高中數學｜根軸是什麼？淺談根軸性質、根軸方程式與圓系

圓冪的定義

圓冪(power of a point)是反映定點到定圓的相對距離

如下圖，有一個以A為圓心的圓，過圓外一點 $C$ 做切線 $\overline{\strut CD}$ 、 $\overline{\strut CB}$ 以及割線 $\overline{\strut CE}$ 、 $\overline{\strut CF}$ ，則會滿足： ${\overline{\strut CD}}^2={\overline{\strut CB}}^2={\overline{\strut CH}}\times\overline{\strut CF}=\overline{\strut CG}\times\overline{\strut CE}=k$ ，其中 $k$ 就稱為圓冪。

也有人會將圓冪定義為：

點與圓心距離²-半徑² ( $=\overline{\strut AC}^2-r^2$ )

所以已知一點以及一圓，就能算出點對於圓的圓冪

根軸定義

根軸就是到固定兩圓圓冪相等的點組成的直線。
如下圖，綠線上的任一點與兩圓的圓冪相等，故綠線即為兩圓的根軸。

但是，要怎麼找到根軸呢？以下分為三種情況討論。

尋找根軸

兩圓交於兩點

如下圖，圓 $A$ , $C$ 交於兩點 $D$ , $E$ ， $\overset{\longleftrightarrow}{DE}$ 即為根軸。

兩圓外切

如下圖，圓 $A$ , $C$ 相切於 $B$ 點。連接 $AC$ ，過 $B$ 點做垂直 $AC$ 的直線，此直線即為兩圓的根軸。

兩圓外離

在介紹如何畫出兩圓外離的根軸之前，必須先介紹一個名詞。

根心

平面上存在一點，到「不重合的三個圓」的圓冪都相等，此點稱為根心(即求根軸與根軸的交點)
利用根心性質可找出兩外離圓之根軸

兩圓外離

欲找兩外離圓 $A$ , $C$ 的根軸步驟如下：

畫出兩圓 $E$ , $G$ 。其中圓 $E$ 與圓 $A$ 交於 $O$ , $P$ 兩點，圓 $E$ 與圓 $C$ 交於 $M$ , $N$ 兩點；而圓 $G$ 與圓 $A$ 交於 $K$ , $L$ 兩點，圓 $G$ 與圓 $C$ 交於 $I$ , $J$ 兩點
作 $\overrightarrow{PO}$ , $\overrightarrow{NM}$ 交於 $R$ 、作 $\overrightarrow{KL}$ , $\overrightarrow{JI}$ 交於 $Q$ (即圓 $A$ , $C$ , $E$ 的根心是 $R$ ，圓 $A$ , $C$ , $G$ 的根心是 $Q$ )
$\overset{\longleftrightarrow}{QR}$ (綠線)即為兩圓 $A$ , $C$ 的根軸

根軸性質

根軸垂直兩圓的連心線
根軸上的點到兩圓的切線段等長
兩圓交點必在根軸上
兩圓的根軸方程式為兩圓方程式相減(平方項係數要一樣)

根軸垂直於兩圓的連心線

設 $\overset{\rightharpoonup}{x}$ , $\overset{\rightharpoonup}{v_1}$ , $\overset{\rightharpoonup}{v_2}$ 是 $Q$ , $O_1$ , $O_2$ 的位置向量(即原點到此點的向量)，則根軸方程式可寫成

$\lVert \overset{\rightharpoonup}{x}-\overset{\rightharpoonup}{v_1} \rVert^2-r^2=\lVert \overset{\rightharpoonup}{x}-\overset{\rightharpoonup}{v_2} \rVert^2-r^2$ 整理之後得到 $2\overset{\rightharpoonup}{x}\cdot(\overset{\rightharpoonup}{v_1}-\overset{\rightharpoonup}{v_2})+ \lVert \overset{\rightharpoonup}{m_1} \rVert^2-\lVert \overset{\rightharpoonup}{m_2} \rVert^2+r_2^2-r_1^2=0$

由此可見， $\overset{\rightharpoonup}{v_1}-\overset{\rightharpoonup}{v_2}$ 為根軸的法向量，因此根軸垂直於兩圓的連心線 $\overset{\rightharpoonup}{v_1}-\overset{\rightharpoonup}{v_2}$

根軸方程式

設兩圓方程式為 $\left\{\begin{array}{c}(x-a_1)^2+(y-b_1)^2=r_1^2\\(x-a_2)^2+(y-b_2)^2=r_2^2\end{array}\right.$

則根軸的方程式為 $(x-a_1)^2+(y-b_1)^2-(x-a_2)^2-(y-b_2)^2=r_1^2-r_2^2$

如果對根軸有興趣可以試試看這題(2016AIME)

圓冪的定義

根軸定義

尋找根軸

兩圓交於兩點

兩圓外切

兩圓外離

根心

兩圓外離

根軸性質

根軸垂直於兩圓的連心線

根軸方程式

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