單邊極限（One-Sided Limits）
有時候，函數的定義只存在某一側，或我們只關心從某一側趨近的行為，這時候就需要用到「單邊極限」。
例如，在分段函數中，當 $x \to a$ 時，左右兩側的函數行為可能不同。
- $\displaystyle \lim\limits_{x \to a^-} f(x)$：從左邊靠近 $a$
- $\displaystyle \lim\limits_{x \to a^+} f(x)$：從右邊靠近 $a$
精確定義（左極限）：
我們說 $\displaystyle \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = L$，意思是：
對任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得當 $a-\delta<x<a$ 時，就有 $|f(x)-L|<\varepsilon$。
精確定義（右極限）：
我們說 $\displaystyle \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L$，意思是：
對任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得當 $a<x<a+\delta$ 時，就有 $|f(x)-L|<\varepsilon$。
全部極限存在的條件
要讓 $\displaystyle \lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ 成立，必須同時滿足：
- 左極限存在且為 $L$
- 右極限存在且也為 $L$
$$ \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L \Rightarrow \lim\limits_{x \to a} f(x) = L $$
如果左右極限不一致，則 $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ 不存在！
極限定律（The Limit Laws）的應用
你已經學過極限定律的計算技巧（2.3 節），但你可能沒注意到：
這些定律不是憑空成立的，而是可以用 epsilon-delta 精確定義來證明出來！
例如，如果：
$$ \lim\limits_{x \to a} f(x) = L, \quad \lim\limits_{x \to a} g(x) = M $$
那麼：
$$ \lim\limits_{x \to a} (f(x)+g(x)) = L+M $$
我們會使用三角不等式：
$$ |f(x)+g(x)-(L+M)| \leq |f(x)-L|+|g(x)-M| $$
再透過選擇合適的 $\delta$，讓每一項都小於 $\varepsilon/2$，合起來就小於 $\varepsilon$。
無窮極限（Infinite Limits）
在某些情況下，函數值會變得越來越大或越來越小，這種情況下極限值「不存在」於實數中，但我們仍然可以描述這種趨勢。
例如：
$$ \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty, \quad \lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty $$
雖然這些極限不「存在」，但我們說它趨近於 $+\infty$ 或 $-\infty$，用來表達函數值的增長趨勢。
無窮極限的精確定義：
我們說：
$$ \lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty $$
意思是：對任意 $M>0$，都存在 $\delta>0$，使得當 $0<|x-a|<\delta$ 時，有 $f(x)>M$。
我們說：
$$ \lim\limits_{x \to a} f(x) = -\infty $$
意思是：對任意 $N<0$，都存在 $\delta>0$，使得當 $0<|x-a|<\delta$ 時，有 $f(x)<N$。
範例：證明 $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$
我們要證明：對任何 $M>0$，只要$\ x \in (0, \delta) $，那麼 $\dfrac{1}{x}>M$。
$$ \dfrac{1}{x}>M \Rightarrow x<\dfrac{1}{M} $$
所以只要我們令：
$$ \delta = \dfrac{1}{M} $$
當 $0<x<\delta$ 時，就會有 $\dfrac{1}{x}>M$。
這就證明了：
$$ \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty $$
小結
- 精確定義的核心在於「給定誤差 → 控制距離」
- 左右極限讓我們能更細緻分析分段或不連續函數
- 所有極限定律都可以從定義出發來證明
- 無窮極限讓我們能定義函數「爆衝」的行為