✦ 本節目標：
- 了解並掌握「極限定律」（Limit Laws）
- 學會直接代入法(Direct Substitution Property)
- 學會在無法直接代入時，用代數技巧來簡化極限的計算
- 知道哪些情況可以「等價取代」一個函數來求極限
- 使用單邊極限來處理分段函數的極限
- 認識夾擠定理(Squeeze Theorem)的用途與直覺意義
極限定律 Limit Laws
我們之前學過利用代數或圖形去「猜」極限的值，但這一節教我們用規則明確的定律來計算極限，使我們不再只是靠直覺，而能「確實算出來」。
假設我們已知$\lim_{x \to a} f(x) \ \text{和} \ \lim_{x \to a} g(x)$ 都存在，那麼極限定律告訴我們：
- 加法法則(Sum Law)
$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\left[f(x)+g(x)\right]=\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)+\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)$$ - 減法法則(Difference Law)
$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\left[f(x)-g(x)\right]=\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)-\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)$$ - 常數倍法則(Constant Multiple Law)
$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\left[cf(x)\right]=c\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$$ - 乘法法則(Product Law)
$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\left[f(x)g(x)\right]=\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\cdot\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)$$ - 除法法則(Quotient Law)
$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)}\ \mbox{if}\ \lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)\neq 0$$
注意要在$\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)$ 與 $\lim\limits_{x\rightarrow a} g(x)$ 都存在 才可使用。
其他極限性質
- 當 $n$ 為正整數時，$\lim\limits_{x\rightarrow a} \left[f(x)\right]^n=\left[\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)\right]^n$
- 當 $n$ 為正整數時，$\lim\limits_{x\rightarrow a} \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x)}$ (若 $n$ 為偶數時假設 $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)>0$ )
- $\lim\limits_{x\rightarrow a} c = c$ ( $c$ 為常數)
- $\lim\limits_{x\rightarrow a}x=a$
直接代入法
當函數是多項式或有理函數時，只要在極限點的定義域內，就可以直接把 x 代入，這就叫做直接代入法。
直接代入法
如果 $f(x)$ 是一個多項式或有理函數，且 $a$ 在定義域內，則： $$\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$$
例題 1：多項式函數
計算： $$ \lim\limits_{x \to 2} (3x^2-5x+1) $$
解： 因為這是一個多項式函數，可以直接代入： $$\begin{aligned}\lim_{x \to 2} (3x^2-5x+1) &= 3(2)^2-5(2)+1\\&=12-10+1\\&=3\end{aligned}$$
遇到「0/0」不能直接代入時，怎麼辦？
當我們直接代入後發現是：
$$\dfrac{0}{0}$$
這叫做不定形（Indeterminate form），表示我們還不知道極限到底是多少，這時候就要用代數技巧處理。
例題 2：因式分解
計算：
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}$
解：
看到分母變 0 要小心！這是 0/0 型，我們試著因式分解：
$$\dfrac{x^2-1}{x-1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}$$
只要 $x \ne 1$，就可以約掉：
$$\dfrac{x^2-1}{x-1} = x+1$$
所以，
$$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1} (x+1) = 2$$
例題 3：有根號時，乘以共軛式
計算：
$$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x}$$
解：
這是 0/0 型，可以乘以共軛式 $\sqrt{x+9}+3$：
$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x}&=\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{x+9}+3}{\sqrt{x+9}+3} \\&= \dfrac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)} \\&= \dfrac{1}{\sqrt{x+9}+3}\end{aligned}$$
代入 $x = 0$ 得：
$$\dfrac{1}{\sqrt{9}+3} = \dfrac{1}{6}$$
極限替代定理
極限替代定理：
如果 $f(x) = g(x)$ 當 $x \ne a$，而且 $\lim\limits_{x \to a} g(x)$ 存在，則
$$\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} g(x)$$
這解釋了為什麼我們可以「約掉分母」或「移除不連續點」，因為兩個函數在附近的行為是一樣的！
單邊極限（One-Sided Limits）
當我們想了解函數在某一點附近的行為，有時候只需要考慮「從左邊接近」或「從右邊接近」的情況，這就需要單邊極限的概念。
直覺觀念
- 左邊靠近：看 $x$ 從比 $a$ 小的值慢慢逼近 $a$
- 右邊靠近：看 $x$ 從比 $a$ 大的值慢慢逼近 $a$
單邊極限的符號與定義
左極限（Left-Hand Limit）
