國中數學 | 等差數列、等差中項與等差級數 | 等差級數解題技巧

本篇將介紹等差數列與級數,以及實用的解題技巧。

數列

將一連串的數由左而右排成一列,就稱為數列。如:

  • 某期大樂透的頭獎號碼為 16 , 38 , 07 , 19 , 25 , 01 即為一數列。
  • 班上1~5號學生的身高為 167 , 175 , 158 , 169 , 178
  • 火車座位的編號 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

我們一般會將數列寫成 a1,a2,a3,……,an,而其中 a1,a2,a3,……,an 都稱為這為這個數列的。a1稱為第一項(或首項),a2稱為第二項,a3稱為第三項,……,an稱為第n項(或末項)。
例如:在數列 -8 , 6 , 17 , 52 , -5 , -63 , 78 , 55 中,首項-8第二項6末項55

如果只是一串數字的話,好像沒什麼意義。所以我們大部分都只討論有規律的數列。

有規律的數列

例如:正奇數的數列 1 , 3 , 5 , 7 , …… ,我們光看前面幾項,就能猜出他的下一項9了,甚至還能知道這個數列的第n項2n-1

接下來要介紹的等差數列就是一種有規律的數列


等差數列

在一個數列裡,任意相鄰兩項中,如果後項減前項值都一樣,就稱此數列為等差數列

例如剛剛正奇數的數列: 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 ,後項減前項都是2(後面都比前面多2),所以這個數列是一個等差數列。

等差數列

此時後項減前項這個定值就稱為公差,符號以 d 表示。

關係式

只要知道前項後項公差其中兩個,就能求出第三個

  • 已知前項後項,求公差公差=後項-前項
  • 已知前項公差,求後項後項=前項+公差
  • 已知後項公差,求前項前項=後項-公差

其實都只是同一條式子,單純移項而已。

等差數列的一般項(第n項)

一等差數列的第 $a_n$ 項為 $ {a_n = a_1 + (n-1)d}$

按照上面的推導方式,很容易可以得到 a_na_k 的關係為$$a_n=a_k+(n-k)d$$

等差中項

a , b , c 三數成等差時,就稱 b ac等差中項,而且此時 b=\dfrac{a+c}{2}

使用相同的推導方式,可以得到 $a_k=\displaystyle\frac{a_{k-m}+a_{k+m}}{2}$
例如:已知 a_1=6a_7=12 , 則 a_4=\dfrac{a_1+a_7}{2}=\dfrac{6+12}{2}=9

此外,第一項+最後一項=第二項+倒數第二項 …… 以此類推。

等差級數

數列每一項加起來,就稱為級數
等差數列每一項加起來,就稱為等差級數
換句話說,若 a_1 , a_2 , a_3 , ....... , a_n 為一等差數列,則 $$S_n=a_1+a_2 +a_3+…… +a_{n-1}+a_n$$

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