高中數學｜7種求極值的方法(一)｜配方法｜三角不等式

高中數學中有許多求極值的方法，包括：

配方法
三角不等式
算幾不等式
柯西不等式
切線法
微分
拉格朗日乘子法

接下來將會介紹這一系列方法、題目以及變形。

配方法

介紹

$y=ax^2+bx+c \ (a\neq 0)$ 為一個二次函數(拋物線)，那麼頂點就是該函數的極值。(如下圖所示)

將 $y=ax^2+bx+c$ 配方法可得 $y=\displaystyle a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$ 。
因此，在 $x=-\displaystyle\frac{b}{2a}$ 時有極值 $\displaystyle\frac{4ac-b^2}{4a}$ (由 $a$ 的正或負決定 $y$ 是最小或最大)。

當 $a>0$ 時， $y=ax^2+bx+c$ 開口向上(圖一)，有最小值 $\displaystyle\frac{4ac-b^2}{4a}$
當 $a<0$ 時， $y=ax^2+bx+c$ 開口向下(圖二)，有最大值 $\displaystyle\frac{4ac-b^2}{4a}$

例題

求 $5x^2+20x-5$ 的最小值是多少?
求 $f(x)=-8x^4-2x^2-5$ 的最大值是多少?

例題解答

因為 $5x^2+20x-5=5(x+2)^2-25$ 而且開口向上，所以在 $x=-2$ 時有最小值 $-25$ 。
將 $f(x)$ 進行配方法
$\begin{aligned}-8x^4-2x^2-5&=-8(x^4+\displaystyle\frac{1}{4}x^2+\displaystyle\frac{1}{64})-\displaystyle\frac{39}{8}\\&=-8(x^2+\displaystyle\frac{1}{8})^2-\displaystyle\frac{39}{8}\end{aligned}$
因為 $(x^2+\displaystyle\frac{1}{8})^2\geq\displaystyle\frac{1}{64}$ ，等號發生在 $x=0$ 時，所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 時有最大值。 $f(0)=-5$
注意：四次函數不是拋物線，只是長很像而已。

延伸：多項平方相加求極值

設 $f(x)=c_1(x-a_1)^2+c_2(x-a_2)^2+...+c_n(x-a_n)^2$ ，則當 $x=\displaystyle\frac{c_1a_1+c_2a_2+...+c_na_n}{c_1+c_2+...+c_n}$ (加權平均)時， $f(x)$ 有極值 $f(\displaystyle\frac{c_1a_1+c_2a_2+...+c_na_n}{c_1+c_2+...+c_n})$

證明

展開原式 $f(x)=(c_1+c_2+...+c_n)x^2-(2c_1a_1+2c_2a_2+...+2c_na_n)x$ $+(c_1a_1^2+c_2a_2^2+...+c_na_n^2)$ ，故由配方法可知 $x=-\displaystyle\frac{-(2c_1a_1+2c_2a_2+...+2c_na_n)}{2(c_1+c_2+...+c_n)}\displaystyle=\frac{c_1a_1+c_2a_2+...+c_na_n}{c_1+c_2+...+c_n}$ 時，有極值 $f(\displaystyle\frac{c_1a_1+c_2a_2+...+c_na_n}{c_1+c_2+...+c_n})$

例題

設 $f(x)=(x-1)^2+(x-2)^2+(x-3)^2$ ，求 $f(x)$ 的最小值，以及此時的 $x$ 值為？
設 $f(x)=2(x-1)^2+(x-2)^2+(x-3)^2$ ，求 $f(x)$ 的最小值，以及此時的 $x$ 值為？
求 $f(x)=1(x-1)^2+2(x-2)^2+...+31(x-31)^2$ 的最小值及此時的 $x$ 值為？

例題解答

當 $x=\displaystyle\frac{1+2+3}{3}=2$ 時，有最小值 $f(2)=2$
當 $\displaystyle x=\frac{2\times 1+2+3}{4}=\frac{7}{4}$ 時， $f(x)$ 有最小值 $f(\displaystyle\frac{7}{4})=\frac{11}{4}$
當 $x=\displaystyle\frac{1^2+2^2+...+31^2}{1+2+...+31}=\displaystyle\frac{\frac{31\times 32\times 63}{6}}{\frac{32\times 31}{2}}=21$ 時，有最小值 $f(21)=27280$

如果要求高次多項式的極值，可以參考微分法

三角不等式

三角不等式可以用來求絕對值相加或相減的極值。實數版本的公式為

${\begin{aligned}{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|}&{\geq \left|{x + y}\right| }\\ {\left|{x}\right|-\left|{y}\right|}&{\leq \left|{x-y}\right|}\end{aligned} }$

等式成立於 $xy\geq0$ 時。

用向量寫法可以寫成

${\begin{aligned}{\left|{\overset{\rightharpoonup}{x}}\right|+\left|{\overset{\rightharpoonup}{y}}\right|}&{\geq \left|{\overset{\rightharpoonup}{x} + \overset{\rightharpoonup}{y}}\right| }\\ {\left|{\overset{\rightharpoonup}{x}}\right|-\left|{\overset{\rightharpoonup}{y}}\right|}&{\leq \left|{\overset{\rightharpoonup}{x}-\overset{\rightharpoonup}{y}}\right|}\end{aligned} }$

