國中數學｜三角形與多邊形的內角與外角｜三角形的性質｜三角形內角與外角

三角形有許多非常重要的性質，將會在本篇介紹。此章節不但是後續章節的銜接關鍵，更是會考數學的考試重點之一。

三角形的內角與外角

內角

內角是指由相鄰兩邊所形成的角度。如圖一，三個紅色標註的地方都是三角形的內角，分別稱為 $\angle A$ 、 $\angle B$ 、 $\angle C$ ，讀作「角A」、「角B」、「角C」。

內角和

三角形的內角和為 $180^\circ$ ，即 $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$ 。

證明三角形內角和為180°

如圖二，將三角形補成長方形，利用內錯角相等，可以發現 $\angle A+\angle B+\angle C$ 變成一個平角(180°)

外角

在三角形中，我們說某個內角的外角時，意思是將該內角的其中一邊延長，與另一邊的夾角。

如圖三， $\angle 1$ 、 $\angle 2$ 都是 $\angle A$ 的外角， $\angle 3$ 、 $\angle 4$ 都是 $\angle B$ 的外角， $\angle 5$ 、 $\angle 6$ 都是 $\angle C$ 的外角

可以容易看出，三角形每個角的外角都有兩個，而且這兩個外角是一樣的。如圖三： $\angle 1=\angle 2$ ， $\angle 3=\angle 4$ ， $\angle 5=\angle 6$

此外，三角形的內角與它的外角互補。即： $\angle A+\angle 1=180^\circ$ ， $\angle B+\angle 3=180^\circ$ ， $\angle C+\angle 5=180^\circ$

外角和

三角形的一組外角和為 $360^\circ$ ，即 $\angle 1+\angle 3+\angle 5=360^\circ$ ， $\angle 2+\angle 4+\angle 6=360^\circ$
通常我們說外角和都是一組外角的總和。

證明三角形外角和為180°

利用內角與外角互補，可以知道 $\angle 1=180^\circ-\angle A$ ， $\angle 3=180^\circ-\angle B$ ， $\angle 5=180^\circ-\angle C$ ，所以 $\angle 1+\angle 3+\angle 5$ $=(180^\circ-\angle A)+(180^\circ-\angle B)+(180^\circ-\angle C)$ $=540^\circ-(\angle A+\angle B+\angle C)$ $=360^\circ$

外角定理

三角形的任一外角等於不與此外角相鄰的兩內角之和。如圖三， $\angle 1=\angle B+\angle C$ ， $\angle 3=\angle A+\angle C$ ， $\angle 5=\angle A+\angle B$

多邊形的內角與外角

多邊形的內角和

$n$ 邊形的內角和為 $(n-2)\times 180^\circ$ 。例如：五邊形的內角和為 $(5-2)\times 180^\circ=540^\circ$

證明多邊形內角和為(n-2)×180°

如圖四，五邊形可以分割成3個三角形，同理，n邊形可以分割成(n-2)個三角形，而(n-2)個三角形的內角總和為 $(n-2)\times 180^\circ$ ，故得證。

正多邊形的內角

每一個邊都等長、每一個內角也都相等的多邊形稱為正多邊形(註：每個角一定要相等，像是菱形就不是正多邊形)

由於正多邊形每個內角都相等，內角和又已經知道了，只要把內角和除以角的個數就能把每個內角都算出來，等於 $\dfrac{(n-2)\times 180^\circ}{n}$ 。例如：正五邊形的每個內角度數都是 $\dfrac{(5-2)\times 180^\circ}{5}=\dfrac{540^\circ}{5}=108^\circ$

正多邊形的外角

任一多邊形的外角和為 $360^\circ$ ，證明方法與三角形相同。

由於正n邊形每個外角都相等，而且外角和為 $360^\circ$ ，所以每一個外角皆為 $\dfrac{360^\circ}{n}$ 。例如：正五邊形的每個外角度數都是 $\dfrac{360^\circ}{5}=72^\circ$

特殊圖形的角度關係

等腰三角形

等腰三角形兩個底角相等。如圖五， $\angle B=\angle C$

漏斗形(8字形)

圖六的圖形是一個漏斗形，則 $\angle A+\angle B=\angle C+\angle D$

因為 $\angle 1=\angle 2$ (對頂角相等)，所以 $\angle A+\angle B=180^\circ-\angle 1=180^\circ-\angle 2=\angle C+\angle D$

飛鏢形

圖七的圖形是一個飛鏢形，則 $\angle BCD=\angle A+\angle B+\angle C$

延長 $\overset{\longrightarrow}{BD}$ 交 $\overline{BC}$ 於 $E$ (如圖八)，利用外角定理： $\angle A+\angle B=\angle 1$ 與 $\angle 1+\angle C=\angle BCD$ ，將前式的 $\angle 1$ 代入後式，就有 $\angle BCD=\angle A+\angle B+\angle C$ 。