國中數學 | 等差數列、等差中項與等差級數 | 等差級數解題技巧

本篇將介紹等差數列與級數，以及實用的解題技巧。

數列

將一連串的數由左而右排成一列，就稱為數列。如：

某期大樂透的頭獎號碼為 16 , 38 , 07 , 19 , 25 , 01 即為一數列。
班上1~5號學生的身高為 167 , 175 , 158 , 169 , 178
火車座位的編號 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

項

我們一般會將數列寫成 a₁，a₂，a₃，……，a_n，而其中 a₁，a₂，a₃，……，a_n 都稱為這為這個數列的項。a₁稱為第一項(或首項)，a₂稱為第二項，a₃稱為第三項，……，a_n稱為第n項(或末項)。
例如：在數列 -8 , 6 , 17 , 52 , -5 , -63 , 78 , 55 中，首項為 -8 ，第二項為 6 ，末項為55

如果只是一串數字的話，好像沒什麼意義。所以我們大部分都只討論有規律的數列。

有規律的數列

例如：正奇數的數列 1 , 3 , 5 , 7 , …… ，我們光看前面幾項，就能猜出他的下一項是9了，甚至還能知道這個數列的第n項是2n-1。

接下來要介紹的等差數列就是一種有規律的數列

等差數列

在一個數列裡，任意相鄰的兩項中，如果後項減前項的值都一樣，就稱此數列為等差數列。

例如剛剛正奇數的數列： 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 ，後項減前項都是2(後面都比前面多2)，所以這個數列是一個等差數列。

此時後項減前項這個定值就稱為公差，符號以 $d$ 表示。

關係式

只要知道前項、後項、公差其中兩個，就能求出第三個：

已知前項與後項，求公差：公差=後項-前項
已知前項與公差，求後項：後項=前項+公差
已知後項與公差，求前項：前項=後項-公差

其實都只是同一條式子，單純移項而已。

等差數列的一般項(第n項)

一等差數列的第 $a_n$ 項為 $ {a_n = a_1 + (n-1)d}$

推導

觀察上圖，如果我們想要用 $a_1$ 以及 $d$ 來表示 $a_n$ 的值，該怎麼做呢？
其實我把上面圖改一下，很容易就能知道 $a_n$ 了。

$a_2 = a_1 + d$
$a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$
可以推廣到到第 $n$ 項：
$a_n = a_{n-1} + d = a_{n-2} + 2d = \cdots = a_1 + (n-1)d$
可以將其理解為：兩個數裡面有幾個間隔，就是要乘幾個公差。因為 $a_n$ 跟 $a_1$ 之間有 $(n-1)$ 個間隔，所以 $a_n$ 跟 $a_1$ 差了 $n-1$ 個公差。 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 就是這麼來的。

按照上面的推導方式，很容易可以得到 $a_n$ 與 $a_k$ 的關係為$$a_n=a_k+(n-k)d$$

範例

問：已知一等差數列的首項是16，公差是-2，求第15項是多少？
答： $a_{15}=a_1+(15-1)d=16+14\times{-2}=16-28=-12$

問：已知一等差數列的第22項是-17，公差是-3，求首項是多少？
答： $a_{22}=a_1+(22-1)d=a_1+21\times{(-3)}=a_1-63\\ \Longrightarrow -17=a_1-63\Longrightarrow a_1=-17+63=46$

問：已知一等差數列的第5項是10，第10項是5，求公差是多少？
答： $a_{10}=a_5+(10-5)d \Longrightarrow 5=10+5d \Longrightarrow d=-1$

問：已知一等差數列的第m項是n，第n項是m，求第m+n項是多少？$(m\neq n)$
答： $a_{n}=a_m+(n-m)d \Longrightarrow m=n+(n-m)d \\ \Longrightarrow m-n=(n-m)d \Longrightarrow d=-1 \\ \Longrightarrow a_{m+n}=a_{m}+(m+n-m)d=n+nd=n-n=0$