$$\lim\limits_{x \to a^-} f(x)$$
表示 $x$ 從左邊（小於 $a$）慢慢靠近 $a$ 時，$f(x)$ 的極限。右極限（Right-Hand Limit）
$$\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$$
表示 $x$ 從右邊（大於 $a$）慢慢靠近 $a$ 時，$f(x)$ 的極限。
判斷單邊極限
單邊極限的判別定理(兩側極限一致，極限才存在)
如果
$$\lim\limits_{x \to a^-} f(x)=\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L$$
則
$$\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$$
否則 $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ 不存在！
例題：分段函數的單邊極限
定義：
$$f(x) =
\begin{cases}
x^2, & x < 1 \\ 2x-1, & x > 1
\end{cases}$$
請問：
$$\lim\limits_{x \to 1} f(x)=?$$
解：
先看左右兩邊極限：
- 左極限：
$$\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) =\lim\limits_{x \to 1^-} x^2= 1^2 = 1$$ - 右極限：
$$\begin{aligned}\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) &=\lim\limits_{x \to 1^+} (2x-1) \\&= 2(1)-1 \\&= 1\end{aligned}$$
兩個都等於 $1$ ，因此
$$\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 1$$
例題
求 $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} |x|=?$
解法：
我們先觀察：
- 當 $x > 0$，有 $|x| = x$
- 當 $x < 0$，有 $|x| = -x$
所以：
- $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0^-} |x| = \lim\limits_{x \to 0^-} (-x) = 0$
- $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0^+} |x| = \lim\limits_{x \to 0^+} (x) = 0$
因為左右極限相等，因此 $\lim\limits_{x \to 0} |x| = 0$
例題
求 $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}=?$
這題看起來只是多了個除以 $x$，但行為卻完全不同！
分段表示：
$$\dfrac{|x|}{x} =
\begin{cases}
-1, & x < 0 \\ 1, & x > 0
\end{cases}$$
觀察左右極限：
- $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{|x|}{x} = -1$
- $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{|x|}{x} = 1$
左右極限不相等 $\Rightarrow\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x} \ \text{不存在！}$
我們畫出這兩個函數的圖像，可以清楚看見：
- $|x|$ 的極限存在
- $\dfrac{|x|}{x}$ 的極限「從左是 -1、從右是 1」→ 不存在
夾擠定理(Squeeze Theorem)
為什麼需要夾擠定理？
有些函數的極限很難直接算，尤其像：
- 涉及震盪（例如 $\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$）
- 或是表達式在趨近某一點時變得複雜又難以化簡
這時候，我們若能找到「上下兩個比較簡單的函數」，而且它們的極限是一樣的，那麼就能「夾住」我們要的函數極限值。
定理敘述
夾擠定理(Squeeze Theorem)
假設在某個區間（不含 a）內，對所有 $x$ 有：
$$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$$
而且
$$\lim\limits_{x \to a} f(x) =\lim\limits_{x \to a} h(x) = L$$
那麼：
$$\lim\limits_{x \to a} g(x) = L$$
例題：震盪型函數
計算：
$$\lim\limits_{x \to 0} x^2 \cdot \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$$
為什麼這題不能直接算？
因為 $\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 當 $x \to 0$ 的時候會一直震動，像這樣：
- 當 $x = 0.1$：$\sin(10)$
- 當 $x = 0.01$：$\sin(100)$
- 當 $x = 0.001$：$\sin(1000)$
→ 根本不知道它是正還是負，而且震盪越來越快！
但有個事實我們知道：
$$-1 \leq \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) \leq 1$$
兩邊同時乘上 $x^2$（注意：$x^2 \geq 0$）：
$$- x^2 \leq x^2 \cdot \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) \leq x^2$$
接著觀察極限：
- $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} -x^2 = 0$
- $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} x^2 = 0$
根據夾擠定理，我們得到：
$$\lim\limits_{x \to 0} x^2 \cdot \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0$$
圖形輔助
畫出這個例子的三條曲線：
- 上界：$y = x^2$
- 下界：$y = -x^2$
- 中間函數：$y = x^2 \cdot \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$
你會看到震盪的圖像被漸漸擠進 $0$
這張圖直觀展現了夾擠定理的核心概念：
- 綠色兩條曲線是 $y = x^2$ 和 $y = -x^2$，像兩道牆越來越靠近 $y = 0$。
- 中間藍色那條，是震盪的 $x^2 \cdot \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$，雖然在抖動，但永遠被夾在綠色牆中間。
小結：解極限的流程建議
- 嘗試直接代入（尤其是多項式、有理函數）
- 若為不定形（0/0），用：
- 因式分解
- 共軛式
- 通分、展開、代換
- 善用極限替代定理
- 分段函數→用單邊極限
- 夾擠定理