歡迎來到這一節關於 continuity (連續性) 的教學！我們將詳細解釋這個章節的所有內容，讓你從零開始也能完全理解這個微積分中的核心概念。準備好了嗎？讓我們一步步來，把這個看似複雜的主題變得簡單又 有趣！
什麼是 Continuity of a Function (函數的連續性)？
在微積分裡，continuity (連續性) 是描述函數行為的一個重要性質。簡單來說，如果一個函數在某個點是 continuous at $a$ (在 $a$ 點連續)，那麼當 $x$ 靠近 $a$ 時，函數的值會平滑地趨近 於 $f(a)$，不會突然跳來跳去。
回想一下 Section 2.3，我們發現很多時候，limit of a function (函數的極限) 只要把 $x = a$ 代入函數就能算出來。這種性質的函數就被稱為 continuous at $a$。這跟日常語言中的「連 續」很像，比如水流是連續的，沒有中斷。
正式定義 (Definition)
一個函數 $f$ 在某個數 $a$ 上是 continuous at a number $a$，如果滿足以下條件：
$$\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$$
這個定義其實包含了三個要求：
- $f(a)$ 必須有定義，也就是說 $a$ 在 $f$ 的 domain (定義域) 裡。
- $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 必須存在。
- $\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$，極限值等於函數在 $a$ 的值。
白話解釋：想像你在畫一條線，如果你能在某個點附近不抬筆就畫下去，這個函數在這點就是連續的。如果有斷掉的地方，比如跳到另一個高度，那就不連續了。
為什麼要三個條件？如果 $f(a)$ 沒定義，極限再怎麼存在也沒用(下圖一)；如果極限不存在，比如左右兩邊跑去不同地方，也不行(下圖二)；如果極限跟 $f(a)$ 不一樣，還是沒辦法一筆畫完(下圖三)。這三個條件確保函數「平滑無縫」。
什麼是 Discontinuity (不連續)？
如果函數在 $a$ 附近有定義（也就是在包含 $a$ 的某個 open interval (開區間) 上有定義，可能除了 $a$ 本身），但不滿足上面的連續條件，我們就說它在 $a$ 是 discontinuous at $a$ 。
現實例子：車子的位移或速度通常是連續的，因為它們隨時間平滑變化。但像電流可能會突然開關，這就不連續了。比如 Heaviside function 在 $t=0$ 時從 0 跳到 1，極限不存在，所以不連續。
幾何上，連續函數的圖形沒有斷裂，你可以一筆畫完。斷掉的地方就是不連續點。
例題 1 ：找出不連續點
假設我們有一個函數 $f$ 的圖形，請問它在哪些點不連續？為什麼？
解法：
- $a=1$：圖形在這有斷裂，因為 $f(1)$ 沒定義。不滿足條件 1，所以不連續。
- $a=3$：$f(3)$ 有定義，但 $\lim\limits_{x\to 3}f(x)$ 不存在，因為左右極限不同。不滿足條件 2，所以不連續。
- $a=5$：$f(5)$ 有定義，$\lim\limits_{x\to 5}f(x)$ 也存在，但 $\lim\limits_{x\to 5}f(x) \neq f(5)$。不滿足條件 3，所以不連續。
小結：不連續有三種情況：沒定義、極限不存在、極限不等於函數值。這些就是我們要找的「破壞連續性」的兇手！
不連續的類型
不連續點不是都長得一樣，它們有不同的「個性」。讓我們來看看幾種常見類型，用白話和例子幫你搞懂。
1. Jump Discontinuity (跳躍不連續)
當左右極限都存在，但不相等時，這叫 jump discontinuity。就像函數突然「跳」到另一個高度。
白話解釋：想像你在爬樓梯，每一步都是一個跳躍。函數在這點就像跳了一級，左右兩邊高度不同。
為什麼不能修好？因為左右極限不同，你沒法用單一值填補這個「跳躍」。
2. Infinite Discontinuity (無限不連續)
當函數在 $x$ 靠近 $a$ 時跑向無限大或無限小，這是 infinite discontinuity。常見於有垂直漸進線的地方，比如 $\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$。
