國中數學｜二元一次方程式｜解二元一次聯立方程式｜代入消去法｜加減消去法

本篇將介紹二元一次式、二元一次方程式、以及如何求解二元一次聯立方程式

二元一次式

二元一次式就是含有二種未知數，而且未知數都是一次的多項式

例如： $5x+3y$ , $7x-9y$ , $10+3y+2x$ 都是二元一次式

注意： $xy$ 並不是二元一次式，因為未知數乘起來時，次數要相加。所以它是二元二次式。

使用時機

當問題中有兩種數量時，我們就需要使用不同的符號來代表這些的數量。

例如：

在逛文具店時，小明買了3枝鉛筆和2個橡皮擦，小美買了 5 枝鉛筆和 4 個橡皮擦。如果鉛筆每枝 x 元，橡皮擦每個 y 元，試以 x 和 y 分別表示小明和小美各花了多少錢。

答案：小明花了3x+2y元，小美花了5x+4y元。

那有沒有辦法知道他們兩個人一共花了多少錢呢？

所以接下來要介紹二元一次式的化簡

化簡二元一次式

化簡二元一次式時，把相同的未知數合併在一起化簡，另外常數與常數合併化簡。

例如： $($ $5x$ $-6y$ $+2)$ $+($ $-3x$ $+$ $y$ $-5)=($ $5x-3x$ $)+($ $-6y+y$ $)+(2-5)$ $=2x-5y-3$ 。

所以在上面例題中，兩人總共花了 $(3x+2y)+(5x+4y)$ $=(3x+5x)+(2y+4y)$ $=8x+6y$ 元。

練習

化簡下列各式

$x+2y+3x+4y$
$2-3x-23y+1-6x+2y$
$(-x-8y+3)-(3x-2y-4)$
$\displaystyle(5y-3x+\frac{2}{7})-(-3x+y+\frac{4}{3})$
$-4(2x+3y)-2(7x-2y+3)$
$\displaystyle-(\frac{2}{9}x-\frac{6}{11}y-3)-2(-\frac{4}{7}x+\frac{3}{2}y+\frac{13}{3})$
$\displaystyle\frac{2x+5y-4}{3}+\frac{7x+5y-1}{4}$

二元一次方程式

含有兩種未知數，且這兩種未知數的次數都是一次的方程式，稱為二元一次方程式。

例如： $5x+3y=0$ , $7x-9y=2$ , $10+3y+2x=18$ 都是二元一次方程式

學會基本列式

在逛文具店時，小明買了3枝鉛筆和2個橡皮擦。如果鉛筆每枝 x 元，橡皮擦每個 y 元，已知小明共花了60元，請問要如何列式？

答案：3x+2y=60

二元一次方程式的解

如果將一組x、y的值代入某個二元一次方程式，能使方程式的等號成立，那麼就稱這一組x、y為此方程式的解。
例如：x=5 , y=3 就是 2x+3y=19的解，因為將x=5 , y=3代入2x+3y=19， $2\times 5+3\times 3=19$ 成立
很容易就可以發現：二元一次方程式有無限多組解，因為x隨便代入一個值，一定找出一個y代入後成立(找y的方法就是解一元一次方程式)。

練習

下列各組數中，哪些是二元一次方程式 3x-5y=1 的解？

$x=7 , y=4$
$x=2 , y=-1$
$x=\displaystyle\frac{2}{3} , y=\displaystyle\frac{1}{5}$

二元一次聯立方程式

當用到兩個二元一次方程式來表達題目時，可以寫成以下形式：
$\left\{\begin{array}{c}2x+5y=8\\5x+3y=12\end{array}\right.$
像這樣並列在一起的二元一次方程式，我們就稱它為二元一次聯立方程式

在逛文具店時，小明買了3枝鉛筆和2個橡皮擦，小美買了 5 枝鉛筆和 4 個橡皮擦。如果鉛筆每枝 x 元，橡皮擦每個 y 元，已知小明共花了60元，小美共花了110元，請列出二元一次聯立方程式。

答案： $\left\{\begin{array}{c}3x+2y=60\\5x+4y=110\end{array}\right.$

二元一次聯立方程式的解

能同時讓某個二元一次聯立方程式成立的x , y值，就是此二元一次聯立方程式的解。
下面介紹兩種方法來求二元一次方程式的解。

代入消去法

代入消去法是將其中一式代入到另外一式，使其變為解一元一次方程式。
代入消去法有五個步驟：

步驟一：隨機選擇一式，將其中一種未知數留在等號一邊，剩下都移至等號另一邊
步驟二：將單獨未知數的係數調整至1(即把係數除到等式另一邊)
步驟三：將式子帶入另一式
步驟四：化簡後解一元一次方程式，解出其中一個未知數
步驟五：將步驟四解出的未知數代入步驟二算出的式子(通常選擇好算的)，解出另一個未知數。

下面舉個例子比較好理解：

解二元一次聯立方程式 $\left\{\begin{array}{c}3x+2y=60\\5x+4y=110\end{array}\right.$

步驟一：把第一條式子的 $3x$ 留在一邊，其餘移至等式另一邊，得到 $3x=60-2y$
步驟二：將兩邊同除以3，讓x係數調整至1，變成 $x=\displaystyle\frac{60-2y}{3}$
步驟三：將此式代入第二式， $\displaystyle 5\times\frac{60-2y}{3}+4y=110$
步驟四：化簡後變成 $\displaystyle \frac{300+2y}{3}=110$ ，解得 $y=15$
步驟五：將 $y=15$ 代入步驟二算出的式子，解得 $x=\displaystyle\frac{60-2\times 15}{3}=10$
因此，這個二元一次聯立方程式的解為 $\left\{\begin{array}{c}x=10\\y=15\end{array}\right.$

加減消去法

加減消去法是利用加法與減法將兩式某個變數消去，使其變為解一元一次方程式。

加減消去法有四個步驟：

步驟一：將聯立方程式整理成Ox+Oy=O的形式
步驟二：選定某個未知數(要消去的)，將兩式分別同乘一個數，以調整成係數一樣
步驟三：利用加法或者減法消去其中一個未知數。變為解一元一次方程式
步驟四：將步驟二的一元一次方程式解出
步驟五：將步驟三解出的未知數代入任意一條聯立方程式，解出另一個未知數

一樣舉剛剛的例子：

解二元一次聯立方程式 $\left\{\begin{array}{c}3x+2y=60\\5x+4y=110\end{array}\right.$

步驟一：兩條式子都已經是Ox+Oy=O的形式，不需要再整理
步驟二：選擇要消去 $x$ ，將第一式同乘 $2$ 變為 $6x+4y=120$ ，第二式不動，將 $y$ 的係數調整成一樣
步驟三：利用減法將兩式相減以消去 $y$ ： $\begin{array}{rrrrr}&6x&+4y&=&120\\-&5x&+4y&=&110\\ \hline&x& &=&10\end{array}$
步驟四：將步驟二的一元一次方程式解出(即 $x=10$ )
步驟五：將步驟三解出的 $x=10$ 代入 $3x+2y=60$ ，解出 $y=15$
因此，這個二元一次聯立方程式的解為 $\left\{\begin{array}{c}x=10\\y=15\end{array}\right.$