在第2.2節中，我們使用計算機和圖表來猜測極限值，但我們發現這些方法並不是每次都很精準能求出極限。在本節中，我們利用下列極限性質——所謂的極限定律——來計算極限。
極限定律
當我們已知某些簡單函數的極限時，可以利用下面這些極限定律來計算複雜函數的極限。
假設當 $x\rightarrow a$ 時， $\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)$ 與 $\lim\limits_{x\rightarrow a} g(x)$ 都存在，則有：
- 加法法則(Sum Law)
$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\left[f(x)+g(x)\right]=\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)+\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)$$ - 減法法則(Difference Law)
$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\left[f(x)-g(x)\right]=\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)-\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)$$ - 常數倍法則(Constant Multiple Law)
$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\left[cf(x)\right]=c\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$$ - 乘法法則(Product Law)
$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\left[f(x)g(x)\right]=\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\cdot\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)$$ - 除法法則(Quotient Law)
$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)}\ \mbox{if}\ \lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)\neq 0$$
注意要在$\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)$ 與 $\lim\limits_{x\rightarrow a} g(x)$ 都存在 才可使用。
其他極限性質
- 當 $n$ 為正整數時，$\lim\limits_{x\rightarrow a} \left[f(x)\right]^n=\left[\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)\right]^n$
- 當 $n$ 為正整數時，$\lim\limits_{x\rightarrow a} \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)}$ (若 $n$ 為偶數時假設 $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)>0$ )
- $\lim\limits_{x\rightarrow a} c = c$ ( $c$ 為常數)
- $\lim\limits_{x\rightarrow a}x=a$
例題
1.計算 $\lim\limits_{x\rightarrow 5} (4x^2-2x+5) $ 的極限。
解：
$\begin{alignedat}{2} \lim_{x\rightarrow 5} (4x^2-2x+5) &= \lim_{x\rightarrow 5}(4x^2)-\lim_{x\rightarrow 5}(2x)+\lim_{x\rightarrow 5}5 &\quad& (\mbox{極限“定律”1.、2.})\\[1mm] &= 4\lim_{x\rightarrow 5}x^2-2\lim_{x\rightarrow 5}x+\lim_{x\rightarrow 5}5 &\quad& (\mbox{極限“定律”3.})\\[1mm] &= 4(5^2)-2(5)+5 &\quad& (\mbox{極限“性質”1.、3.、4.})\\[1mm] &= 95. \end{alignedat}$
2.計算 $\lim\limits_{x\rightarrow 5} \dfrac{3x^2+1}{x^2-5x+2}$ 的極限。
$ \begin{alignedat}{2} \lim\limits_{x\rightarrow 5}\frac{3x^2+1}{\,x^2-5x+2} &=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 5}(3x^2+1)}{\lim\limits_{x\rightarrow 5}(x^2-5x+2)} \quad && (\text{極限“定律”5.})\\[1mm] &=\frac{3\lim\limits_{x\rightarrow 5}x^2+\lim\limits_{x\rightarrow 5}1}{\lim_{x\rightarrow 5}x^2-5\lim_{x\rightarrow 5}x+\lim\limits_{x\rightarrow 5}2} \quad && (\text{極限“定律”1.、3.})\\[1mm] &=\frac{3\cdot 5^2+1}{5^2-5\cdot 5+2} \quad && (\text{極限“性質”1.、3.、4.})\\&=38\end{alignedat} $
3.計算$\lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}$ 。
(1) 當我們想直接將 $x=2$ 代入函數 $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ 時，會發現分母變為 0，而分子也同時變為 0，導致函數在 $x=2$ 沒有定義。因此，我們無法用「直接帶入」的方式來求極限，也不能馬上使用除法的極限定律（因為分母的極限為 0）。
(2) 為了消除 $\dfrac{0}{0}$ 的不定形式，我們注意到分子 $x^2-4$ 可以因式分解為 $ x^2-4 = (x-2)(x + 2). $ 這樣一來，原先的函數就可寫成 $ \dfrac{x^2-4}{x – 2}=\dfrac{(x-2)(x + 2)}{x – 2}. $ 當 $x \neq 2$ 時，$(x-2)$ 不會是 0，我們可以將其「約分」掉，得到 $ \dfrac{(x-2)(x + 2)}{x-1} = x + 2\quad (\text{僅在 } x \neq 2 \text{ 時相等}). $
(3) 求極限：由於我們討論的是 \(x\) 趨近於 2、而不是 $x$ 等於 2 的行為，所以可以改用較簡單的函數 $x +2$ 來求極限。 $ \lim\limits_{x \to 1}\dfrac{x^2-4}{x-2} = \lim\limits_{x \to 2} (x + 2) = 2+ 2 = 4 $
(4) 重點說明 ： 即使 $\dfrac{x^2-4}{x-2} $ 在 $x=2$ 沒有定義，並不妨礙我們討論 $x$ 趨近 $2$ 的極限。在微積分的極限概念中，$x$ 不需要真的等於 2，只要夠接近 2 即可。因式分解或其他代數技巧（如有理化、約分）是解決 $\dfrac{0}{0}$ 型不定式的常見方法。 最終，我們得到 $\lim\limits_{x \to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2} = 4. $
於是有以下結論:
如果當 $x\neq a$ 時 $ f(x) =g(x)$ ，那麼只要極限存在，就有 $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)$