三角不等式可以簡單理解為三角形兩邊之和大於第三邊與兩邊之差小於第三邊。

證明

我們只要證明 $(\left|{x}\right|+\left|{y}\right|)^2\geq(\left|{x + y}\right|)^2$ ，然後因為 $\left|{x}\right|+\left|{y}\right|\geq 0$ 而且 $\left|{x + y}\right|\geq 0$ ，兩邊開根號就能得到 $\left|{x}\right|+\left|{y}\right| \geq \left|{x + y}\right|$ 。因此，

$\begin{aligned} \left(\left|{x}\right|+\left|{y}\right|\right)^2-\left(\left|{x + y}\right|\right)^2&=\left(\left|{x}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|+\left|{y}\right|^2\right)-\left(x+y\right)^2\\&=\left(x^2+2\left|{xy}\right|+y^2\right)-\left(x^2+2xy+y^2\right)\\&=2\left(\left|{xy}\right|-xy\right)\\&\geq 0\end{aligned}$

等號成立於 $\left|xy\right|=xy$ ，也就是 $xy\geq0$ 時。故 $(\left|{x}\right|+\left|{y}\right|)^2\geq(\left|{x + y}\right|)^2$ ，即 $\boldsymbol{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|\geq\left|{x + y}\right|}$

將上式中的 $x$ 用 $x-y$ 取代，可得 $\left|{x-y}\right|+\left|{y}\right|\geq\left|{(x -y)+ y}\right|$ ，再進行移項就能得到 $\boldsymbol{\left|{x-y}\right|\geq\left|{x}\right|-\left|{y}\right|}$ ，故得證。

例題

設 $f(x)=\left|{x-1}\right|+\left|{x+3}\right|$ ，求 $f(x)$ 的最小值，以及 $x$ 在哪個範圍發生？

例題解答

先按照三角不等式的想法試試看： $\left|{x-1}\right|+\left|{x+3}\right|\geq\left|{(x-1)+(x+3)}\right|=\left|{(2x+2)}\right|---(1)$

發現有變數存在。換個角度試試看， $\left|{x-1}\right|+\left|{x+3}\right|$ 與 $\left|{-(x-1)}\right|+\left|{x+3}\right|$ 其實只是把絕對值內的值加上負號，加上絕對值後是一樣的。再利用三角不等式: $\left|{-(x-1)}\right|+\left|{x+3}\right|\geq\left|{-(x-1)+(x+3)}\right|=4---(2)$

為什麼會有兩種結果呢？其實兩個結果發生的條件不一樣。

在式(1)中，等號成立在 $x\geq1$ 或 $x\leq-3$ ，所以這條式子在 $-3< x< 1$ 之間是達不到式(1)中，我們用三角不等式得出來的值的。

也就是說我們不能依據這條式子，帶入 $x=-1$ 就斷定 $\left|{(2(-1+2)}\right|=0$ ，所以最小值是 $0$ 。因此式(1)中， $\left|{(2x+2)}\right|$ 在 $x\geq1$ 或 $x\leq-3$ 的範圍中，最小值會是 $4$ 且發生在 $x=1,-3$ 的時候。

那在其餘的範圍怎麼辦呢？這時就要用到式(2)。

(2)等號成立在 $-3\leq x\leq1$ ，而且整段函數值都是 $4$ 。

由兩式整合我們可以知道 $f(x)$ 的最小值為 $4$ ，發生在 $-3\leq x\leq 1$ 。

事實上， $f(x)=\left|{x+a}\right|+\left|{x+b}\right|$ 的圖形都是中間低，兩邊高的情況，如下圖：

絕對值相加函數 — $f(x)=\left|{x+a}\right|+\left|{x+b}\right|$

而最低點就發生在中間的部分，也就是例題中(2)的情況。所以我們其實只要利用三角不等式，把絕對值內的 $x$ 消掉，就能求出函數的最小值了。

例如：

$\begin{aligned}\left|{x-8}\right|+\left|{x-6}\right|&=\left|{x-8}\right|+\left|{6-x}\right|\\&\geq\left|{(x-8)+(6-x)}\right|\\&=2\end{aligned}$

所以最小值是 $2$ ，發生在 $6\leq x\leq8$ 的時候。

延伸：係數不為1的絕對值相加求極值(或是很多個絕對值相加)

遇到 $x$ 前係數不是 $1$ 的整數時，先將其拆成很多 $x$ 前係數為 $1$ 的絕對值相加，如果有多項則按照每一項 $=0$ 時的 $x$ 值由小到大排列。

例如： $\displaystyle\left|{3x-2}\right|+\left|{2x+4}\right|$ 改寫成 $(\left|{x+2}\right|+\left|{x+2}\right|)+(|{x-\displaystyle\frac{2}{3}}|+|{x-\displaystyle\frac{2}{3}}|+|{x-\displaystyle\frac{2}{3}}|)$ ，再分成以下兩種情況討論：

情況一：奇數個絕對值相加

例如：求 $f(x)=\left|{x+1}\right|+\left|{x-1}\right|+\left|{x-3}\right|$ 的最小值是多少?

