國中數學｜什麼是多項式？什麼是方程式？簡單區分多項式與方程式！

在學習國中數學時，學生常常分不清楚什麼是多項式、什麼是方程式。本篇文章我會教大家如何區分多項式與方程式，並且用樹狀圖區分方程式與多項式，讓讀者更好理解。

什麼是多項式？

多項式是由未知數與常數通過加減法、乘法及正整數次方組成的運算。

什麼意思呢？舉個例子：

如下圖，小正方形的邊長為 1 單位，面積是 1 平方單位；長方形的長為 1 單位、寬為 $x$ 單位，面積是 $x$ 平方單位；大正方形的邊長為 $x$ 單位,面積是 $x^2$ 平方單位。

請問：上面所有圖形的面積是多少？它是一個多項式嗎？

答案是 $x^2+x+x+1+1+1$ ，算出來就是 $x^2+2x+3$

因為他是由 1 個 $x^2$ 、2個 $x$ 、3個 $1$ 所組成，這裡的1、2、3 就是常數， $x$ 是未知數。換句話說， $x^2+2x+3$ 是由未知數與常數通過加減法、乘法及正整數次方組成的運算。所以 $x^2+2x+3$ 是一個多項式。

可以很容易發現，多項式是用來描述一個東西的大小。像是：一包泡麵 $x$ 元，五包就是 $5x$ 元，其中 $5x$ 就是一個多項式。

不過要注意的是：並不是用來描述東西大小的式子都是多項式，像是： $x$ 枝鉛筆30元，1枝就是 $\displaystyle\frac{30}{x}$ 元，然而 $\displaystyle\frac{30}{x}$ 並不能由未知數與常數通過加減法、乘法及正整數次方組成的運算，因為 $\displaystyle\frac{1}{x}$ 需要一個除以 $x$ 的動作才能完成，所以 $\displaystyle\frac{30}{x}$ 不是多項式。

但是，不要看到一個式子有分數就說它不是多項式，例如： $\displaystyle\frac{x}{6}$ 它其實是一個多項式，因為它可以由常數( $\displaystyle\frac{1}{6}$ )與未知數( $x$ )相乘而得。

以下這些都是多項式

$0$ 、 $1$ 、 $x$ 、 $6x^3+2x^2+1$ 、 $\displaystyle\frac{x^2+5x+7}{6}$ 、 $|x|^2$ (其實就是 $x^2$ )、 $1+2xy^2+3x^3y+4x^4y^2+5x^5$

以下這些都不是多項式

$\displaystyle\frac{1}{x}$ 、 $\displaystyle\frac{1}{x^2+5x+13}$ 、 $\displaystyle 2^x$ 、 $|x|$ 、 $\sqrt{x}$

多項式的次數與係數

在一個多項式中，係數不為 0 且次數最高的項稱為最高次項，而最高次項的次數稱為此多項式的次數。

例如： $6x^3+2x^2+1$ 次數最高為三次，就稱此多項式的次數是 $3$ 並且 $6x^3$ 稱為三次項， $2x^2$ 稱為二次項， $1$ 稱為常數項。

此外，未知數前的數字稱為係數

例如： $6x^3+2x^2+1$ 的三次項係數為 $6$ ，二次項係數為 $2$ ，常數項係數為 $1$

升冪與降冪

以 $5x^2+2x^4+6x^3+2x+1$ 作舉例

將次數由大到小排列，稱為降冪，如： $2x^4+6x^3+5x^2+2x+1$

將次數由小到大排列，稱為升冪，如： $1+2x+5x^2+6x^3+2x^4$

通常我們都會用降冪來表示。

同類項與多項式的加減運算

未知數及次數均相同的項稱為同類項。例如： $2x^2$ 和 $5x^2$ 是同類項； $4$ 和 $10$ 是同類項； $x^2$ 和 $y^2$ 不是同類項。

當兩個多項式相加減時，只要將同類項合併即可(同類項係數相加)

例如： $(6x^3+2x^2+1)+(5x^3+3x^2+2x+1)$ $=(6+5)x^3+(2+3)x^2+(0+2)x+(1+1)$ $=11x^3+5x^2+2x+2$ ； $(6x^3+2x^2+1)-(5x^3+3x^2+2x+1)$ $=(6-5)x^3+(2-3)x^2+(0-2)x+(1-1)$ $=-x^3-x^2-2x+0$

什麼是方程式？

含有一個或一個以上未知數的等式。舉個例子：

已知所有的面積總和為 $5$ 平方單位，請問要如何列式？

答案是 $x^2+2x+3=5$ ，因為它是一個含有未知數的等式，所以是方程式。

可以很容易發現，方程式陳述與未知數有關的事實。像是：一包泡麵 $x$ 元，已知五包泡麵是 $50$ 元，我們就能列出 $latex 5x=50$ 的方程式來陳述五包泡麵50元的事實。

以下這些都是方程式

$x=0$ 、 $6x^3+2x^2+1=15$ 、 $\displaystyle\frac{x^2+5x+7}{6}=y$ 、 $|x|=13$ 、 $1+2xy^2+3x^3y+4x^4y^2+5x^5=0$ 、 $\displaystyle\frac{1}{x^2+5x+7}=y$

以下這些都不是方程式

$1=1$ 、 $x^3+2$

多項式和方程式的差異整理

類型	特徵	用途	區分方式
多項式	由未知數與常數通過加減法、乘法及正整數次方組成的運算(如：x+xy+y+28)	用來描述一件事情的大小(如：一包泡麵x元，五包就是5x元，5x就是一種多項式)	沒有等號(有的話就是方程式，沒有的話再看第二點) 未知數不在分母、絕對值、指數、根號內
方程式	含有一個或一個以上未知數的等式(如：x+xy+y+28=0)	用來陳述與未知數有關的事實(如：五包泡麵50元，就能列出5x=50的方程式，來陳述五包泡麵50元的事實)	有等號