等差中項

當 $a , b , c$ 三數成等差時，就稱 $b$ 為 $a$ 、 $c$ 的等差中項，而且此時 $b=\dfrac{a+c}{2}$

推導

因為 $a , b , c$ 三數成等差，所以：
$$公差={\color{red}{b-a=c-b}}$$
因此， $b-a=c-b\Longrightarrow 2b=a+c\Longrightarrow b=\dfrac{a+c}{2}$

使用相同的推導方式，可以得到 $a_k=\displaystyle\frac{a_{k-m}+a_{k+m}}{2}$
例如：已知 $a_1=6$ ， $a_7=12$ ，則 $a_4=\dfrac{a_1+a_7}{2}=\dfrac{6+12}{2}=9$

此外，第一項+最後一項=第二項+倒數第二項 …… 以此類推。

一些解題小技巧

三數成等差：設三數為 $a-d, a , a+d$，公差為 $d$
四數成等差：設三數為 $a-3d, a-d , a+d, a+3d$ ，公差為 $2d$
五數成等差：設三數為 $a-2d, a-d , a , a+d , a+2d, a+3d$ ，公差為 $d$
目的是讓它有對稱的感覺，在計算上有時會很方便。

範例

問：已知有四數成等差數列，其和為 $44$ ，首末兩項的積為 $40$ ，求此四數為何。
答：利用上面的小技巧，設此四數為 $a-3d, a-d , a+d, a+3d$ ，則 $(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=40$ ，化簡過後可得 $4a=44$ ，故 $a=11$
首末兩項的積 $=(a-3d)(a+3d)=a^2-9d^2=121-9d^2=40$ ，因此 $d=\pm 3$ 。故此四數為 $$\Large{2,8,14,20}$$

等差級數

把數列的每一項加起來，就稱為級數。
把等差數列的每一項加起來，就稱為等差級數。
換句話說，若 $a_1 , a_2 , a_3 , ....... , a_n$ 為一等差數列，則 $$S_n=a_1+a_2 +a_3+…… +a_{n-1}+a_n$$

等差級數公式

已知首項、末項、項數： $S_n=\displaystyle\frac{n\times(a_1+a_n)}{2}$
已知首項、公差、項數： $S_n=\displaystyle\frac{n\times(2a_1+(n-1)d)}{2}$
已知中間項、項數： $S_n=中間項\times 項數$，其中
中間項 $=\dfrac{a_1+a_n}{2}=\dfrac{a_2+a_{n-1}}{2}=...$ 。n為奇數時，即為正中間那一項：n為偶數時，即為正中間兩項的平均。

推導

因為 $S_n=a_1+a_2 +...... +a_{n-1}+a_n$ ，也可以寫成 $S_n=a_n+a_{n-1} +...... +a_{2}+a_1$ ，把兩式相加：

又 $$\begin{aligned}a_1+a_n&=a_2+a_{n-1}\\&=a_3+a_{n-2}\\&=\ \ \ \ \vdots\\&=a_{n-1}+a_2\\&=a_n+a_1\end{aligned}$$ 因此，
$(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+....+(a_n+a_1)=n(a_1+a_n)$ (有n個一樣的東西相加)
所以 $2S_n=n(a_1+a_n)$ ，故 $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$
這個公式可以想像成梯形面積公式：(上底+下底)×高÷2

範例

問：已知一等差數列中， $a_1=7$ 、 $a_{10}=123$ ，求 $S_{10}= ?$
答：知道首項與末項 ⇒ 利用公式一： $S_{10}=\dfrac{n\times(a_1+a_{10})}{2}=650$
問：已知等差級數5+8+11+……到第n項的和為440，求n=？
答：首項為5，公差為3，知道首項與公差 ⇒ 利用公式二：
$440=S_n=\displaystyle\frac{n\times(2a_1+(n-1)d)}{2}=\displaystyle\frac{n\times(3n+7)}{2}\\ \Rightarrow 3n^2+7n-880=0\\ \Rightarrow n=16, -\displaystyle\frac{55}{3}$
$-\dfrac{55}{3}$ 不合，因此 $n=16$

數列

項

有規律的數列

等差數列

關係式

等差數列的一般項(第n項)

等差中項

等差級數

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