極限是微積分中的基本概念，主要用來描述當自變數 $x$ 趨近某一數值 $a$ （但不等於 $a$）時，函數 $f(x)$ 的值趨向於某個固定數 $L$ 的情形。理解極限有助於後續認識導數、連續性與積分等內容。本文只會以圖形直觀的方式解釋什麼是極限
極限的基本概念
- 符號與定義：當我們寫 $$\lim_{x\rightarrow a} =L $$ 意味著只要讓 $x$ 取離 $a$ 足夠近的值（但 $x\neq a$），函數 $f(x)$ 的值就會越來越接近 $L$ （可以任意接近）。
例題
觀察函數 $f(x)=\dfrac{(x-1)}{(x^2-1)}$ 在 $x$ 接近 $1$ 時的行為。下表為當 $x$ 接近 $1$ 但不等於 $1$ 的值。
從上圖所示的表格和 $f$ 的圖形可以看出， $x$ 越接近 $1$（無論是從左邊還是右邊）， $f(x)$ 就越接近 $0.5$。事實上，看起來只要令 $x$ 足夠接近 $1$，我們就可以使 $f(x)$ 的值任意接近 $0.5$。這種情形我們用下面的說法來表示：「當 $x$ 趨近於 $1$ 時，函數 $f(x)$ 的極限等於 $0.5$ 。」其記號表示為： $$\lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{x-1}{x^2-1}=0.5 $$
- 直觀說明：
重點不在於 $f(a)$ 是否定義，而在於當 $x$ 接近 $a$ 時（不論從哪一側）， $f(x)$ 呈現什麼樣的趨勢。例如，當我們從數值表格或圖形上觀察時，如果越來越接近某個固定值 $L$ ，就可說極限存在且等於 $L$ 。
直觀定義單側極限
- 定義：
當我們只考慮 $x$ 從左邊 ( $x<a$ )或右邊 ($x>a$)接近 $a$ 時，分別稱為左極限與右極限。符號分別寫作 $$\lim_{x\rightarrow a^{-}} f(x)\ \mbox{和}\ \lim_{x\rightarrow a^{+}} f(x)$$ - 單側極限與極限的關係 $$\left(\lim_{x\rightarrow a^{-}} f(x) =L \right)\Leftrightarrow \left(\lim_{x\rightarrow a^{-}} f(x)=L\ \mbox{和}\ \lim_{x\rightarrow a^{+}} f(x)=L\right)$$
極限不存在的情形
極限不存在可能有以下幾種原因：
- 左右極限不同：如 Heaviside 函數，定義如下： $$H(t) = \left\{\begin{array}{l} 0\ \mbox{if} \ t<0\\ 1\ \mbox{if}\ t\geq 0\end{array}\right.$$
Heaviside 函數在 $t=0$ 的極限不存在，因為
$$\lim_{x\rightarrow 0^{-}} f(x)=0$$ $$\lim_{x\rightarrow 0^{+}} f(x)=1$$ 左右極限不同。
- 函數震盪不收斂：如： $$\lim_{x\rightarrow 0} \sin{\dfrac{\pi}{x}}$$
假設 $f(x) = \sin{\dfrac{\pi}{x}}$ ，則其圖形如下：
注意到當 $x=\dfrac{1}{3},x=\dfrac{1}{4},x=\dfrac{1}{5},…$ 時 $f(x)$ 為 $0$ ， $x=\dfrac{2}{5},\ x=\dfrac{2}{9},x=\dfrac{2}{13},…$ 時 $f(x)$ 為 $1$ ， $x=\dfrac{2}{3},\ x=\dfrac{2}{7},x=\dfrac{2}{11},…$ 時 $f(x)$ 為 $-1$ ，也就是說函數在 $[-1,1]$ 之間不斷震盪，沒有趨向單一數值，因此極限不存在。 - 趨於無窮大或負無窮大：
當 $x$ 趨近 $a$ 時，若 $f(x)$ 的值能變得任意大，我們寫作 $$\lim_{x\rightarrow a}f(x) =\infty$$
反之，若 $f(x)$ 的值能變得負的任意大，則寫作 $$\lim_{x\rightarrow a}f(x) =-\infty$$
舉例來說， $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{x^2} =\infty$ ，如下圖所示，當 $x$ 靠近 $0$ 時，值會變得任意大。要注意的是，這並不代表極限存在！
垂直漸近線
如果以下任一式成立，則直線 $x=a$ 就是該函數的垂直漸近線。
- $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x) =\infty$
- $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x) =-\infty$
- $\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}f(x) =\infty$
- $\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}f(x) =-\infty$
- $\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}f(x) =\infty$
- $\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}f(x) =-\infty$
如上個例題 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{x^2} =\infty$ ，符合第一個式子，所以 $x=0$ 是 $\dfrac{1}{x^2}$ 的垂直漸進線。
小結
- 極限的本質：極限描述的是當 $x$ 趨向某個值 $a$ 時 ，函數 f(x) 的趨勢，而非函數在 $a$ 處的值是否存在。
- 左右極限：若左右極限相同且存在，則極限存在；若不同則極限不存在。
- 無窮極限與漸近線：當函數值不斷增大(或減小)時，我們用 $\infty$ (或 $-\infty$ ) 表示，並藉此判斷垂直漸近線。