白話解釋：這就像函數突然衝上天或掉進無底洞，沒法平滑連接。
3. Removable Discontinuity (可移除不連續)
如果極限存在，但函數在 $a$ 沒定義，或定義的值跟極限不一樣，這是 removable discontinuity。你可以重新定義 $f(a)$ 來修好它。
白話解釋：就像畫畫時不小心漏了一點，但你知道應該連起來，只要補上這點就好了。
怎麼分辨可移除？看左右極限是否相等且存在。如果是，就能修；如果不是（像跳躍），就修不了。
單側連續性
有時函數只從一邊連續：
- Continuous from the left (左連續)：$\lim\limits_{x\to a^-}f(x) = f(a)$。
- Continuous from the right (右連續)：$\lim\limits_{x\to a^+}f(x) = f(a)$。
在區間端點，單側連續就夠了。比如閉區間 $[a, b]$，在 $a$ 只要右連續，在 $b$ 只要左連續。
例題 2：Floor Function
函數 $f(x) = [ x ]$（取整函數，最大的小於等於 $x$ 的整數）在每個整數 $n$ 上，如何判斷連續性？
解法：
在 $x = n$（比如 $n=2$）：
- 右極限：$\lim\limits_{x\to 2^+} [ x ] = 2 = f(2)$，所以右連續。
- 左極限：$\lim\limits_{x\to 2^-} [x ] = 1 \neq f(2)$，所以不左連續。
結論：每個整數上右連續，但因跳躍而不左連續。
例題 3：證明區間連續
證明 $f(x) = 1-\sqrt{1-x^2}$ 在 $[-1, 1]$ 上連續。
解法：
1. 內部點 $-1 < a < 1$：
$$\begin{aligned}\lim\limits_{x\to a} f(x) &=\lim\limits_{x\to a} (1-\sqrt{1-x^2}) \\\\&= 1-\sqrt{1-a^2} \\\\&= f(a)\end{aligned}$$
用 Limit Laws，每步都連續，所以內部連續。
2. 端點檢查：
- $x = -1$，右極限：$\lim\limits_{x\to -1^+} f(x) = 1 = f(-1)$，右連續。
- $x = 1$，左極限：$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = 1 = f(1)$，左連續。
結論：在 $[-1, 1]$ 上連續，圖形是下半圓，無斷裂。
Properties of Continuous Functions (連續函數的性質)
不用每次都用定義檢查連續性，我們可以用定理把簡單的連續函數組合起來，得到更複雜的連續函數。
定理 4：
- 若 $f$ 和 $g$ 在 $a$ 連續，則 $f+g$、$f-g$ 也連續。
- $f \cdot g$ 也連續。
- 若 $g(a) \neq 0$，則 $\dfrac{f}{g}$ 連續。
- 常數函數到處連續。
- Identity 函數 $f(x) = x$ 到處連續。
結果：
- Polynomials (多項式) 到處連續。
- Rational functions (有理函數) $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ 在 $Q(x) \neq 0$ 的地方連續。
例題 4：快速求極限
求 $\lim\limits_{x\to -2} \dfrac{x^3+2x^2-1}{5-3x}$
解法：
這是有理函數，定義域是 $5-3x \neq 0$，即 $x \neq \dfrac{5}{3}$。在 $x = -2$，分母 $5-3(-2) = 11 \neq 0$，所以連續。
$$\begin{aligned}\lim\limits_{x\to -2} f(x) &=f(-2) \\\\&= \dfrac{(-2)^3+2(-2)^2-1}{5-3(-2)} \\\\&= -\dfrac{1}{11}\end{aligned}$$
常見連續函數
這些函數在它們的定義域內都連續：
- Trigonometric functions (三角函數)：如 $\sin x$、$\cos x$。
- Inverse trigonometric functions (反三角函數)：如 $\tan^{-1}x$。
