微積分的核心就在於「極限」這個概念，透過極限我們可以解決許多關於變化率與瞬間變化的問題。兩個典型的問題分別是切線問題與速度問題，下面分別來說明這兩個問題及其背後的原理。
切線問題
切線的概念
- 直觀定義： 在一條曲線上，切線是一條僅在某一點與曲線接觸，且在該點與曲線有相同方向的直線。
- 在曲線的定義不精確： 對於簡單的圓，我們可以說切線僅與圓相交一次，但對於一般曲線，這樣的定義就不夠精確，因為曲線可能有多處交點。
所以我們會用以下方法來定出切線：
利用割線逼近切線
由於我們只有一個接觸點 P，無法直接求得直線的斜率，解法是：
- 選取另一點 Q： 在曲線上任取一點 Q（離 P 不遠）。
- 計算割線斜率： 割線是連接 P 與 Q 的直線，其斜率 $m_{PQ}$ 可用來近似切線的斜率。
- 讓 Q 趨近 P： 當我們令 Q 逐漸靠近 P 時，割線的斜率會漸漸穩定下來，這個極限值就是切線的斜率。
舉例說明
以拋物線 $y=x^2$ 為例，求點 $P(1,1)$ 處的切線：
- 任取點 $Q(x,x^2)$ （其中 x 接近 1），則割線斜率為 $$m_{PQ} = \dfrac{x^2-1}{x-1}$$
- 注意到 $x^2−1$ 可以因式分解為 $(x−1)(x+1)$ ，故 $$m_{PQ} = \dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1$$
- 當 $x$ 趨近 $1$ ， $x+1$ 趨近 $2$ ，因此我們得到切線斜率為 $2$ 。
- 利用點斜式 $y−y_1=m(x−x_1)$ ，代入 $ P(1, 1) $ 與斜率 $2$ ，可得到切線方程式： $$y-1 = 2(x-1) \ \mbox{或}\ y=2x-1 $$
這個過程說明了如何透過極限（即讓 $Q$ 無限靠近 $P$ ）來定義和求取切線的斜率，這正是導數的基本想法。
速度問題
瞬時速度的意義
在日常生活中，車速錶顯示的是一瞬間的速度，即物體在某一瞬時的運動速率。但如果只知道物體在不同時間的位置，我們如何得到“瞬時速度”呢？
由平均速度到瞬時速度
- 平均速度： 在某段時間內，物體位置變化除以所花的時間。例如，若物體在 $t$ 秒時的位置為 $s(t)$，在 $t+h$ 秒時的位置為 $s(t+h)$ ，那麼平均速度為 $$\dfrac{s(t+h)-s(t)}{h}$$
- 瞬時速度： 當我們令時間間隔 $h$ 趨近於 $0$ ，平均速度的極限值就定義為該時刻的瞬時速度，也就是 $$\mbox{瞬時速度}=\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{s(t+h)-s(t)}{h}$$
舉例說明
假設一自由落體的位移函數為 $s(t)=4.9t^2$（忽略空氣阻力），我們要計算 $t=5$ 秒時的瞬時速度：
- 計算從 $t=5$ 到 $t=5+h$ 的平均速度： $$\dfrac{4.9(5+h)^2−4.9(5)^2}{h}$$
- 當 $h$ 趨近 $0$ ，這個表達式的極限值會趨向 $49$ （單位：公尺/秒），因此物體在第 $5$ 秒時的瞬時速度為 $49$ m/s
這與切線問題非常相似：在位置－時間圖中，平均速度即為連接兩點 $(5,s(5))$ 和 $(5+h,s(5+h))$ 的割線斜率，而瞬時速度則是當 $h$ 趨近於 $0$ ，割線斜率的極限值，即該點處曲線的切線斜率。
總結
- 極限的核心地位：
透過極限，我們可以從一個割線的斜率逐漸逼近切線斜率，進而定義函數在某一點的變化率（即導數）。 - 切線問題：
由於切線僅與曲線在一點接觸，我們無法直接求斜率，但可以藉由取另一點、計算割線斜率，並讓這兩點越來越接近，從而求得切線斜率。 - 速度問題：
物理上的瞬時速度就是在極短時間內的平均速度極限值，而這正等價於位置－時間圖中曲線在該點的切線斜率。
這兩個問題展示了微積分如何利用極限思想來解決實際問題，也是學習導數和後續微積分應用的重要基礎。