利用三角不等式頭尾配對，原式= $(\left|{x+1}\right|+\left|{x-3}\right|)+\left|{x-1}\right|$ ，其中 $\left|{x+1}\right|+\left|{x-3}\right|\geq\left|{(x+1)+(3-x)}\right|=4$ ，等號成立於 $-1\leq x\leq 3$ 。又 $\left|{x-1}\right|$ 的最小值為 $0$ ，發生在 $x=1$ 時，而且 $x=1$ 在 $-1\leq x\leq 3$ 的範圍中，所以 $f(x)$ 在 $x=1$ 時有最小值為 $4$ 。

這裡需要非常注意，如果沒有照前面的步驟先排順序就頭尾配對的話就會出錯。

像是 $(\left|{x+1}\right|+\left|{x-1}\right|)+\left|{x-3}\right|\geq(2)+\left|{x-3}\right|\geq 2$ ，等號發生在 ${x=3}$ 時。可是 ${x=3}$ 並不在 ${\left|{x+1}\right|+\left|{x-1}\right|\geq 2}$ 的等式成立條件。

奇數個絕對值相加 — $f(x)=\left|{x+1}\right|+\left|{x-1}\right|+\left|{x-3}\right|$

$f(x)=\left|{x+1}\right|+\left|{x-1}\right|+\left|{x-3}\right|$

進一步我們可以發現，把每一項 $=0$ 時的 $x$ 值列出來，並找出中位數，就是最小值發生時的 $x$ 值。

情況二：偶數個絕對值相加

例如：求 $f(x)=\left|{x+2}\right|+\left|{x+1}\right|+\left|{x-1}\right|+\left|{x-3}\right|$ 的最小值是多少?

方法也跟奇數個絕對值相加一樣，先由小到大排列，再利用三角不等式頭尾配對，原式 $=(\left|{x+2}\right|+\left|{x-3}\right|)+\left|{x+1}\right|+\left|{x-1}\right|$ ，其中 $\left|{x+2}\right|+\left|{x-3}\right|\geq\left|{(x+2)+(3-x)}\right|=5$ ，等號成立於 $-2\leq x\leq 3$ 。而 $\left|{x+1}\right|+\left|{x-1}\right|\geq\left|{(x+1)+(1-x)}\right|=2$ ，等號成立於 $-1\leq x\leq 1$ 。結合兩式條件，在 $-1\leq x\leq 1$ 時， $f(x)$ 有最小值為 $5+2=7$

所以我們可以發現，把每一項 $=0$ 時的 $x$ 值列出來，並找出中間兩個數的區間，就是最小值發生時的 $x$ 值。

一般情況

如果 $S_m<\displaystyle\frac{S}{2},S_{m+1}>\displaystyle\frac{S}{2}$ ，則當 $x=a_{m+1}$ 時， $f(x)$ 有最小值。
如果 $S_m=\displaystyle\frac{S}{2}$ ，則當 $a_m\leq x\leq a_{m+1}$ 時， $f(x)$ 有最小值。

其實就是找中位數的概念而已

例題

求 $f(x)=\left|x-1\right|+2\left|x-2\right|+3\left|x-3\right|+...+31\left|x-31\right|$ 的最小值
求 $f(x)=\left|x-2\right|+\sqrt{2}\left|x-3\right|+\sqrt{3}\left|x-4\right|+\sqrt{5}\left|x-1\right|$ 的最小值

例題解答

利用上面一般情況的公式： $S=1+2+3+...+31=\displaystyle\frac{32\times 31}{2}=496$ , $S_m=1+2+3+...+m=\displaystyle\frac{m(m+1)}{2}$
解方程式 $\displaystyle\frac{m(m+1)}{2}=\displaystyle\frac{496}{2}\Rightarrow m=\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{1985}}{2}$ (負不合)，約等於 $21.8$ 。所以 $S_{21}<\displaystyle\frac{S}{2}$ 且 $S_{22}>\displaystyle\frac{S}{2}$ 。因此最小值為 $f(22)=3046$
先將其排序(按照絕對值內 $=0$ 的 $x$ 值由小到大排序)： $f(x)=\sqrt{5}\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\sqrt{2}\left|x-3\right|+\sqrt{3}\left|x-4\right|$
計算 $\displaystyle\frac{S}{2}\displaystyle=\frac{\sqrt{5}+1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\approx3.19$ ，而 $\sqrt{5}\approx2.23<3.23$ , $\sqrt{5}+1\approx3.23>3.19$ ，所以 $x=2$ 時有最小值為 $\sqrt{5}+\sqrt{2}+2\sqrt{3}$