(B) $\dfrac{17}{2}$
(C) $\dfrac{28}{3}$
(D) $\dfrac{77}{8}$
(D)
正方形 $ABCD$ 面積 $=16\Rightarrow \overline{AB}=\overline{AD}=4$
正方形 $BPQR$ 面積 $=25\Rightarrow \overline{BR}=5$
由畢氏定理可知 $\overline{AR}=\sqrt{\overline{BR}^2-\overline{AB}^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$ 且 $\overline{RD}=4-1$
由於 $\angle 1+\angle 2=\angle2+\angle3=90^\circ$ ,可知 $\angle 1=\angle3$ ,所以 $\triangle BAR \sim\triangle RDS$ ( $AA$ 相似)
故 $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AR}}=\dfrac{\overline{RD}}{\overline{DS}}\Rightarrow \dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{\overline{DS}}\Rightarrow \overline{DS}=\dfrac{3}{4}$
因此,
$\begin{aligned}四邊形 RBCS的面積&= 正方形 ABCD 面積 -\triangle ABR -\triangle RDS\\&=4^2-\dfrac{4\times 3}{2}-\dfrac{1\times \dfrac{3}{4}}{2}\\&=\dfrac{77}{8}\end{aligned}$
109會考數學第二部分:非選擇題
1.
今有甲、乙、丙三名候選人參與某村村長選舉,共發出 1800 張選票,得票數最高者為當選人,且廢票不計入任何一位候選人之得票數內。全村設有四個投開票所,目前第一、第二、第三投開票所已開完所有選票,剩下第四投開票所尚未開票,結果如表 ( 一 ) 所示:
請回答下列問題:
(1) 請分別寫出目前甲、乙、丙三名候選人的得票數。
(2) 承 (1),請分別判斷甲、乙兩名候選人是否還有機會當選村長,並詳細解釋或完整寫出你的解題過程。
(1)
甲目前得票數: $200+286+97=583$
乙目前得票數: $211+85+41=337$
丙目前得票數: $147+244+205=596$
(2)
第四投開票所仍有 $250$ 張票尚未開出,
若全部都是甲獲得,則 $583+250=833>596$ ,所以甲還有機會當選村長。
若全部都是乙獲得,則 $337+250=587<596$ ,即便全部票都給乙,還是比丙少票。所以乙沒有機會當選村長。
2.
如圖 ( 十五 ),在坐標平面上,O 為原點,另有 A(0,3)、B(−5,0)、C(6,0)三點,直線 L 通過 C 點且與 y 軸相交於 D 點。
請回答下列問題:
(1)已知直線 L 的方程式為 5x − 3y = k,求 k 的值。
(2) 承 (1),請完整說明 △ AOB 與 △ COD 相似的理由。
(1)
因為 $L$ 通過 $C(6,0)$ ,故將其代入方程式中:
$5\times 6-3\times 0=k\Rightarrow k=30$
(2)
直線 $L$ 方程式為 $ 5x-3y = 30$ ,可知 $D$ 點坐標為 $(0,-10)$
故 $\overline{OA}=3,\overline{OB}=5,\overline{OC}=6,\overline{OD}=10$
由於 $\overline{OA}:\overline{OC}=\overline{OB}:\overline{OD}=1:2$
而且 $\angle AOB=\angle COD=90^\circ$
故 $\triangle AOB \sim \triangle COD$ ( $SAS$ 相似)