- Exponential functions (指數函數)：如 $b^x$。
- Logarithmic functions (對數函數)：如 $\ln x$。
例外：$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ 在 $\cos x = 0$（$x = \pm \dfrac{\pi}{2}, \pm \dfrac{3\pi}{2}, \ldots$）有無限不連續。
Composite Functions (複合函數)
定理 9： 若 $g$ 在 $a$ 連續，$f$ 在 $g(a)$ 連續，則 $f \circ g$ 在 $a$ 連續。
白話解釋：連續的連續還是連續，就像接力賽，兩段都跑得好，整個就順暢。
例題 5：判斷連續性
以下函數哪裡連續？
a. $h(x) = \sin(x^2)$
b. $F(x) = \ln(1+\cos x)$
解法：
a. $g(x) = x^2$ 到處連續，$f(x) = \sin x$ 也到處連續，所以 $h(x) = f(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上連續。
b. $g(x) = 1+\cos x$ 到處連續，$f(x) = \ln x$ 在 $x > 0$ 連續。當 $\cos x = -1$（$x = \pm \pi, \pm 3\pi, \ldots$）時，$1+\cos x = 0$，函數無定義。所以在這些奇數倍 $\pi$ 之間的區間連續。
The Intermediate Value Theorem (中值定理)
定理 10： 若 $f$ 在閉區間 $[a, b]$ 上連續，$N$ 是 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之間的任何數，則存在 $c \in (a, b)$ 使得 $f(c) = N$。
白話解釋：連續函數像條繩子，從 $f(a)$ 到 $f(b)$ 不會斷，路上一定會經過每一個中間值。
為什麼要連續？不連續的函數可能「跳過」某些值，中值定理就不成立了。
例題 6：找方程解
證明方程 $4x^3-6x^2+3x-2 = 0$ 在 $(1, 2)$ 間有解。
解法：
令 $f(x) = 4x^3-6x^2+3x-2$。它是多項式，所以在 $[1, 2]$ 上連續。
計算：
- $f(1) = 4-6+3-2 = -1 < 0$
- $f(2) = 32-24+6-2 = 12 > 0$
$f(1) < 0 < f(2)$，由 Intermediate Value Theorem，存在 $c \in (1, 2)$ 使 $f(c) = 0$。
更精確一點：
- $f(1.2) = -0.128 < 0$
- $f(1.3) = 0.548 > 0$
解在 $(1.2, 1.3)$ 之間。再試：
- $f(1.22) < 0$
- $f(1.23) > 0$
解在 $(1.22, 1.23)$ 之間。
總結：連續性的關鍵觀念
- 函數在某點連續的定義：
一個函數 $f$ 在某數 $a$ 上連續，當且僅當： $\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$ 換句話說，要連續，必須滿足三個條件：- $f(a)$ 有定義
- $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 存在
- $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$
- 不連續的三種常見類型：
- 可移除不連續：極限存在但 $f(a)$ 沒定義或不等於極限 → 可以修補。
- 跳躍不連續：左右極限存在但不相等 → 不能修補。
- 無限不連續：函數發散至無限大或無限小 → 也無法修補。
- 單側連續：
- 在端點，只需要檢查左連續或右連續。
- 連續函數的性質：
- 多項式、常數函數、三角函數、對數、指數函數在定義域內皆連續。
- 函數加減乘除（除法需分母不為 0）、複合函數，在適當條件下仍是連續的。
- 中值定理 (Intermediate Value Theorem)：
- 若 $f$ 在 $[a,b]$ 連續，則它會經過 $f(a)$ 和 $f(b)$ 間所有的數值。
- 用來證明方程有解，或找出函數必然經過的某些值。
這些觀念構成微積分中對「連續」最核心的理解，是後續學習極限、導數甚至積分的基礎。